Вероятность пройти стеклянный мост. Разбор «Игры в Кальмара» от математика и СПОЙЛЕРЫ!
Ну как вы остались живы после прошлого ролика? Мне гореть видящий давать слышит, чтобы понравиться игры. Что ж, давайте поиграем в эту игру и посмотрим, какая же математика спрятана.
До с вами Георгий Вольфсон. Это реальная математика на канале QWERTY, и сегодня будем говорить про испытание номер пять из игры в кальмара. Это игра со стеклами. Перед участниками было 18 пар стекол, расположенных рядом, и в каждой паре одно стекло было закаленное, то есть выдерживало вес аж целых двух участников, а другое, соответственно, был обычным и рассыпалось даже под одним.
Задача была угадать вот этот идеальный маршрут, и организаторы оказались настолько добрыми, что не жульничали и действительно в каждой паре одно было стекло прочным, а другое нет. Соответственно, давайте немножко поговорим про эту игру, но попробуем сделать себе чуть-чуть менее кровожадный и просто сделаем следующее: вот на каждом этапе мы подбрасываем монетку, и если выпал орел, то это значит, что мы угадали, все в порядке. А если решка, то не угадали.
Какова вероятность того, что первый участник в этом случае дойдет до конца? Ну да, мы не берем стандартные рассуждения, что через последнее стекло уже можно было перепрыгнуть, допрыгнуть сразу до финиша, или что можно было пройти по этому куску стекла, которое у кого балки под вами не треснут, а берем вот такую чисто идеально математическую проблему.
В данном случае все довольно просто: вероятность того, что мы попадем в первый раз, то есть выкинем орел, 1/2. Это вероятность того, что вот в первый раз нам повезло. Вероятность того, что нам повезло во второй раз, 1/2, и это независимые события. Вероятность того, что нам повезет оба раза – это произведение двух вероятностей, то есть это будет 1/2 умножить на 1/2.
Иначе говоря, можно сделать следующее: чтобы пройти два вот этих ряда, нам нужно дважды выкинуть орла, а всевозможные сочетания у нас: орел-орел, орел-решка, решка-орел, решка-решка. Видно, что один из четырех подходит: собственно 2/1/2 дает 1/4. Далее, я думаю, вы поняли, еще на одну вторую, еще на одну вторую и так далее, на одну вторую всего восемнадцать раз. Это будет единица на 2 в 18 степени.
Примерно этим, кстати, занимался один из игроков, подобным подсчетам, у которого вероятность была чуть-чуть повыше, потому что первые несколько шагов уже были пройдены. Значит, вероятность успеха и того, что я дойду, ты справишься, 2 в пятнадцатой степени: один шанс из тридцати двух тысяч. Но вот исходная вероятность именно такая.
Ну чтобы было понятно, что такое 2 в 18, давайте я запишу это значением, и это будет единица разделить на 260 2144. То есть грубо говоря, из 260 2144 возможных вариантов вот только один для вас выигрыш. Не в процентах, это даже считать не хочется: 1, как вы понимаете, там примерно 2000 процентов, так что шанс, конечно, очень-очень маленький, что и подтвердил фильтр.
Давайте стрелять, попробуем решить другую задачку: какова вероятность того, что хотя бы один игрок доберется до финиша? Ну опять же, мы предполагаем, что игра проводится абсолютно честно, то есть идет первый игрок до тех пор, пока он не упал, потом второй игрок, потом третий игрок и так далее. То есть нет никаких жульничать: типа, что там 1 каким-то образом может увидеть, какой из стекол закаленные и так далее.
В данном случае эту задачу можно переформулировать так: вот мы делаем подбросом монеты. Да, нам всего их надо сделать 18 штук, и надо, чтобы из них сколько вы поваров! Давайте посчитаем: каждая решка – это потеря одной жизни, а жизни у нас исходно 16, потому что исходно было 16 игроков, допущенных к этому испытанию.
Значит, нам нужно, чтобы решка выпала не более чем 15 раз, а соответственно орлов надо выкинуть хотя бы три, тогда как минимум один дойдет до конца. К сожалению, посчитать эту вероятность в явном виде очень сложно, потому что вариантов много. Смотрите: нас устраивают, когда три раза выпал орел, причем на любых практически местах, на четыре раза выпал орел, пять раз выпал орел, шесть, семь, восемь, девять, десять, один, два, три, четыре, восемь, десять, один, два, три, четыре.
Каждую эту вероятность считать, это мы с ним просто. Поэтому давайте лучше посчитаем наоборот: какова вероятность того, что ни один участник не дойдет до финиша? То есть какова вероятность того, что мы все свои 16 жизни потеряем? Здесь шансов гораздо меньше, и поэтому посчитать будет проще.
Первый случай, первый случай, который проще всего разобрать, когда первые 16 раз выпала решка, то есть мы 16 жизни потеряли на первых 16 этапах. Это будет у нас 1/2 в шестнадцатой степени, тут все понятно. Второй случай, когда у нас выпал из 16 вот этих первых бросков один орел и 15 решек. Тогда, ну во-первых, вероятность того, что выпал один орел – это одна вторая, вероятность того, что выпали 15 решек – это тоже по 1/2, то есть будет все те же 1/2 в 16, но орел ведь может выпасть на первом броске, на втором броске, на третьем броске и так далее, на 16.
Поэтому таких возможных вариантов у нас 16 штук. В этом случае к двум последним стеклам мы подошли, имея в запасе ровно одну жизнь. То есть в каком случае мы проиграем? Во-первых, если мы выкинем дальше решку. То есть вот это вот мы умножаем на то, что мы выкинули решку, плюс вероятность того, что если вдруг выпал орел, то последним броском выпала решка. Таким образом, мы потеряли жизнь. Напомним, мы считаем вероятность того, что мы проиграем: что никто не дойдет, и это будет 1/4 * 1/2 * 1/2.
Вот что у нас получилось, если выпал один орел. Наконец, если выпало 2 орла и 14 решек из первых 16 бросков, заметьте, 3 орла уже разбирать не надо, потому что, если выпало три орла, значит, точно как минимум один дойдет человек. Но 2 орла и 14, значит, опять же у нас есть все те же 1/2 в 16, это 16 бросков, но теперь уже надо посчитать, сколько способами можно расставить двух орлов по 16 мест.
Это довольно стандартная комбинаторная задача. Давайте ее разберем: вот у нас есть 16 мест, сколько способов поставить куда ты из них 1 орла? Но очевидно 16. Теперь, если одно место занято, то сколько способов поставить 2 орла? Для каждого из 16 вариантов у нас есть 15 вариантов поставить 2 орла, правда. То есть какое бы место я не зафиксировал, у меня осталось 15 мест. Вот на любой из них ставлю его.
Например, такой проблема только в том, что мы все варианты посчитали два раза. Действительно, если, например, 1 орел выпал на первом броске, а вот это у нас 3 бросок, то тогда мы получили вот это один винт. А если наоборот, 1 орел, которого мы ставили первое, любым вот здесь, а второй вот здесь, это же один и тот же вариант, правда? А мы его учли дважды. Получается, значит, вот это количество надо разделить на 2. По-другому это еще называется число сочетаний из 16 элементов по 2.
И равно она 8 умножить на 15, 120, значит, мы умножаем вот это счастье на 120, и вот столько у нас вариантов получить 2 орла и 14 решек. Теперь оставшиеся два броска – напомню 18 рядов. Значит, остались два броска, оба они должны закончить решками, потому что если один из них орел, все, дошел участник. Значит, вероятность этого 1/4.
Получаем окончательный итог, что вероятность того, что в принципе никто не дойдет, это будет 1/2 в 16 плюс 1/2 в 16 на 16. Но здесь сразу посчитаем на три четверти и плюс 1/2 в 16 на 120 и на одну четверть. Это можно упростить: это будет 1/2 в 16, вынесем за скобки: будет скобках 1 плюс 16 лет на 4, у нас будет 4 умножить на 3 – 12, и здесь 129 на 430, или это будет у нас 43 разделить на 2 в 16 степени.
Что такое 2 в шестнадцатой степени? Это 65536. Это многие программисты, думаю, знают сходу. Но и дальше, приблизительно, приблизительно мы, конечно, можем это посчитать, но не забудем, что нам-то нужно не эта вероятность, а нам нужна вероятность того, что кто-то дойдет. Это мы посчитали того, что никто не дойдет до. Значит, итоговый вероятность: это 1 минус 43 удивительно 65536. Это будет число. Если перевести его в проценты, она будет чуть больше чем 99,9%. То есть, как видите, если игра ведется по честному, абсолютно нормально, и то тогда вероятность того, что хоть кто-то дойдет, будет больше чем 99,9%.
Вот такая классная штука. Отдельная интересная задача, которую мы сейчас уже считать не будем, но которая примерно также разбирается: вероятность того, что три участника дойдут до финиша – как раз то, что произошел в реальности. Какова вероятность того, что ровно трое придут к финишу? Но вот желающие могут попытаться это посчитать и написать свои ответы. Мы их обязательно проверим.
Кстати, если вы знаете какую-нибудь классную игру из другого известного фильма или сериала, которую можно попытаться разобрать с математической точки зрения, пишите нам об этом. И вполне возможно, один из следующих роликов мы сделаем именно по вашему комментарию. Ну а мы на этом прощаемся. Надеюсь, что при просмотре этого ролика никто не пострадал. Ставьте лайки, если вам понравилось, и до новых встреч! Пока-пока.
[музыка] [музыка]