Парадокс «Гранд-отель» Гильберта [Veritasium]
Вот сайт с шаурмой факс.
[музыка]
Представьте отель с бесконечным количеством комнат. Все пронумерованы 1, 2, 3 и так до бесконечности. Это Гранд Отель Гилберта Алайна. Вы управляющий.
Может показаться, что отель готов принять любое количество клиентов, но при определенных условиях вам может не хватить даже бесконечного количества комнат. Важно, что в каждом номере может находиться только один гость, и свободных мест не осталось.
Бесконечно много постояльцев заняли бесконечно много комнат. Вдруг появляется еще один желающий стать. Но в каждом номере уже кто-то живет. Что же вам делать? Тут от другой отказал бы гостю, но вы знаете, что такое бесконечность.
По громкой связи вы просите всех перейти в соседний номер. Тот, кто живет в первом, переезжает во второй. Кто во втором – в третий, и так далее. Вы освободили комнату для нового гостя.
Если заселиться хочет сотни гостей – не проблема. Можно передвинуть всех на 100 номеров и использовать освободившиеся комнаты. А теперь представьте, что к отелю подъехал бесконечно длинный автобус с бесконечным количеством пассажиров. Конечное число новых гостей нас не пугает, но вот что делать с бесконечностью?
Пару минут вы размышляете и находите решение: бросить и всем переехать в комнату, номер которой в два раза больше их нынешнем. Из первой во вторую, из второй – в четвертую, из третьей – в шестую и так далее. Выходит, что все нечетные комнаты свободны, и так как их бесконечно много, всех, кто приехал на бесконечном автобусе, можно устроить на ночлег, каждого в свой нечётный номер.
В этом отеле места хватит на всех. В этом прелесть бесконечности – она не заканчивается. Внезапно появляется еще один бесконечный автобус, а за ним еще один и еще бесконечно много бесконечных автобусов. Что же и теперь? Здесь нужно бесконечная табличка.
Каждому автобусу номер 1, 2, 3 и так далее. А самый верхний для тех, кто уже заселился в отель. В столбцах отметим место, которое занимает каждый из ваших гостей.
К не постояльцев номера их комнат 12 и так далее. Для пассажиров автобуса – дин, вместо один автобус 1 место, 2 автобус 1 место, 3 и так далее. Каждый получит уникальный идентификатор: номер автобуса и номер пассажирского кресла.
Как же теперь всех заселить? Начните чертить зигзагообразную линию из левого верхнего угла, так чтобы она переходила через каждый идентификатор только один раз. Представьте, будто это нить, на которую нанизаны ячейки. Теперь расправьте и потянув за оба конца, все значения из бесконечной таблички теперь умещается в один бесконечный ряд.
Дальше все просто: каждой ячейке ряда можно подобрать номер в отеле. Все получат комнату и будут довольны. Но тут подъезжает бесконечный автобус для вечеринок, и в нем уже нет сидений, зато есть бесконечное число пассажиров. И у каждого свое неповторимое имя.
Не очень удобно, все имена состоят только из двух букв: а и б. Но длина имени ничем не ограничена. Например, кого-то зовут а б б а а а а а а а и так до бесконечности. Другого – а бэ бэ бэ бэ бэ и так далее. Это любая возможная комбинация этих двух букв.
Чье-то имя представим, что а б б а а а а а. Пусть будет оба, так проще. Подходит к стойке регистрации. Чтобы всех заселить, вам придется ему отказать. Ведь на всех гостей в отеле мест не хватит. Как же так? Их бесконечно много, но у вас так бесконечный отель – в чем же тут проблема?
Сейчас разберемся. Сделаем новую бесконечную табличку. Пусть в первой комнате живет оба, во второй а бэ бэ бэ бэ и так далее. В каждом следующем номере будет постоялец с новой комбинацией а и б.
Но вот в чем проблема: даже если вы заполните этот бесконечный список, отнять вы всегда сможете добавить еще одного гостя, которому негде жить. Все, что для этого нужно, – это взять первую букву первого имени, поменять на противоположную, затем взять вторую букву второго имени и поменять б на а, и так далее.
Строчка за строчкой имя, которое у вас получилось, абсолютно точно не повторяет ни одной из уже записанных. От первого его отличает первая буква, от второго – вторая, от третьего – третья. От каждого из бесконечного множества имен новое отличается хотя бы одной буквой той, что в табличке стоит на диагонали.
Гранд отель Гильберта – бесконечное множество комнат. Да, но это счетное множество. Не каждой комнате можно подобрать целое положительное число от 1 до бесконечности. Пассажиры в последнем бесконечном автобусе – множество несчетное.
Сколько бы вы их ни нумеровали, всегда можно добавить еще 1. Получается, что некоторые бесконечности больше других. Поэтому даже в Гранд отеле Гильберта места хватит не всем.
Чувствуете, как вскипает мозг? Мне поражает и еще, и тут, что открытие бесконечностей разных размеров напрямую привело к появлению гаджета, на котором вы смотрите это видео. Но об этом как-нибудь в другой раз.
Переведено и озвучено студией Vert. Дай дар.