Ричард Фейнман: Характер физического закона. Лекция #2. Связь математики и физики
[музыка] [музыка] Корнельский университет [музыка] США. Характер физического [музыка] закона мессенджеров. Ские лекции от профессора Ричарда [музыка] Фейнмана. Связь математики и физики.
Здравствуйте! Сегодня я вижу аудиторию, исходя из размеров, которой в прошлый раз. Перед глазами я видел только чёрную точку. Можно предположить, что многие из вас не особо знакомы с физикой, а кто-то не сведущ в математике. И я не сомневаюсь, что есть и те, кто не знает ни физики, ни математики. Это серьёзный вызов для выступающего, которому предстоит вести речь о связи физики с математикой. Это вызов, который я всё-таки не приму. Я сформулировал тему разговора, используя и высказал её недвусмысленно: это связь математики и физики.
Если вам покажется, что в каких-то моментах вам не хватает поверхностного знания физики или математики, я ничего не смогу с этим поделать. Тема уже была озвучена. Говоря о применении математики в области физики, вполне естественно, что математика будет полезна при операциях с большими числами в сложных ситуациях. Но если взять, например, биологию — действие вируса на бактерию, если посмотреть через микроскоп, не математично. Вирус находит место на бактерии странной формы. Они все странной формы, и он находит там себе место. Возможно, он внедряет своё ДНК. А может и нет, и всё такое. Но всё же, если мы проведём эксперимент с миллионами миллиардами бактерий и вирусов, мы узнаем очень много о вирусе, работая со средними величинами. Мы можем использовать математику для измерения средней величины, чтобы узнать, развиваются ли вирусы в бактериях, в новые штаммы и в каком процентном соотношении.
Так мы можем изучать генетику, мутацию и так далее. Рассмотрим другой, менее научный пример. Представьте себе доску — огромную доску для игры в шашки. Если доска очень большая, любой ход по ней процесс не математический или очень простой. Даже если математический — это движение в одну или другую сторону, по диагонали. Дойдя до конца, шашка выходит в дамки, и в этом случае может ходить назад. Иными словами, формулировка правил очень проста, никак не связана с математикой. Но на огромной доске с множеством фигур некий анализ лучшего хода или хороших и плохих ходов может быть совершен посредством глубоких размышлений, в процессе которых кто-то походит первым и будет глубоко размышлять над этим. А это уже математика, это абстрактное рассуждение.
Другой пример — это переключение в компьютерах. Если у вас один выключатель, он либо включён, либо выключен. И в этом нет ничего математического. Хотя математики любят здесь начинать свою математику. Но чтобы понять, что будет делать большая система со всеми взаимосвязями и проводами, необходима математика. Я бы непременно хотел сказать, что у математики есть основное применение, огромное применение. Она объясняет детали феноменов в сложных ситуациях, позволяя понять основные правила игры.
Если бы речь шла только о связи математики и физики, я бы посвятил этому большую часть моего обсуждения. Но поскольку мои лекции о характере физического закона, у меня нет времени обсуждать применение математики и физики для вычисления того, что происходит в сложных ситуациях. Но мы немедленно перейдём к другому вопросу — характеристикам основного фундаментального закона.
Возвращаясь к нашей игре в шашки, фундаментальные законы — это правила, по которым шашки двигаются. Математика может быть применена в сложной ситуации для вычисления следующего хода. Удачного хода в сложной ситуации, но совсем немного математики требуется в фундаментальных простых характеристиках основных законов. Как ни странно, но для фундаментальных законов физики математика всё же требуется. К примеру, я приведу два примера: первый, где она не нужна, и второй, где нужна.
Физики есть такой закон — закон Фарадея, который гласит, что при электролизе масса осаждённого вещества на электроде пропорциональна силе тока и времени его действия. Иначе говоря, количество осаждённого вещества пропорционально заряду, проходящему через систему. Звучит очень математично, но вот что по сути происходит: каждый электрон, проходящий через электролит, несёт один заряд. Рассмотрим конкретный пример: для выделения одного атома требуется прохождение одного электрона. Таким образом, количество осаждающихся атомов пропорционально количеству проходящих электронов, то есть заряду, идущему через провод.
Итак, представленный математический закон по сути не требует особых знаний математики. Для осаждения одного атома требуется один электрон — это несложно. Можно сказать, это математика начального уровня. Но это не та математика, о которой я веду речь сегодня.
Теперь, если мы рассмотрим закон гравитации Ньютона, который я записал в прошлый раз, просто чтобы удивить вас тем, с какой скоростью математические символы могут передавать информацию. Мы говорили, что сила пропорциональна массам двух объектов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. И что тела реагируют на силы, изменяя скорость или движение в направлени силы, пропорционально силе воздействия и обратно пропорционально их массам. Теперь, когда эти слова понятны, мне можно было и не писать уравнение. Тем не менее, я его записал.
И мы можем задуматься, как это может быть фундаментальным законом. Что делает планета? Неужели она смотрит на солнце, видит, насколько оно далеко, и вычисляет на своём арифмометре обратный квадрат расстояния, чтобы узнать, как нужно двигаться? Это, конечно, не объяснение механизма гравитации. Возможно, вы захотите разобраться, и различные люди пытались разобраться. Ньютона изначально спрашивали: «Это ничего не значит, это ни о чём нам не говорит, это говорит нам, как она движется. Этого достаточно!» Я сказал вам, как они, почему, но люди часто недовольны, если не понимают механизма.
Я хотел бы рассказать одну теорию, которая была открыта. Среди прочих способов. Может, вам понравится это — результат операции с большими числами, и поэтому она математическая. Я объясню вам эту теорию. Возможно, вы о ней уже думали. Порой вбегает какой-нибудь студент и внезапно объясняет гравитацию. Предположим, что повсюду в мире существуют пролетающие сквозь нас на очень высокой скорости частицы. Они одинаково летят во всех направлениях… летят, летят, летят. Иногда сталкиваются с нами. Мы и солнце практически проницаемы для них. Почти. Некоторые сталкиваются, так что мы не совсем проницаемы.
Если солнце здесь, а земля здесь, и если бы здесь не было солнца, частицы бы падали со всех сторон, давая небольшие импульсы от столкновений тех немногих частиц. Но они бы не сдвинули землю в каком-либо направлении, потому что эти частицы движутся со всех сторон, сверху, снизу. Однако, когда солнце здесь, частицы, которые движутся в этом направлении, частично поглощаются солнцем, сталкиваясь с ним. Поэтому количество частиц, движущихся к земле с этой стороны, меньше, чем количество частиц, движущихся с другой, так как здесь их не поглощает солнце.
И легко увидеть, приложив некоторые умственные усилия, что чем дальше солнце, тем пропорционально меньше доля частиц, которых оно блокирует. Размер солнца кажется меньшим и оказывается обратным квадрату расстояния. Таким образом, возникает импульс, направленный к солнцу, который обратно пропорционален квадрату расстояния, является результатом множества очень простых действий: столкновение одного за другим во всех направлениях. Таким образом, отношение математики к данному явлению становится намного понятнее, поскольку простые действия намного проще вычисления обратного квадрата расстояния.
Этот механизм производит вычисление в то время, как частицы движутся. Пожалуй, это не работает по другим причинам. Каждая теория должна быть проанализирована для выявления всех возможных следствий, чтобы проверить, прогнозирует ли она что-то ещё. А это кое-что прогнозирует. Если земля вращается таким образом, больше частиц будет попадать на неё спереди, чем сзади. Если вы бежите в дождь, он сильнее мочит лицо, чем затылок, потому что вы бежите против него. И если земля вращается в этом направлении, она движется навстречу части, что догоняет её сзади.
Таким образом, больше частиц попадает на неё спереди. Поэтому при малейшем движении возникла бы боковая сила — это боковое вращение замедлило бы 3-4 миля в год, вращаясь вокруг солнца. Вот и конец этой теории. Ну, скажете вы, эта теория хотя бы ненадолго избавила от математики? Никто не знает пределов, но до сих пор со времён Ньютона никто не придумал другого теоретического описания, математического механизма, стоящего за этим законом, который бы не повторял его вновь или усложнял и в то же время не имел бы неверные следствия. У этой теории также есть некоторые следствия, и они неверны. Таким образом, сегодня нет другой модели теории гравитации, кроме математической.
Если бы это был единственный подобный закон, он был бы интересным и довольно раздражающим. Но на самом деле, чем больше мы исследуем и чем больше законов мы открываем, чем глубже проникаем в суть природы — это болезнь, что мы выражаем каждый закон чисто математическим утверждением, при том довольно сложным и мало понятным. Это довольно простая математика, но она становится всё менее понятной и всё более сложной.
Почему я не имею ни малейшего представления? Почему целью моей лекции является только лишь рассказать вам об этом факте? Другими словами, целью данной лекции является объяснить вам, почему я не могу помочь вам понять, если вы не сильны в математике природу каким-либо другим способом. В целом суть лекции заключается в том факте, что нельзя по-честному объяснить все красоты законов природы так, чтобы люди восприняли их одними чувствами без глубокого понимания математики. Мне жаль, но это так.
Вы можете сказать: «Хорошо, если нет объяснения законов, скажите хотя бы, что это за закон? Почему бы не объяснить словами вместо символов?» Математика — это просто язык, и я хочу уметь переводить язык, и действительно, я могу с терпением. Думаю, уже частично это сделал. Я могу пойти немного дальше и объяснить более детально, что это означает. Если объект в два раза дальше, сила равна 1/4 и так далее. Я могу передать всё это словами, так что я буду стараться для присутствующих здесь не специалистов, которые ждут, что я им что-то объясню.
Разные люди имеют разные заслуги в умении объяснять не специалистам доступным для них языком трудные для понимания предметы. Затем не специалист просматривает книгу за книгой в надежде избежать сложностей, которые в конечном итоге наступают даже у лучших в своём деле поляризаторов. Он читает и обнаруживает это общее нарастающее непонимание — одно сложное утверждение за другим, одна сложная для понимания вещь за другой. Все очевидно не связаны друг с другом, и становится не совсем ясно.
Он надеется, что может быть, в какой-нибудь другой книге найдётся объяснение. Я имею в виду, что здесь почти понятно, но может, у другого автора ещё понятней. Я не думаю, что это возможно, потому что есть другая особенность: математика — это не просто другой язык, это язык плюс рассуждение. Это как язык плюс логика. Математика — это инструмент для рассуждения. На самом деле, это большая коллекция точных размышлений и рассуждений некоторых людей.
С помощью математики возможно соединить одно утверждение с другим. Например, я могу сказать, что сила направлена на солнце. Также я могу сказать вам, как говорил ранее, что планета движется. И если я проведу линию от солнца к планете и ещё одну к положению планеты через, например, 3 недели, площадь между двумя линиями будет такой же, как ещё через 3 недели, ещё через три и так далее по ходу вращения вокруг солнца. Я могу подробно объяснить вам оба этих утверждения, но я не могу объяснить, почему они означают одно и то же. Если вы не цените математику, вы не сможете увидеть, что огромное разнообразие фактов, вся очевидная сложность природы со всеми её забавными законами и правилами, которые вам подробно объяснили, на самом деле очень плотно переплетено, и логика позволяет вам переходить от одного факта к другому.
Может показаться невероятным, что я могу продемонстрировать, что за равное время заметает одинаковую площадь, если силы направлены к солнцу. Если получится, я покажу вам одну демонстрацию, чтобы вы поняли это, чтобы вы оценили, что есть нечто большее, чем просто изложение двух законов. Что два закона связаны, так что путём рассуждений можно переходить от одного к другому, что математика — это организованное рассуждение и что хорошо знать, как его проводить. Так вы оцените красоту связи суждений.
Итак, я попробую доказать, если смогу, что если силы направлены к солнцу, то за равное время заметают равной площади. Итак, начнём. Вот солнце. Представим, что планета в определённое время находится здесь и движется таким образом, что, скажем, через секунду или час, возьмём любое время, через секунду она передвинется таким образом, что окажется в позиции 2. Если бы солнце не оказывало на неё никакой силы, то по принципу инерции Галилея она продолжит движение по прямой. Так, через такой же промежуток времени, через секунду, она обойдёт точно такое же расстояние по той же прямой до позиции 3. Не действуя на неё сила.
Хорошо, во-первых, покажем, что без воздействия силы равные площади заметаются за равное время. Напомню вам, что площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, и что высота — это вертикальное расстояние до основания. Если треугольник косой, у него есть название, которое я забыл — тупоугольный. Тупоугольный. Тогда высотой будет эта вертикальная линия. Я разбираюсь в треугольниках, я просто не знаю их названий. Теперь проведём линии к этим двум точкам, учитывая, что никакого притяжения нет.
Вопрос в том, чертёж не очень точен, но эти два расстояния равны. Запомните: вопрос в том, равны ли эти площади. Рассмотрим треугольник, составленный солнцем и точками О и 2. Вот он. Чему равна его площадь? Основание умножено на высоту. А что насчёт другого треугольника, который образуется при движении от точки 1 к точке 2? Вот его основание и та же высота. Два треугольника имеют одну высоту, и как я показал, равное основание и равную площадь. Пока всё хорошо.
Если бы не было силы со стороны солнца, равные площади заметались бы за равное время, площади треугольников равны. Но со стороны солнца действует сила, и в течение этого интервала от одного к двум и к трём притяжение солнца изменяет движение в различных направлениях. Сюда, сюда, сюда. Достаточным приближением будет, если мы возьмём центральную позицию и скажем, что весь эффект на протяжение этого интервала определённым образом изменил движение в этом направлении к солнцу.
Это означает, что хоть частицы и двигались сюда и начали бы двигаться сюда в следующее, но под влиянием солнца движение изменяется на определённую величину, направленную в эту сторону. Эти две линии параллельны, строго параллельны. Это направление, в котором возникает новое движение. Таким образом, мы окажемся не в позиции 3, а скорее в позиции 4. Теперь мы сравним чертёж. Становится сложным. Треугольник 2-4-3 и 3-2-4. Я скажу вам, что они равны. У них общее основание. У этих двух треугольников, у того, что образовался без действия силы, и того, что образовался по действием силы их основания равны, а высота одинакова. Конечно, ведь они заключены между параллельными линиями. И поэтому у них общая высота.
Тогда площадь последнего треугольника, что я начертил, равна площади второго треугольника. А он, как я доказал ранее, равен первому. Так, в настоящем орбитальном движении планеты площади, проходимые за первую и вторую секунду, соответственно, равны. Итак, путём рассуждений мы можем увидеть связь между фактами, что сила направлена к солнцу и что площади равны. Умно, не так ли? Я позаимствовал это у Ньютона. Это взято из его начал и чертёж и доказательства буквы другие. Он писал на латыни, а эти цифры арабские. Но, между прочим, Ньютон проводил доказательства также геометрически, и все доказательства в его книге также геометрически.
Сегодня мы не применяем этот вид рассуждения. Мы используем аналитическое рассуждение символами. Этот способ рассуждения требует мастерства чертить правильные треугольники. Правильно чертить, я имею в виду учитывая площади. Для того чтобы понять, как это делать, нужно быть умным. Но с появлением продвинутого анализа можно быть и более глупым, а также писать быстрее и намного эффективнее. Я хочу только показать вам, как это выглядит в обозначениях более современной математики, где вы не делаете ничего, кроме как записываете кучу символов для вычисления.
Во-первых, поговорим о том, как быстро изменяется площадь, обозначим это А с точкой. А площадь меняется, когда проворачивается радиус. А составляющая скорости под прямым углом к радиусу, умноженная на радиус, показывает, как быстро меняется площадь. И это равно радиальной составляющей расстояния, умноженной на скорость, то есть на быстроту изменения расстояния. Теперь вопрос в том: меняется ли сам показатель изменения площади?
В принципе он не должен меняться. Показатель изменения площади не должен меняться. Дифференцируя снова — это лишь маленькая хитрость с расстановкой точек в нужных местах — вот и всё. Нужно только научиться этим хитростям. Это просто набор правил, которые, будучи обнаруженными, оказались весьма полезными. В подобных ситуациях это обозначает составляющую скорости под прямым углом к скорости. Её нет. Скорость не направлена под прямым углом к себе, а ускорение. Вот это: вторая производная или производная скорости равна силе, делённой на массу.
Это означает, что скорость изменения скорости изменения площади является составляющей силы под прямыми углами радиусу. Но если сила направлена по радиусу, как говорил Ньютон, нет силы под прямыми углами к радиусу! А это означает, что показатель изменения площади не меняется. Ньютон умел делать и так, и так, только в несколько других обозначениях, но он предпочёл этот способ, стремясь к тому, чтобы люди могли прочесть его статьи. Он изобрёл эту математику исчисления бесконечно малых, которая хорошо показывает связь математики и физики.
Когда в вопросах физики возникает затруднение, мы всегда можем обратиться к математикам, которые уже изучали эти вопросы и подготовили направление рассуждения. Мы можем последовать. В противном случае нам придётся самим определять это направление, которое потом перейдёт к математикам. Потому что любой, кто тщательно рассуждает о чём-то, вносит вклад в формирование знания об этом предмете. Если представить его рассуждение в общем виде и передать математикам, то они внесут их в свои книги в качестве раздела математики.
Математика — это путь, по которому мы переходим от одного до другого. Она, несомненно, полезна для физики, потому что она даёт нам различные способы изложения вещей, позволяет разрабатывать следствия, анализировать ситуации, менять законы разными способами и соединять различные утверждения в одно целое. Так что, на самом деле, общие знания физика очень малы. Ему необходимо только запомнить правила перемещения из одного места в другое, и этого будет достаточно. Другими словами, все эти утверждения про равное время, про силы, направленные к радиусу и так далее связаны друг с другом путём рассуждения.
Возникает интересный вопрос: есть ли какой-то шаблон? Есть ли отправная точка? Нечто фундаментальное для всех последующих работ? Или есть какая-либо модель или порядок в природе, исходя из которого мы могли бы понять, какие утверждения более фундаментальные, чем другие? Есть два подхода к математике, которая, исходя из целей этой лекции, я назову вавилонской традицией и греческой традицией.
В вавилонских математических школах студент изучал что-либо на огромном количестве примеров, до тех пор, пока он не понимал общего правила. Там также было много знаний по геометрии, множество свойств окружности и теорема Пифагора, формулы площадей кубов, треугольников и всего остального. Также были известны рассуждения, ведущие от одного к другому, имелись числовые таблицы, при помощи которых можно было решать сложные уравнения и так далее. Всё было подготовлено для вычислений. Но Эвклид обнаружил, что все теоремы геометрии могут быть выведены из ряда довольно простых аксиом.
Я уверен, что вы все знакомы с геометрией на этом уровне. Но вавилонская позиция заключалась в том, что если говорить о том, что я называю вавилонской математикой, вы знаете все эти различные теоремы, множество связей между ними, но вы никогда не думали, что всё это можно вывести из группы аксиом. Современная математика, самая современная математика, использует аксиомы и доказательства с очень чётко определённым рядом условий: что считать аксиомы, а что нет. Например, в геометрии можно использовать аксиомы Эвклида в современном виде и вывести из них всё остальное.
Такие теоремы, как теорема Пифагора, что сумма площадей квадратов, построенных на катетах, равна площади квадрата, построенному на гипотенузе, не является аксиомой. Но возможно и другое построение геометрии. Так, например, в геометрии Декарта теорема Пифагора аксиома. Итак, прежде всего, мы должны согласиться с тем, что даже в математике можно начинать из разных исходных позиций. Поскольку все эти различные теоремы связаны рассуждениями, сказать, что вот эти здесь основные, а эти связанные с ними логически, потому что если бы вам объяснили эту или эту, вы бы направили логику в другую сторону.
И не зная, вы ту сами бы её открыли, это как мост с кучей элементов, которые вновь соединяются, и, если они забываются, вы можете вновь соединить мост другим способом. Современная математическая традиция начинается с конкретных, отобранных по специальным правилам аксиом, и отталкиваясь от них, выстраивает структуру. Сильно я знаю, что она не вавилонская, но можно сказать: «Да, я знаю это и то, и может быть, это я выведу всё отсюда». Завтра я забуду, что это было верным, но я вспомню, что это было верным и восстановлю всё снова. И так далее. Я никогда полностью не уверен, откуда начинать и где заканчивать. Я просто всё время держу в уме достаточно информации, чтобы восстановить всё в любое время, даже если память меня подведёт.
Рассуждения, а таксисы неэффективны для нахождения теорем, для разработки чего-либо в геометрии. Не очень эффективно начинать каждый раз с аксиом. Но если необходимо вспомнить некоторые аспекты геометрии, всегда можно оттолкнуться от них. Так будет намного эффективнее, и лучшие аксиомы не всегда одинаковы, на самом деле они никогда одинаковыми не бывают. Как самый эффективный способ ориентироваться в предмете, физике нам необходим вавилонский метод, а не греческий, и я хотел бы объяснить, почему. Проблема эвклидова метода заключается в том, что аксиомы необходимо сделать более интересными или значимыми.
Но в нашем случае с гравитацией, что будет лучшей аксиомой, более важной, основополагающей, фундаментальной? Сказать, что сила направлена к солнцу, или сказать, что равные площади заметают за одинаковое время? С одной точки зрения, про силу лучше, потому что, определив силу, я смогу рассмотреть систему с множеством тел, в которой орбиты уже не эллипсы из-за взаимного притяжения. И здесь теорема о равных площадях несправедлива. Поэтому я считаю, что аксиомой должен быть закон о силе.
С другой стороны, принцип заметания равных площадей за равные отрезки времени может быть обобщен. Если есть система с большим количеством частиц. До другой теоремы, которую я собирался объяснить, но вижу, что у меня не хватает времени. Но есть другое утверждение, более общее, чем утверждение про равные площади. Необходимо рассказать о нём, оно довольно сложное и не такое красивое, как это, но несомненно является его порождением. Рассмотрим большую систему: Юпитер, Сатурн, солнце. Всё вращается, множество звёзд или чего бы то ни было. Все взаимодействуют друг с другом.
И посмотрим на это, как бы издалека, спроектируем её на плоскость, как на доске, то окажется, что всё движется. Затем возьмём любую точку, скажем, эту, и вычислим, как изменяется площадь каждого объекта. Какую площадь заметают радиус-векторы, проведённые к каждому телу? И сложим всё вместе, но учтите, большие массы вносят больший вклад; если масса в два раза больше, её вклад удваивается. Так вы вычисляете каждую из заметаемых пропорций к массе. Такая сумма площадей не будет изменяться во времени. Она называется моментом импульса системы.
А закон сохранения момента импульса. Сохранение означает лишь, что величина не изменяется. Одно из следствий этого закона, просто чтобы показать вам, для чего он полезен. Представьте множество звёзд, формирующих туманности или Галактики. По мере их сближения, если они были далеко и двигались медленно, заметалась небольшая площадь. Но на очень большом отдалении, расстоянии от центра, так, если они сближаются, расстояние до центра сокращается, звёзды сближаются, и их радиусы становится меньше, и для того чтобы замести эту площадь, им необходимо двигаться намного быстрее.
Целый рой звёзд вращается по кругу, и мы можем приблизительно распознать спиралевидную форму галактик. Таким образом, точно таким же образом можно понять, из-за чего фигурист на льду, вынося ногу вперёд, вращается медленнее, а когда подбирает к себе, быстрее. Когда нога вытянута, она описывает за секунду определённую площадь, опустив её, фигурист должен вращаться гораздо быстрее, чтобы описать ту же самую площадь. Однако я доказывал это не для фигуриста. Он пользуется мускульной силой, а не силой тяготения. Но закон справедлив для него.
Теперь возникает вопрос. Мы часто можем вывести из одной части физики, как например, из закона гравитации принцип, который оказывается намного эффективней прямых следствий. Этого не происходит в математике. Что теоремы возникают там, где их не должно быть. Другими словами, мы предположили, что постулаты физики заключаются в законе гравитации, и мы могли бы вывести закон сохранения момента импульса, но только для гравитации. Но на опыте мы обнаруживаем, что закон сохранения импульса имеет намного более широкое значение.
Ньютон опирался на другие постулаты, с помощью которых он мог вывести более общий закон сохранения момента импульса. Допустим, ньютоновские законы неверны. Сил не существует, у частиц нет орбит и так далее. Тем не менее, видоизменённый принцип равенства площадей и закон сохранения момента справедливы. Они распространяются на движение атомов в квантовой механике и, насколько нам известно сегодня, точны. Таким образом, эти общие принципы распространяются на различные законы. Но если относиться к их выводу слишком серьёзно, считая, что верно, это только потому, что верно.
Это то вы не поймёте взаимосвязь между разными разделами физики. Когда-нибудь, когда физика будет завершена и мы будем знать все её законы, мы, вероятно, сможем начинать с аксиом. И, несомненно, кто-нибудь придумает, как их выбирать, чтобы из них получить всё остальное. Но пока мы не знаем всех законов. По некоторым из них можно угадывать теоремы, которые ещё не имеют доказательств. Чтобы понять физику, нужно всегда держать в уме все возможные предположения и их взаимосвязи. Осторожно балансировать между ними.
Потому что законы часто выходят за пределы их следствий. Надобность в математике отпадает только тогда, когда будут известны все законы. Другая интересная особенность связи математики и физики очень странная. Путём математических рассуждений можно показать, что, начав с различных позиций, можно прийти к одному и тому же выводу. Это вполне понятно. Если есть аксиомы, можно использовать некоторые теоремы. Но на самом деле физические законы так деликатно построены. Их утверждения имеют такие качественные различия, что это очень интересно.
Итак, если вы позволите, я попытаюсь изложить закон гравитации тремя разными способами. Все они абсолютно эквивалентны, но звучат совершенно по-разному. Первый способ. Между объектами действуют силы, как описывалось ранее, и каждый объект под влиянием силы ускоряется или изменяет движение на определённую величину в секунду, как я описывал ранее. Обычный способ я называю законом Ньютона. Есть совершенно другой способ. Он гласит, что сила зависит от чего-либо, находящегося на определённом расстоянии. Видите, здесь есть так называемое нелокальное качество. Сила на один объект зависит от того, где находится другой.
Вам может не понравиться идея действия на расстоянии, что объект видит, что там происходит. Тогда есть другой способ изложения закона, который звучит уже совсем непонятно. Он основан на понятии поля, и он очень сложен для объяснения. Но я просто приблизительно изложу вам общую идею. Он звучит по-другому, совсем по-другому. Есть число в каждой точке пространства. Именно число! Это не механизм. Проблема всей физики в том, что она должна быть математической. Есть число в каждой точке пространства. Здесь число, здесь и так далее. И число меняется при перемещении из одной точки в другую.
Если в какой-то точке пространства поместить объект, то на него будет действовать сила в том направлении, в котором быстрее всего изменяется это число. Я дам ему обычное название — потенциал. Сила действует в направлении быстрейшего изменения потенциала, и сила пропорциональна тому, как быстро изменяется потенциал. Это одно утверждение. Его недостаточно. Я расскажу вам, как определить изменение потенциала. Я мог бы сказать, что потенциал изменяется обратно расстоянию от каждого объекта. Но так мы вернёмся к действию на расстоянии.
Можно сформулировать закон по-другому, сказав следующее: нам не надо знать, что происходит с этим маленьким шариком. Если вы хотите определить потенциал в центре, скажите мне его значение на поверхности сколь угодно малого шарика. Вам не надо смотреть вокруг шарика. Скажите лишь, каков потенциал по соседству и массу шарика. Правило таково: потенциал в центре равен среднему потенциалу на поверхности маленького шарика, минус эта константа, которая была в предыдущем уравнении, делить на удвоенный радиус шарика. Обозначим его через А и умножить на массу шарика, если шарик достаточно мал.
Теперь вы видите, что этот закон отличается от других, потому что он описывает, что происходит в одной точке, посредством того, что происходит рядом с ней. Законы Ньютона же позволяют сказать, что происходит в данный момент, зная, что происходит в другой. Они ведут нас от момента к моменту, но в пространстве заставляют скакать из одного места в другое. Но в этом случае объект определён как во времени, так и в пространстве, потому что зависит только от того, что происходит рядом. И есть другой способ представления. Совершенно другой способ, качественно отличающийся своей философией. Вам не нравится действие на расстоянии? Можно обойтись и без него.
Сейчас я продемонстрирую вам способ, который является полной противоположностью. В нем нет рассуждения. Перемещение объекта из одной точки в другую. И обобщающего утверждения. Он формулируется так: если есть много частиц, необходимо узнать, как одна, вот эта, движется из одной точки в другую. Вы определяете это так. Вы вычисляете конкретную величину, рассматривая возможное движение из одной заданной точки в другую, необходимую вам, за определённый промежуток времени, скажем, от этой точки до этой за час.
Вы хотите узнать, по какому пути можно попасть в данную точку за час, по какой кривой. Вы вычисляете величину, приблизительно угадывая кривую. Для этой кривой получится определённая величина. Я не хочу говорить, что это за величина, но для тех, кто знаком с этими терминами, эта величина на данном пути равна среднему значению разности кинетической и потенциальной энергии. Итак, если вы определите величину для этого пути, тогда для другого пути вы получите, конечно, другую величину в ответе. Но есть один путь, на котором величина принимает наименьшее значение, и это путь, по которому объект движется.
Сейчас мы описываем фактическое движение — эллипс. Говоря в целом о кривой, мы потеряли идею причинной связи. Эта частица сидит здесь. Видит силу, бежит сюда. Вместо этого, в более широком смысле, она чует все кривые поблизости, все возможности и решает, какую выбрать. Это пример большого количества красивых способов описания природы. Иногда люди говорят, что в природе должны быть причинные связи. Что ж, тогда можно описать всё вот так, природа должна излагать посредством минимального принципа. Можно описать так: у природы должно быть локальное поле, тогда так и так далее.
И вопрос в том: какой способов верный? Эти варианты, с математической точки зрения, не совсем эквивалентны, и какой-то конкретный вариант будет иметь отличные от других следствия. Тогда всё в полном порядке, потому что только путём экспериментов мы можем выяснить, какой из вариантов на самом деле выбирает природа. Обычно люди собираются и ведут философские споры о том, что им нравится больше, чем то, но, как показывает опыт, все эти философские догадки о том, какой из вариантов предпочитает природа, терпят неудачу.
Они никогда не работают. Необходимо просто разработать все возможные варианты и попробовать все альтернативы. В данном конкретном случае, о котором я говорю, эти теории полностью эквивалентны. Математические следствия каждой из трёх формулировок: законы Ньютона, метода локального поля и этого принципа минимума полностью одинаковы. Что тогда делать? Вы прочитаете во всех книгах, что с научной точки зрения выбор не сделан в пользу какого-то одного. Это правда. Но они не эквивалентны.
Но невозможно принять решение научно, потому что нет экспериментального способа определения схожести всех следствий. Психологически они очень отличаются с двух сторон. Во-первых, философски вам нравятся или нет, практика. Единственный способ — это выяснить. Во-вторых, психологически они различны, потому что они совершенно не эквивалентны. Когда вы пытаетесь вывести закон, поскольку знание физики ещё не полностью сформировано, и мы пытаемся обнаружить и понять другие законы, все возможные формулировки дают нам подсказки того, что может произойти в том или ином случае, и они становятся не эквивалентны психологически, когда мы догадываемся, как могут проявляться законы в более широкой ситуации.
Поняв, что не могут распространяться быстрее света, он догадался, что это общий принцип. Подобной игрой в догадке занимались мы, когда брали закон сохранения момента импульса и переносили его с одного случая на все явления природы. Он догадался, что это верно всегда и будет верным применительно к их гравитации. Если сигналы не могут распространяться быстрее света, то формулировка, подразумевающая мгновенные взаимодействия, очень похожа. Поэтому в обобщенной Эйнштейном теории гравитации этот метод безнадежно слаб и чудовищно сложен, тогда как этот прост и изящен.
Также и этот. Мы до сих пор не решили, какой лучше. На самом деле, согласно квантовой механике, в точном виде, который я их изложил, ни один не является верным. Но существование принципа минимума оказывается следствием того факта, что на малых масштабах частицы подчиняются квантовой механике. Сейчас наилучшим законом представляется два принципа минимума и локальных законов. И в настоящее время верят, что законы физики должны иметь локальный характер. И также принцип минимума, но мы не знаем наверняка. Не знаем.
Таким образом, если есть система знаний, которая верна лишь частично и что-то в ней не сработает, построена на удачных аксиомах, то возможно, не верна лишь одна из них, а остальные справедливые. Исправить нужно совсем немного, но с другими аксиомами система бы рухнула, опираясь они все на ту ошибочную. Мы не можем сказать заранее, не прибегая к интуиции, как лучше всего строить систему, чтобы прийти к новому закону. Потому мы постоянно должны иметь в виду все возможные способы описания. Поэтому физики занимаются вавилонской математикой и уделяют мало внимания аксиоматическому построению своей науки.
Одна из удивительных характеристик природы — это разнообразие всевозможных интерпретаций. Оказывается, это возможно только потому, что законы именно такие, какие они есть. К примеру, обратная пропорциональность квадрату позволяет закону стать локальным. Если бы там был куб, этого бы не было. С другой стороны, то, что сила связана с скоростью, позволяет записывать законы вот так, пользуясь принципом минимума. И если бы сила была пропорциональна самой скорости перемещения, а не ускорению, то это было бы невозможно. Если вы попытаетесь переделать законы, то обнаружите, что способов записи станет намного меньше.
Я всегда нахожу это загадочным, и я не понимаю, почему законы физики всегда можно выразить огромным разнообразием способов. Мы должны пройти сразу через несколько ворот. Теперь я хотел бы сделать несколько пояснений относительно математики и физики, которые будут более общими. Первое заключается в том, что математики имеют дело только со структурой рассуждения и не очень-то придают значение тому, что говорят им. Даже не нужно знать, о чём они рассуждают или как они сами говорят. Является ли их рассуждение истиной?
Сейчас я объясню. Если вы излагаете аксиомы, вы говорите: «То-то, то-то и то-то так; и то-то, то-то, то-то так; а то-то, то-то, то-то так» — а что из этого остальное можно вывести с помощью логики, не зная, что означает слова «то-то», «то-то» и «то-то»? То есть, если утверждения об аксиомах точны и полно сформулированы, человеку, производящему рассуждения, нет необходимости знать что-либо о значении этих слов, и он сможет вывести, пользуясь тем же языком, новые следствия. Если я использую слово треугольник в одной из аксиом, то утверждение о треугольниках будет и в заключениях, причём для рассуждения вовсе не надо знать, что такое треугольник.
Потом я могу вернуться к началу его рассуждения и сказать: «Треугольник — это замкнутое ломаное и так далее». Так я узнаю факт. Другими словами, математики создают абстрактное рассуждение, готовое к использованию. Если только у вас есть набор аксиом о реальном мире, но у физиков все фразы имеют значение. И очень часто бывает так, что люди, пришедшие в физику из математики, не понимают, что физика — это не математика, а математика не физика. Одна помогает другой, но в физике вы должны понимать связь слов с реальным миром.
Получив какие-то выводы, вы должны перевести их на родной язык. И на язык природы, в медные кубики и стеклянные шарики, с которыми вы будете экспериментировать, чтобы проверить истинность своих выводов. В математике этой проблемы не существует вовсе. Я уже упомянул другую связь, что, конечно, очевидно, насколько огромное значение развитые математические рассуждения имеют для физики. С другой стороны, иногда рассуждения физиков приносят пользу математикам.
Матhemатики ещё любят делать свои рассуждения как можно более общими. Возьмём, к примеру, трёхмерное пространство, обычное пространство. Я говорю об обычном пространстве, в котором мы находимся. Чтобы изменить расстояние, необходимы три значения: ширина, толщина и высота — три пространственных измерения. И вы спрашиваете у них о теореме, вам ответят: «Смотри, вот тебе теоремы для пространства с количеством измерений N». Но у меня только три измерения, так подставь туда тройку.
И после замены множества сложных теорем становится намного проще, потому что оказывается частным случаем. Физик всегда заинтересован в частном случае. Ему никогда не интересны общие случаи. Он говорит о чём-то конкретном. Он не говорит абстрактно о чём-либо. Он знает, о чём говорит. Он хочет обсудить закон гравитации, он не хочет обсуждать любую случайную силу. Ему интересна гравитация, и потому он стремится к сокращениям, потому что математики готовят свои выводы для широкого круга проблем, что очень полезно.
И в итоге poor physicist всегда вынужден вернуться и сказать: «Простите, в прошлый раз вы хотели рассказать что-то о четырёх измерениях». [аплодисменты] Ещё один интересный момент в этих взаимоотношениях состоит в том, как создавать новую физику. Важно ли иметь чувство, что-то вроде интуиции? О, я должен упомянуть ещё один момент. Когда вы знаете, о чём идёт речь, что одни символы означают силы, другие массы, инерцию и так далее, вы можете воспользоваться здравым смыслом.
Вы видели эти вещи и более или менее знаете, как будут происходить разные явления. Бедный математик переводит всё на язык уравнений. И так как символы для него ничего не значит, его единственный компас — математическая строгость и тщательность доказательства. Физик же, который отчасти знает, каким должен быть ответ, может угадать направление и прийти к цели довольно быстро. Излишняя математическая строгость не очень полезна в физике, как и в современном математическом взгляде на аксиомы. Но математики могут делать всё, что хотят. Их не следует критиковать, потому что они не рабы физики.
Им не обязательно делать что-то, чтобы это было полезно для вас. Они могут делать, что делают. Это их личное дело, и если вам нужно что-то ещё, тогда разбирайтесь это сами. Следующий вопрос. Когда мы пытаемся найти новые законы, стоит ли опираться на интуицию и философские принципы? Мне не нравится принцип минимума, или мне нравится принцип минимума? Мне не нравится действие на расстоянии, или мне нравится действие на расстоянии? Вопрос в том, насколько эти модели полезны.
Это весьма интересный факт. Очень часто модели помогают, и многие преподаватели физики учат пользоваться этими моделями, чтобы приобрести хорошее чувство физики, для понимания устройства вещей. Но всегда выходит, что величайшие открытия динамику наполняют пространство воображаемыми шестерёнками и зубчатыми колёсиками, но их отбросили, а теория осталась. Дирак открыл верные законы релятивистской квантовой механики, просто угадал уравнение. Этот метод угадывания уравнений кажется очень эффективным способом открытия новых законов. Это лишний раз доказывает, что математика даёт глубокое описание природы.
А всякая попытка выразить природу, опираясь на интуитивные механические аналогии, не приводят к серьёзным результатам. Я должен сказать, что это возможно. Я частично выдвигал гипотезу, что в физике в конечном итоге не понадобятся математические уравнения, что устройство будет выявлено. Просто предубеждение, одно из многих других. Меня всегда задевает, что, несмотря на все локальные аспекты, на самом деле независимо от того, насколько мал участок пространства или времени в соответствии с законами, в современном понимании компьютерам нужно выполнить бесконечное количество логических операций, чтобы понять, что там происходит.
Как всё это может происходить в таком крошечном пространстве? Почему нужно бесконечное пространство логики, чтобы описать этот маленький, паршивый участок пространства времени? Я выдвигал гипотезы, что законы окажутся так или иначе простыми, как шашки на доске, и что вся сложность заключается в размерах. Но это предположение того же рода, что и склонности других людей. Нравится — не нравится, а тут не место предрассудка.
Подводя итог, я хотел бы привести слова Джеймса Джинса, который сказал, что великий архитектор, по-видимому, был математиком. Тем, кто не знает математику, на самом деле довольно сложно передать истинное чувство красоты природы. Чарльз Сноу говорил о двух культурах. Я правда думаю, что под этими культурами он подразумевал людей, у которых есть или нет, которые понимают, и людей, которые не понимают математики в той мере, в какой это необходимо, чтобы оценить природу.
Жаль, конечно, что тут нужна математика, потому что многим людям она даётся трудно. Когда один из царей, не знаю, правда ли это или нет, пытался выучить геометрию Евклида, он жаловался, что она была сложной, и Евклид сказал: «Нет царского пути к геометрии!» И царского пути нет, это не наша работа. Мы работаем с этим предметом и не можем его перевести ни на какой другой язык. Вам нужно, если вы хотите рассуждать о природе, узнать о природе и начать ценить природу, необходимо найти язык, на котором она говорит. Она преподносит свою информацию только в одной форме. Мы неко не скромны, чтобы потребовать её измениться перед тем, как мы обратим на неё внимание.
Мне кажется, что никакие умственные доводы, никоим образом или в очень, очень, очень малом количестве, не передадут глухим ощущения музыки. Все умозаключения мира не убедят людей другой культуры, философов, научить вас, приводя качественное описание объекта. Люди, как я, кто пытается описать вам это, но это не усваивается, потому что это невозможно. Мы говорим с глухими. Это возможно из-за того, что их кругозор так узок, что позволяет им верить, что центр внимания всей Вселенной — это человек. Спасибо! [аплодисменты] [аплодисменты] Переведено и озвучено студией Верт Дайдер.