Хаос. Эффект бабочки и задача трёх тел [Veritasium]
Вот сайт с шаурмой.
[музыка] Эффект бабочки — это когда что-нибудь незначительное, вроде взмаха крыльев, где-нибудь в Бразилии, может вызвать настоящий корректор. Надо в Техасе. Именно так эта идея представлена в научной статье, опубликованной почти полвека назад, и с тех пор она прочно поселилась в культуре и умах населения.
Облаками отели Афин. Поиск на IMDb по словосочетанию "эффект бабочки" выдаст 61 результат: фильмы, эпизоды сериалов и короткометражки. Добавьте к этому бесконечные отсылки в кино, вроде "Парк юрского периода", песнях, по книгам, мемах. А ох уж эти мемы!
В массовой культуре эффект бабочки — это когда незначительная на первый взгляд решение приводит к непропорционально масштабным последствиям. Мне кажется, людям нравится эта мысль, потому что она касается одного из фундаментальных вопросов, а именно – можем ли мы предсказывать будущее. В этом видео мы разберемся в научной базе эффекта бабочки и попробуем ответить на этот вопрос.
Представьте, на дворе конец 17 века. А, совсем недавно Ньютон нащупал законы движения и всемирного тяготения. И, похоже, с их помощью можно предсказать что угодно: движение всех планет и спутников, точную дату всех затмений и появления комет на столетия вперед.
Французский физик Пьер-Симон Лаплас даже предложил мысленный эксперимент. Он вообразил сверхразумное существо, известное как демон Лапласа, которому известно все о текущем состоянии вселенной: положение, импульс и все взаимодействия для каждой частицы.
Если сей разум достаточно широк, чтобы осмыслить все это, писал Лаплас, то будущее, как и прошлое, предстанет настоящим в его глазах. Это абсолютное детерминизм. Представление о том, что будущее предопределено им или ждет, когда оно наступит, мне кажется вполне закономерным заключением для тех, кто хоть немного занимался физикой.
Естественно, в квантовой механике существует принцип неопределенности Гейзенберга, но он играет роль на уровне атомов, она нашим по сути не имеет значения. Вы почти все задачи, что вы подались не в университете, решались расчетами: движение планет, падение предметов, как или поведение маятников.
Кстати о них, давайте поближе рассмотрим обычный маятник, а заодно познакомимся с фазовым пространством, одним из способов описания динамических систем. Думаю, многим знакомы графики зависимости положения или скорости от времени. Полно что если показать все возможные состояния маятника в двух измерениях, это вообще все, что с ним может произойти на одном графике.
Это несложно: откладываем по оси X отклонения маятника, а по оси Y — его скорость. То что получилось, называется фазовой плоскостью. Если в системе есть трение, то маятник будет замедляться до полной остановки. В фазовом пространстве это выглядит как спираль: отклонение маятника все меньше, а скорость ниже.
Откуда бы вы не начали, мы точно знаем, с конечным состоянием системы будет маятник, рылом неподвижно висящий строго вниз. Область или траектория на графике, к которым как бы притягивается система, называется аттрактор; в данном случае это неподвижная.
Если убрать трение, потери энергии не будет, и маятник продолжит качаться вечно. В фазовом пространстве это будет выглядеть как обычная петля: маятник разгоняется к низу, замедляется до остановки и движется в противоположном направлении. Такой график однозначно говорит о том, что движение периодическое и предсказуемо.
Регулярно повторяющиеся процессы в фазовом пространстве выглядят именно так. Не важно с какой силой раскачать маятник, картина изменится не сильно: все же кольцо просто иного размера. Здесь стоит отметить, что в фазовом пространстве кривые графика никогда не пересекаются. Каждая точка уникальным образом описывает полное состояние системы, и дальше значения могут идти только в одну сторону.
Задавая начальное состояние системы, мы определяем все ее будущее. Динамику маятника легко описывает классическая механика, но даже Ньютон знал, что некоторые системы поддаются ей гораздо хуже других. Особенно задача трех тел: рассчитать движение Земли вокруг Солнца довольно просто, если забыть о существовании остальных планет.
Но стоит добавить в уравнение хотя бы Луну, и сделать это станет почти невозможно. Ньютон жаловался своему другу Коллею, что от этой задачки у него болит голова, он не может спать и лучше вообще про неё забудет.
200 лет спустя Анри Пуанкаре понял главную проблему: простого решения задачи трех тел вообще не существует. Он приоткрыл завесу тайны над теми ребятами, что позднее назовут теорией хаоса.
Она начала развиваться в 60-х, когда метеоролог Эдвард Лоренц пытался создать базовую компьютерную симуляцию атмосферы Земли. У него было всего двенадцать уравнений и 12 переменных: вроде температур, давления, влажности и так далее. На каждый интервал компьютер выдавал ряд из 12 чисел, и таким образом можно было отследить изменение системы.
Когда возникла необходимость пересчитать те же данные еще раз для экономии времени, Лоренц съел значение середины первого прогона в качестве начальных данных, а пока компьютер все пересчитывал, отошел сделать себе кофе.
Вернувшись и взглянув на цифры, Лоренц остолбенел! Сперва значения второго прогона совпадали с первым, а затем стали расходиться уже через несколько интервалов, описывая совершенно иное состояние атмосферы, абсолютно иную погоду.
Естественно, первой мыслью было починить компьютер — очевидно, что он сломался. Но никаких поломок не нашлось! Всё дело оказалось в том, что принтер округлил значения до третьего знака после запятой.
На компьютере своих вычислениях до 6 сосновыми начальными значениями разница менее чем в одну тысячную привела к разительным отличиям в результатах всего за несколько шагов. Тогда Лоренц попробовал упростить вычисления, а потом ещё и ещё, пока не нашел три уравнения, которые описывали процесс конвекции: двухмерная модель атмосферы, которая нагревается снизу и остывает наверху.
Но, к сожалению, ситуация это не спасло. Его малейшее изменение в данных снова приводило к совершенно другим результатам. Сам того не зная, Лоренц продемонстрировал сильную зависимость от начальных условий, основу хаотических систем.
Поскольку Лоренц работал с тремя переменными, мы можем представить его вычисление в трехмерном фазовом пространстве. Выберем произвольную точку в качестве начального состояния и посмотрим, как она будет меняться. Не похоже, чтобы система описывала аккуратную спираль или замыкалась в петлю. Более того, наша система вообще никогда не пройдет через одну точку дважды.
Мы начали с трех практически идентичных начальных условий — старец некоторое время картина менялась похожим образом, но всё заметнее становятся различия. Мы произвольно поставили их на место, но оттуда они разлетелись по разным траекториям — наглядная демонстрация сильной зависимости от изначальных условий.
И стоит уточнить, что ничего случайного в этих системах и уравнениях нет. Этот процесс настолько же детерминирован, так и колебания простого маятника.
Если бы у вас получилось все-таки задать абсолютно идентичные начальные условия, вы бы получили одинаковые результаты. Проблема в том, что в отличие от маятника эта хаотическая система сама себе, даже небольшие вариации в условиях самом начале вырастают до совершенно не похожих друг на друга результатов.
Это звучит парадоксально, но эта система одновременно полностью детерминирована и совершенно непредсказуема. Пик ведь в реальности невозможно воссоздать начальные условия с абсолютной точностью и надо бесконечно много знаков после запятой.
Именно поэтому даже сегодня, имея в распоряжении столько суперкомпьютеров, мы все еще умеем предсказывать погоду только на ближайшие дни. Исследования показывают, что если нужно узнать погоду на 8 дней вперед, то надежнее взять средние исторические значения для интересующих нас дат. По той же причине метеорологи готовят сразу несколько прогнозов, задавая немного разные начальные условия и пути развития ситуации с течением времени.
Хаотические системы не такая уж и редкость, а как может показаться — в его двойной маятник, система из двух обычных маятников — классический пример. Вы видите модель пары таких маятников, запущенных одновременно с практически идентичными начальными условиями, но сколько ни старайся добиться одинаковых колебаний у двойного маятника несколько раз подряд — просто невозможно, и его движение нельзя предсказать.
Вам может показаться, что хаос требует большого количества энергии и движения, но вот перед вами система из пяти спиннеров с отталкивающими магнитами на каждом конце, и она хаотична.
Может показаться, что всё повторяется с какой-то периодичностью, но стоит присмотреться и выясняется, что спиннеры постоянно меняют направление вращения. Система абсолютно непредсказуема — впрочем, как и наша солнечная система. Модель, которая позволила симулировать движение планет на 100 миллионов лет вперед, показала, что при таких масштабах система становится хаотичной через каких-то 45 миллионов лет.
То значит, выдан через 10-15 миллионов лет — весьма возможно, враги этих планет столкнуться друг с другом и улетят в межзвёздное пространство. Солнечная система, которую мы, казалось бы, давно предсказали, становится абсолютно непредсказуемой через относительно небольшой период времени.
Так что можем ли мы предсказывать будущее? Похоже, не особо успешно, тем более, когда речь заходит о хаотических системах. Чем дальше в будущее мы пытаемся заглянуть, тем сложнее. На определенном этапе все наши расчеты становятся ничем не лучше обычных догадок.
То же самое ждет тех, кто пытается узнать о прошлом хаотических систем и вычислить начальные условия. Вспомните, как во время тумана видно тем хуже, чем дальше пытаешься посмотреть.
Это фундаментальный предел того, что мы можем узнать о будущем системы и о её прошлом. Но есть и хорошие новости!
Давайте еще раз взглянем на фазовое пространство для вычисления Лоренца. Если запустить сразу множество точек с разными условиями, поначалу они будут лететь кто-куда, но довольно быстро их траектории сблизятся и сложатся в образ, который, что весьма удивительно, очень похож на бабочку.
Это тоже аттрактор: как при большом разнообразии начальных условий все системы приходят к какому-то состоянию. На этом аттракторе, я напомню, все траектории в пространстве никогда не пересекутся и не замкнутся в петлю. Если такое произойдет, то система начнет повторять себя, станет периодической и предсказуемой.
Поэтому каждая траектория — это бесконечная кривая. Конечно, в таком пространстве как это возможно: фракталы, но о них поговорим в отдельном видео. Именно этот аттрактор носит имя Лоренца.
Пожалуй, это самый известный аттрактор хаотического типа. Там существуют и другие для других уравнений. Большинство людей объясняют эффектом бабочки то, почему небольшие события в настоящем делают будущее непредсказуемым.
Научная сторона этого феномена таит в себе сложную, красивую структуру, которая лежит в основе динамики и позволяет понять поведение системы. Мы умеем предсказывать изменения каждого состояния по отдельности, таких как они поведут себя в группе. Мы не знаем, ну разве что в уравнении Лоренца они обретают форму бабочки.
[музыка] Переведено и озвучено студией "Вверх Дайвер".