ЗАЧЕМ НУЖНА ЭТА ... тригонометрия! Математика на QWERTY
Синус и косинус, и вот эта вот вся муть, которая возникает у кого-то в седьмом классе, у кого-то в девятом, и преследует до конца школы. И совершенно непонятно, кому нужны все эти косинусы, двойного угла, синуса, сумма и прочее, прочее, прочее.
С вами снова Георгий Вольфсон, эта математика на канале QWERTY. И мы снова отвечаем на полюбившийся вам вопрос: а нахрена? Сегодня нашим главным действующим лицом будет придя на верфи. На самом деле для меня сегодняшний ролик в чем-то даже самый простой из этой серии, потому что на вопрос, зачем нужна тригонометрия, мне прям так и хочется ответить: да за всем!
Но то есть очень тяжело придумать область, в которой тригонометрии не нужно. Но несколько знаковых примеров я, конечно, приведу. Зачем вообще исходно понадобилась тригонометрия? Тригонометрия — вся ее суть — она связывает углы и какие-то метрические величины в частности.
Но вы знаете определение: что там синусом угла в прямоугольном треугольнике, я пока беру. Называются отношение противолежащего катета к гипотенузе. И когда все время учат математике, мне сказали на уроки, что сегодня вот давайте задачу решим: вот у вас стороны 789, найдите вот этот угол.
И когда это было в первый раз, еще до тригонометрии, все-таки сидели в шоке: а как это же сторону итогов? Как наши предшественники тоже задумывались о вопросах! Как в то же время иногда задача была обратно, т.е. угол известен, надо каким-то образом найти сторону.
В каком случае надо найти сторону? Например, вы измеряете расстояние до какого-то объекта, который не доступен вам. Эта задача, между прочим, актуальна и сейчас. Представьте себе какую-нибудь там марсоход, который надо приземлить на поверхность Марса. При марсе так, стоит ему надо оценивать в этот раз состояние, но при этом он не может, вы посчитать выберет линей.
Значит, нужно с помощью каких-то величин, каких-то рассуждений и вычислений отдела оценить, вот как это сделать. Оказывается, углы-то считать можно! Ну действительно, я могу примерно понимать, под каким углом я смотрю на тот или иной объект.
Посчитать угол наклона, там, до тень, там какую-нибудь расположить на предмет, направить на солнце. Очень вариантов масса, и вот даже придумали эти самые синусы и косинусы, которые помогли действительно связать величины и углы. Благодаря этому, между прочим, исходно и оценили расстояние от Земли до Солнца, которые, сами понимаете, померить линейкой вы не сможете даже сейчас.
И оценили, между прочим, довольно точно. Собственно, как только мы ввели определение синуса и косинуса и так далее, они уже начинают работать на практике. Ну, например, есть классическая задача: если вы спускаетесь с питерский метрополитен, но Аркадий Паровозов даже ехал на метро. Вы хотите примерно понять, какую глубину вы опустились. Как это сделать? Это очень просто!
Вы примерно прикидываете расстояние между лампами, умножаете на количество ламп. Понимаете, чему равна длина вот этого экскаватора с гипотенузой, угол наклона примерно 30 градусов — это угла наклона почти любого экскаватора в Питере. Значит, чтобы найти глубину, мы должны эту самую гипотенузу умножить на синус 30 градусов, то есть на одну вторую.
Но и значит, глубина рассчитывается на разных станциях, она разная, потому что количество ламп разное. Так что, как видите, тригонометрия уже здесь вылезает. Кроме определения собственного угла, на самом деле здесь помогают две теоремы, которые мы проходим в школе.
Первая теорема — это теорема синусов. В чем она заключается? Представьте себе, что у вас есть треугольник, и в нем вы знаете одну сторону и два угла любых. На самом деле, кое-что знаю: два угла вы знаете — все три, потому что сумма углов треугольника 180.
Так вот, тогда теорема синусов позволяет найти оставшиеся стороны, потому что вот верно такое равенство: да, ок синусу альфа равно бег синусу бы, мой равно c к синусу гамма. Таким образом, если, допустим, есть некий отрезок на земле, я наблюдаю какую-то далёкую, это может быть, такая астрономическая, это может быть, can типа вершин горы или что-нибудь еще.
Я наблюдаю из одной точки и из другой, соответственно, я могу померить углы, находясь в этих точках, под каким углом я вижу эту самую гору по отношению к тому отрезку, который тоже могу померить. Все: у меня стороны, два угла, значит, потерями синусов я найду необходимое расстояние.
Примерно так же работают истории с марсоходом, про который я говорил. И, между прочим, вопрос о том, зачем нужна тригонометрия, если вы почитаете отчет НАСА. В НАСА было целых два знаковых крушения марсоходов. Одно произошло, не имея отношения к нашей теме, но тоже забавно, поэтому расскажу — из-за того, что делали совместно европейцы и американцы.
Американцы делали в одних единицах измерения, palm, там речь шла о температуре. Они делали соответственно в Фаренгейтах, а европейцы делали в Цельсиях. Ну и понятно, значения сильно не совпали, и в общем там что-то произошло плохо.
А другая ситуация была как раз при приземлении, когда вот он оценивал расстояние до Марса и пользовался он косинусом угла. И в настоящем отчете, трем отчет масса можно почитать, он открытый, там написано, что проблема произошла из-за того, что инженеры не учли, что косинус в какой-то момент становится отрицательным.
Кроме теоремы синусов, что используется еще? Еще используется, конечно, теорема косинусов. То есть иногда бывает так, что вы знаете две стороны и угол между ними, надо найти третью. Допустим, вы хотите посчитать расстояние между двумя точками на противоположных берегах, там, озера.
Но вы можете посчитать соответствующие стороны, пройдя по берегу, или это, конечно, долго, но по берегу все-таки можно. Угол нашли, стороны нашли, по теореме косинусов нашли третью, ства и это довольно круто. То есть тригонометрия позволяет нам в любом треугольнике искать недостающую величину.
Почему это так важно? Похожие вещи применяются не только там в астрономии, не только в навигации, если вы хотите ориентироваться на местности, но и, например, в геодезии. Там тоже идут примерно то же самое рассуждение, примерно те же самые впечатления. Кроме этого, конечно, тригонометрия обязательно применяется в физике, особенно когда мы говорим про разные силы, которые действуют на то или иное тело.
Потому что мы знаем, да, что есть всякий закон Ньютона, есть там суммы сил равная, mass умножить на a. У нас же есть оси у равна нулю, если тело покоится и так далее. И хорошо, если сила действует по одной прямой, до тус, например, силы тяги туда, силы трения туда и так далее.
Но представьте себе, что, допустим, у вас все идет под углом. Как написать соответствующий закон? Ну, так понятно, как вы соответствующую силу дам нажать на синус либо на косинус угла, чтобы посчитать проекцию этой силы горизонтальной на вертикальную.
Осенью именно через эти проекции обычные строятся уравнения. И все, кто занимается хоть немножко физикой и хоть где-то используют физику, они, конечно, должны это учитывать. Я вам хочу сказать, вы думаете, там это делают только учёные? Да ничего подобного!
Если вы, например, хотите написать какую-то компьютерную игрушку или мобильное приложение, допустим, там, велосипед, который едет по неровной местности, ну так вы должны учитывать физику процесса. А чтобы учитывать, вы должны эти силы действительно дам нажать на синус и косинус. И без тригонометрии там не как.
Кстати, и в математике, и физике, и еще много где используются даже специальные полярные координаты. Это значит, что каждая точка задается не в декартовых координатах, да, там абсцисс и ординат, а двумя элементами. Во-первых, расстоянием до некого начала координат и углом поворота этой точки относительно некоторого луча тоже исходного.
То есть прицеп всегда только точку и от нее луч, и вот насколько надо повернуться, и то есть некий уголок. И обычно обозначают, и насколько вы при этом отошли от точки. Это соответственно по вот этим двум коэффициентам р и фильм мы можем узнать координаты точки.
Легко можем перевести, конечно, полярные координаты в декартовы, но для этого р надо умножить на синус, на косинус. Соответственно, вот опять же, где тригонометрия! Более того, очень популярна сейчас задача моделирования. Да, допустим, вы хотите сделать какую-то 3D модель. Это делается где угодно.
У меня жена, например, занимается шитьем. Там они делают 3D модели, на которые автоматически примеряют какую-то одежду, да, чтобы не отшивать образец. Так вот, как вы заставите эту модель повернуться? Если вы хотите какую-то точку, допустим, на плоскости повернуть на угол альфа, то координаты этой точки записаны в виде соответствующего столбца, умножаются на матрицу 2 на 2.
И как видите, в этой матрице все элементы от тригонометрии, то есть те самые синус и косинус. И именно поэтому правило, но можно его выписать в строчку: вы находите координаты полученные, которые будут после поворота. То же самое, чуть-чуть посложнее, работает в трехмерном пространстве.
То есть опять же, без синусов, без косинусов, здесь не очень понятно, как вообще жить. Резюмируя этот момент, обратите внимание, да, что вам кажется может быть, что вы решаете какие-то искусственные задачи, вы решаете странные 3 генетические уравнения, вы оцениваете значение величин, которые там превосходят 90 градусов и даже иногда 180 градусов, говорите про какие-то радианы и так далее.
Но, как видите, как только вы хоть в какую-то практику уходите, будь то физика, будь то программированием, будь то моделирования, будь то астрономия, навигация, там что угодно, вы все время попадаете в эту тригонометрию. И если, соответственно, вы с ней со школы не знакомы, вы понимаете, у вас проблемой, вы никогда не справитесь подобных задач.
Ну что ж, надеюсь, что сегодня я вас убедил, что вы не зря потратили 4 года в школе и изучали синус и косинус. И на этом у нас все. Не забывайте, пожалуйста, подписываться, впереди много интересных выпусков. И если у вас есть какие-то пожелания или интересные темы, всегда будем рады. Пока, пока! [музыка] Любит онлайн улица от.