Старейшая нерешённая задача [Veritasium]

[музыка] Это видео о древнейшей из нерешённых математических задач. Ей уже 2000 лет, над ней бились лучшие математики разных времён, но она никому не далась. В 2000 году итальянский математик Жорди назвал её одной из четырёх задач, решить которые непременно невозможно. Для этого достаточно найти всего одно число.

Поэтому математики на компьютере проверили все числа вплоть до 10 в степени 2200, но ответа так и не нашли. Как вы считаете, почему эта задача до сих пор так занимает воображение математиков? Она древняя, она простая, она красивая. Чего её желать? Вот в МТ, во Существуют ли нечётные совершенные числа?

Что такое совершенное число? Возьмём, например, число 6. Оно делится на 1, 2, 3 и 6. 6 пока отбросим, потому что это и есть само число, и у нас останутся так называемые собственные делители. Если их сложить, получится 6. То есть наше число. Такие числа известны как совершенные.

Теперь давайте попробуем взять 10. Делим это на 1, 2 и 5. В сумме они дают всего 8, а значит, 10 - несовершенное число. Если мы проверим все остальные числа, то увидим, что в большинстве случаев сумма делителей получается либо больше, либо меньше. Среди чисел от 1 до 100 только 6 или 28 совершенные. Если дойти до 10,000, найдутся ещё два совершенных числа: 496 и 8128.

Древним грекам были известны только эти совершенные числа, и новых никто не обнаруживал ещё тысячу лет. Если бы можно было найти какую-то закономерность среди этих чисел, это помогло бы открыть и другие подобные. Что же общего у этих совершенных чисел? Во-первых, стоит заметить, что каждое следующее на порядок больше предыдущего. Во-вторых, на последнем месте чередуются 6 и 8, из чего мы можем заключить, что всё это чётные числа.

А вот где начинаются странности. 6 можно записать как сумму 1 + 2 + 3, 28 как 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7. Другие совершенные числа также можно записать как сумму последовательности натуральных чисел. Представьте, что мы составляем стопки, и в каждой следующей на одну плитку больше. В итоге получается треугольник.

Поэтому такие числа ещё называют треугольными. Совершенное число кроме шести - это сумма последовательности нечётных чисел, возведённый в куб. 28 - это 1 + 3 в кубе, 496 - это 1 + 3 в кубе + 5 в кубе + 7. А 8128 - это 1 + 3 в кубе + 5 в кубе + 7 в кубе + 9 в кубе и так до 15.

А вот от чего у меня голова кругом идёт. Если записать эти числа в двоичной системе, 6 превратится в 110, 28 в 1100, 496 в 111110000, 8128 как 1 и 4 нуля. Как вы уже поняли, тоже ряд единиц, за которым идёт ряд нулей последовательной степени двойки.

Около 200 года до нашей эры в том же русле рассуждал Ив Клит. Он нашёл закономерность, которая следует совершенным числам, берём один и удваиваем. Продолжаем удваивать, получаем 4, 8, 16, 32, 64 и так далее. Бьем из этого ряда 1 + 2 + 3. Если сумма равна простому числу, умножаем его на последнее в записанном выражении и получаем совершенное число. 2 натри - это 6, первое совершенное число.

Давайте повторим с другими числами: 1 + 2 + 4 будет 7. Это опять же простое число. Умножаем на 4 и получаем 28, второе совершенное число. 1 + 2 + 4 + 8 = 15. 15 - не простое число, поэтому продолжаем прибавлять + 16. Получаем 31 - это простое число, умножаем его на 16, это 496, третье совершенное число.

Таким же образом можно и дальше искать совершенные числа. А ещё можно записать первые три в другом виде: 6 = 1 + 2 x 2 в первой степени. 28 = 1 + 2 + 4 на 2 в первой, а 496 - это 1 + 2 + 4 + 8 + 16 на 2 в четвёртой. Первый множитель - это простое число. Запись можно сделать ещё удобнее.

Сложим произвольное количество последовательных степеней двойки, например 2 в нулевой степени, то есть 1 + 2 в первой + 2 во второй и так далее до 2 в степени N - 1. N нам неизвестно, поэтому мы не знаем ответ, но это будет чему-то равно. Например, пусть это T. Теперь умножим всё это уравнение на 2: получим 2 в первой степени T, 2 во второй и так далее до 2 в степени N, и всё это равно 2T.

Теперь, если вычесть первое уравнение из второго, почти всё сократится и останется T = 2 в степени N - 1, то есть вся длинная левая часть означает на о меньше чем 2 в степени N. Тогда 6 - это 2К - 1 x 2 в первой, 28 - это 2К - 1 на 2, а 496 - 2 - на 24. Видите закономерность? Степень здесь всегда на один больше, чем здесь. Назовём её P, и формула Эвклида для совершенного числа будет такой: 2 в степени P - 1 у 2 в степени P - 1, если в скобках простое число, поскольку мы умножаем его на 2 в степени P - 1.

Что даёт чётное число? Ответ всегда будет чётным. Как находить чётные совершенные числа? Но не доказал, что это единственный способ. Значит, совершенные числа можно находить как-то иначе, и возможно, среди них окажутся и нечётные.

400 лет спустя древнегреческий философ Никомах опубликовал "Введение в арифметику", которая на 1,000 лет стала основным трудом по математике. Он предположил пять гипотез, которые считал верными, но не потрудился доказать.

Первое: энное совершенное число содержит N цифр. Вторая: все совершенные числа чётные. Третье: все совершенные числа поочерёдно заканчиваются на шесть и на восемь. Четвёртое: по формуле Евклида вычисляются все чётные совершенные числа. Пятое: совершенных чисел бесконечно много. В следующую тысячу лет эти допущения никто не мог ни доказать, ни опровергнуть. Их принимали за аксиому.

В X веке египетский математик Исмаил ибн Хлун составил список десяти совершенных чисел и соответствующих им значений P. Три числа из списка оказались совсем не совершенными, но остальные вполне. Пятое совершенное число восемь цифр, что опровергает первую гипотезу Никомаха. Дальше важно заметить, что пятое и шестое числа оба заканчиваются "шестёркой". Это опровергает третью гипотезу о том, что совершенные числа поочерёдно.

Итак, две из пяти гипотез оказались неверными. А что с остальными тремя? Через 200 лет в Европе эпохи Возрождения заново вычислили пятое, шестое и седьмое совершенное число. До тех пор все совершенные числа соответствовали формуле Евклида. Искать новые удобнее всего было, находя новые P, при котором 2 в степени P - 1 - это простое число.

Французский математик Мерсен в 1644 году опубликовал книгу, в которой привёл список 11 значений P, при которых получались простые числа. Те, для которых это оказалось верно, известные под названием простые числа Мерсен. Первые семь из предложенных им значений P действительно дают совершенные числа, как раз первые семь из них. Но всё остальное, например, даже 27, по собственному признанию проверить не стал, проверять простое ли число, состоящее из 15 знаков, никакого времени не хватит.

Вопрос совершенных чисел Мерсен обсуждал с другими светилами эпохи, включая Пьера Ферма и Рене Декарта. В 1638 году Декарт писал Мерсену, думается, я могу доказать, что не существует чётных совершенных чисел за исключением Евклидовых.

А ещё он считал, что если существует нечётное совершенное число, то оно имеет другой вид. Это должно быть произведение простого на квадрат другого числа. Если бы он оказался прав, это был бы самый значительный прорыв в решении задачки со времён Евклида, но ни одно из этих заявлений Декарт подтвердить не смог.

Он писал: "Представляется, что действительные нечётные совершенные числа можно найти, но любой метод их поиска потребует продолжительной работы". Примерно через 100 лет в Санкт-Петербургской академии прусский математик Рих Летним гения. Они вели переписку, и в 1729 году Гольбах представил ему рабочий Ферма. Поначалу тот не заинтересовался, но стараниями Гольбаха чуть позже всё-таки увлёкся теорией чисел и следующие 40 лет занимался различными математическими вопросами.

Среди них была и проблема совершенных чисел. Этого гения звали Леонард Эйлер. Начал с того, на чем остановился, но преуспел больше. Ему принадлежат три достижения в работе над совершенными числами. В 1732 году он нашёл восьмое совершенное число. Для этого ему пришлось подтвердить, что 2 в 31 степени - 1 - это простое число, как и говорил Мерсен.

Что до других открытий, Эйлер изобрёл новый инструмент - сигма-функцию. В ней берутся все делители числа, включая само это число, и складываются. Давайте попробуем: возьмём число 6, сложим все его делители и получим 12, что в два раза больше.

Такую же картину мы увидим для всех совершенных чисел. Сигма-функция совершенного числа всегда даёт число вдвое больше, поскольку включает в качестве одного из делителей само число. Возможно, на первый взгляд в этом нет ничего интересного, но функция оказалась невероятно полезной. Давайте разберёмся на примерах!

Берём простое число, скажем 7. Когда число простое, это значит, что у него есть только два делителя: единица и само это число. Поэтому сигма-функция семи - это 1 + 7, что равно 8. Чтобы было проще, оставим на экране только цифры.

Что если вместо семи будет 7 в квадрате? Сумму делителей вычислить просто: 1 + 7 + 7 в квадрате. Проделаем то же самое с другим числом. Возьмём 20. Сумма его делителей - это 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20, то есть 42. Запишем как произведение многочленов: 1 + 2 + 4 на 1 + 5.

Вот в чём польза этой функции: мы показали, что сигма-функцию составного числа можно представить как произведение сигма-функции его простых делителей в соответствующих степенях. Для числа 20 это будет 2 во второй степени на 5 в первой. Все натуральные числа - это произведение степеней простых чисел.

Выходит, сигма-функцию любого числа можно разложить на произведение сигма-функции этих делителей. Имея в своём распоряжении сигма-функцию, Эйлер сделал то, чего не сумел Кар, он доказал, что любое чётное совершенное число соответствует формуле Евклида. С помощью теоремы Евклида Эйлера удалось решить проблему, которая никому не давалась 1600 лет и доказать чету гипотезу историк коллаборации в истории.

Но Эйлер на этом не остановился. Он хотел решить проблему нечётных совершенных чисел. Ради третьего открытия он взялся доказывать второе утверждение Декарта: все нечётные совершенные числа должны иметь определённый вид. Если нечётное совершенное число существует, вот что нам о нём известно. Во-первых, оно нечётное. Во-вторых, сигма от N равна 2n.

Любое число n можно записать как произведение разных простых чисел, каждый из них может быть в какой-то степени. Учтём это и попробуем применить сигма-функцию Эйлера. Получится, что сигма N равно сигма всех этих простых чисел равно 2n. Раз все эти множители простые, то мы можем разбить сигма-функцию на сигма-функции этих множителей.

Стоит заметить, что если простое число возвести в нечётную степень, например 7 в первой, то сигма-функция будет чётной: 1 + 7 - это 8, чётное число. Будет получаться всегда, потому что мы складываем два нечётных. Если мы возводим простое число в чётную степень, например в квадрат, тогда значение сигма-функции получится нечётным: сигма 7 в квадрате равна 1 + 7 + 7 в квадрате, и это равно 57.

Нечётное плюс нечётное плюс нечётное равно нечётное. Итак, сигма-функция от нечётного простого числа в нечётной степени даёт нам чётный результат, а от нечётного простого в чётной степени - наоборот, нечётный. Здесь-то и оказалось важным потрясающе озарение Эйлера.

Справа мы получили 2n, где N - нечётное совершенное число, а 2 - чётное. Это значит, что в левой части только одно чётное число, потому что если их будет два, можно будет вынести четвёрку за скобки. Но если так, то мы сможем вынести 4 и справа, что невозможно, потому что N - нечётное число и здесь только одна двойка.

То есть только одно из этих двух сигма-функций может дать чётное число. А значит, здесь только одно простое число в нечётной степени, а остальные должны быть строго в чётной, как и говорил Декарт. Эйлер ещё немного уточнил расчёты и показал, что нечётные совершенные числа должны удовлетворять этому условию, но доказать или опровергнуть, что они есть, не удалось.

Он писал: "Существуют ли нечётные совершенные числа? Это весьма сложный вопрос". За следующие 150 лет в его решении почти нисколько не продвинулись, не нашли даже новых совершенных чисел. Английский математик Питер Барлоу писал, что совершенных чисел больше восьмого, открытого Эйлером, никогда не обнаружат, поскольку они лишь занятные, но бесполезны.

Маловероятно, чтобы некто предпринял попытку искать большие числа, но Барлоу ошибся. Математики не потеряли интереса к этим загадочным совершенным числам. Большинство начинали поиски с простых чисел из списка Мерсен. Если точнее, с двух в степени 7 минус 1.

До этого момента в работе Мерсен всё было отлично. В его списке было P для восьмого совершенного числа, найденного Эйлером. Зато не было Д9, которая в конечном итоге не давала совершенного числа. Однако спустя 230 лет после публикации списка, Эдуард доказал, что 2 в степени 7 - 1 - это непростое число, хотя и не смог найти его делители.

Через 27 лет Фрэнк Нельсон, когда выступал перед Американским математическим обществом, не говоря ни слова, подошёл к доске и написал: "2 в степени 7 - 1 = 147 квинтиллионов, 573 квадриллиона, 952 триллиона, 589 миллиардов, 676 миллионов, 41227". Затем на другой доске он умножил 193, 77, 721 на 761 миллиард 83827287 и получил тот же результат.

Также молча он вернулся на своё место, а зал разразился бурными аплодисментами. Позже Кол говорил, что ради этого ему пришлось 3 года подряд тратить на вычисление все воскресные дни. Компьютер справился бы меньше чем за секунду. С 00 года до нашей эры по 1952 год люди нашли всего 12 простых чисел Мерсен, и значит, всего 12 совершенных чисел подтвердить.

Правда ли большие числа Мерсен? На простые было сложно. Чтобы это сделать, в 1952 году американский математик Рафаэль Робинсон написал программу для самого быстрого компьютера того времени - SWC. За 10 месяцев он нашёл следующие пять простых чисел Мерсен и соответствующие им совершенные.

На протяжении 50 лет после этого простые числа Мерсен вычисляли одно за другим и всё на компьютерах. К концу 1952 года самым большим простым числом Мерсен было 2 в степени 2281 - 1. В нём 687 знаков. К концу 1994 самым большим было 2 в степени 859433 - 1, в котором 258 знаков. Поскольку числа становились всё более огромными, задача поиска новых усложнялась и в 1996 информатик Джордж Воман запустил широко масштабный поиск простых чисел Мерсен на добровольных началах.

Работа по вычислениям распределяется по множеству компьютеров, и любой может предложить мощь своей техники в помощь математикам. Можно сказать, что проект себя оправдал. Однако из них были самыми большими из известных на тот момент.

Что самое интересное: если новое число найдёт ваш компьютер, то вас пишут в качестве первооткрывателя этого числа и ваше имя попадёт в один список с именами величайших математиков всех времён. За первое найденное простое число длиной в миллиард знаков даже обещают награду в 250 тысяч долларов.

201 дее простое число Мерсен - это 2 в степени 772291 - 1. В нём больше 23 миллионов знаков, и на тот момент это было самое длинно известное нам простое число. В честь этого одно японское издательство выпустило вот такую книгу - "Самое большое простое число 2017 года". В ней напечатано только это число - 719 страниц от первого до последнего знака.

Обалдеть! Здесь просто очень мелкий шрифт. Книга быстро заняла первое место на Амазоне и разошлась за 4 дня. Через год нашли новое, пятьдесят первое простое число Мерсен - это 2 в степени 82589933 - 1, и в этом числе 24,862,048 знаков. Мне нравится такого рода абсурд.

В этой книге заключено знание, но прочитав её, никто ничего так и не узнает. Всё равно приятно, что то самое число выразили в какой-то физической осязаемой форме. Если мы когда-нибудь растеряем простые числа, кто-нибудь найдёт эту книгу, посмотрит и подумает: "О, ничего себе, какое большое!".

На сегодняшний день это самое большое простое число, которое нам известно. Так получается почти всякий раз, поскольку каждое новое открытое простое число больше предыдущего. Компьютеры довольно успешно справляются с поиском новых простых чисел Мерсен и соответствующих им совершенных чисел, и всё-таки пока что мы знаем всего 51 из них.

Может показаться, что должно быть их ограниченное количество, и тогда пятая гипотеза Никомаха будет ошибочной, то есть количество совершенных чисел конечное, но возможно, это не так. Существует гипотеза стаф, которая предсказывает, сколько должно быть простых чисел Мерсен в зависимости от величины P.

А так на графике выглядит известные нам данные. Похоже, гипотеза вполне неплохо себя показывает. И обратите внимание, согласно ей простых чисел Мерсен бесконечное множество. А значит, бесконечно много и чётных совершенных чисел.

Но чисто Мерсен настолько велики и так редко встречаются, что на их поиск уходит много времени и компьютерных мощностей. Однако гипотеза ничего не доказывает, и вопрос о количестве совершенных остаётся древнейшей нерешённой задачей в математике вместе с другим смежным вопросом: существуют ли нечётные совершенные числа.

Проще всего ответить на него, если бы нашёлся пример. Почему бы не взять разные нечётные числа и не проверить, нет ли среди них совершенного? Это и попытались сделать исследователи. В 1991 году с помощью алгоритма Фи им удалось показать, что если нечётное совершенное число существует, оно не меньше степени.

Через 21 год Паскаль и Майкл РАУ увеличили порог до 10 в степени 2200. При таких огромных числах мало надежды, что компьютеры быстро что-то найдут. Значит, надо поднапрячь мозг. Каким должно быть доказательство? То есть как это в принципе пода.

Я думаю, в основном все брались за это. Вони дол удовлетворять нечётное совершенное число получается такая паутина условий. Итак, у него должен быть десяток разных простых делителей и может тысячи простых делителей. В общем, оно должно быть больше детям тысячной степени и соответствовать другим требованиям. Мы надеемся, что однажды этих требований станет так много, что будут удовлетворяются новые условия.

Ну, пока это не помогает. Однако возможно, есть другой способ. Когда искал нечётные совершенные числа, он в своих расчётах получил 198, 585, 576, 1889, что можно записать как 3К у 7К у 11К у 13К у 2221. Если подставить это в сигма-функцию Эра, окажется, что это равно 2 исходное число, другими словами, оно совершенно.

Было бы только вот 2221 не простое число, потому что оно равно 19К у 61. Если подставить их, мы увидим, что число несовершенное. Нечётные числа, которые очень похожи на совершенные, называют имитациями совершенных.

Любопытно, что это большее множество нечётных совершенных чисел обладает всеми свойствами имитаций и ещё несколькими. Сверху можно такие свойства имитации, которые мешают им быть совершенными. Скажем, согласно одному из своих свойств нечётные совершенные не делятся на 105, и при этом окажется, что имитации в обязательном порядке делятся на это число.

То подтвердится, что нечётных совершенных чисел быть не может. В 2022 году исследовательский коллектив Пейса Нельсона нашёл 21 имитацию совершенных чисел, в том числе тоже, что и им удалось определить некоторые новые их свойства. Однако ни одно из них не исключало существование нечётных совершенных чисел.

И всё-таки насколько большим будет нечётное совершенное число? Их не существует. То есть вы думаете, что нечётных совершенных чисел не бывает? Не думаю. Не бывает, но жаль, конечно, было бы здорово, если бы где-нибудь во Вселенной нашлось одно громадное нечётное совершенное число. Но нет их, не существует.

Почему? Выре их аргумент - это не доказательство. Если доказательство появится, то аргументы не нужны. Но суть его в том, что если простые числа такого типа встречаются с определённой частотой, то мы собираем разные данные и видим, что в среднем должно получаться такое-то количество совершенных чисел. Первым это высказал Карл Померан.

Согласно ему, между девятью в степени две бесконечностью, меньше в ми 54 степени соответствующих форме ра P нак, получается, что не стоит надеяться их найти. Мы следовали достаточно, чтобы считать вполне убедительными свидетельства их отсутствия. Если я правильно понял этот аргумент, то он применим к любым совершенным числам.

Выходит, их вообще стоит перестать искать? Да, правильно, есть определённый пробел. Пробел в том смысле, что больших чётных совершенных чисел быть не должно. И всё же мы думаем, что их бесконечное количество.

Ну и что ж, почему тут я пользуюсь этим аргументом, а тут нет? Да, это вопрос, как будто немножечко лукав. Да, к этому аргументу можно добавить другие факторы, и он станет убедительнее, но вы правы, это не доказательство. Пока этот вопрос остаётся проблемой математики. Эйлер был прав: существуют ли нечётные совершенные числа - это весьма сложный вопрос.

А есть ли для этой задачи какое-то практическое применение? Я отвечу: "Нет, наверное". Многие думают, что если нет прикладного значения, то этим вопросом и вовсе не стоит заниматься. Зачем кому-то тратить силы на какую-то старую нерешённую задачу? Но мне кажется, что это неправильный подход.

Больше 2000 лет в теории чисел не было никакого практического смысла. Математики занимались ей из чистого любопытства и решали задачи, которые вызывали у них интерес, подтверждали один результат за другим и строили фундамент бесполезной математики. А в X веке мы вдруг поняли, что на этом фундаменте можно построить криптографию, создать способ защиты всего - от текстовых сообщений до государственных тайн.

Каждый раз, когда много людей занимаются одним и тем же вопросом, из этого выходит. Когда они только начинают, ничего не получается. Ну и пусть, как говорил Эдисон: "Я узнал 999 способов не сделать лампочку". Теперь знаю один, как сделать. В математике то же самое.

Есть какая-то проблема, вы за неё берётесь, другие за неё берутся, у вас появляются идеи. В конце концов, из этого вырастает какой-то хороший резу. Общая теория относительно интеллектуальной де конки, не задумываясь о том, как они однажды изменят наше представление о Вселенной.

Как думаете, сколько людей сейчас заняты совершенными числами? Работы выходит, наверное, человеку 10-1. Если заканчиваете школу, любите математику, но не знаете, каким вопросом себя занять, это отличный вариант. И здесь можно понять что-нибудь новое.

Тысячи лет над этим вопросом бились сотни тысяч человек, что вы тут можете сделать? Что-нибудь? Да, можете. Зачем заниматься чем-то, не зная, даст ли это хоть какой-нибудь результат? Затем, что если не попробуете, результата точно не будет. Исход нельзя предсказать заранее. Возможно, окажется, что задача пустая, её решат и на этом всё закончится, а возможно, решение окажется полезным.

Единственный способ узнать наверняка - попробовать.