Почему площадь сферы в четыре раза больше её тени? [3Blue1Brown]
Вот сайт с шаурмой. [Музыка] Возможно, кто-то из вас помнит со школы, что площадь сферы равна 4πr². Поразительно понятная формула, ведь это просто всем известная πr², то есть площадь круга, умножить на 4. Вы когда-нибудь задумывались, почему это так? Я сейчас не о том, как доказать саму формулу, и об интуитивном понимании того, как связаны площадь поверхности сферы и площадь вот этих четырех кругов.
Было бы здорово взглянуть на ситуацию под таким углом, чтобы стало очевидно, как 4 круга умещаются на сфере. Возможно, с очевидно я погорячился, все-таки кривизна поверхности все немного усложняет. Из-за нее, например, у нас не получится просто обернуть лист бумаги вокруг мячика. Но я покажу два способа наглядно продемонстрировать связь площади сферы с площадью 4 кругов.
Первый метод — классика, с которой просто обязан познакомиться любой студент-математик, так же как любой, изучающий английский, должен прочесть хотя бы пару строк у Шекспира. Второй метод — моя наработка, демонстрирует непосредственную связь между сферой и ее тенью. В конце поговорим о том, почему такое соотношение площадей сферы и круга не так уж примечательно и является лишь частным случаем общего для всех выпуклых трехмерных фигур правила.
Начнем немножко издалека и покажем, что площадь поверхности сферы — это то же самое, что и площадь цилиндра того же радиуса и той же высоты, вернее площадь цилиндра без оснований, то есть его боковой поверхности. Как видите, ее без проблем можно развернуть в обычный прямоугольник. Его длинная сторона равна длине окружности основания, то есть 2πr, а короткая — высоте сферы, то есть 2r. Вот и получается, что площадь равна 4πr².
Но чтобы было интереснее, давайте посмотрим, как в эту картину вписываются 4 круга с радиусом r. Каждый из них можно преобразовать в треугольник с той же площадью и уместить на получившийся из цилиндра прямоугольник. Я к этому еще вернусь, но вот вопрос: каким образом цилиндр связан со сферой? Обратите внимание на анимацию, она поможет нам разобраться. Как видите, мы аппроксимируем площадь сферы, покрывая ее множеством маленьких прямоугольников и проецируем их наружу, как если бы изнутри от вертикальной оси z через них шел свет.
Луч света расходится во все стороны строго горизонтально. Площадь проекции каждого прямоугольника на цилиндр совпадает с площадью этого прямоугольника. Но почему? Тут надо учитывать два фактора, сейчас объясню. Для удобства, пусть сторона прямоугольника, которая лежит вдоль широты сферы, будет его шириной, а то, что параллельно долготе, — высотой.
Обратите внимание, что ширина проекции больше ширины самого прямоугольника, и чем ближе к полюсам, тем сильнее разница. Ведь проецировать приходится на большее расстояние, а вот вблизи экватора эффект почти нулевой. В то же время, так как каждый прямоугольник находится под углом к оси z, высота их проекции становится меньше. Представьте плоский объект и его тень; поворачивая его, мы видим, как изменяется форма тени.
Поэтому логично, что у полюсов, где прямоугольники наклонены достаточно сильно, высота проекции будет значительно меньше, а для прямоугольников ближе к экватору, расположенных почти параллельно относительно оси z, искажения минимальны. Так вот, эти эффекты увеличения высоты и уменьшения ширины полностью друг друга компенсируют.
Уже на данном этапе можно сказать, что это очень симпатичное объяснение, но возникает вопрос: почему они друг друга компенсируют? Ответ на этот вопрос, как мне кажется, не уступает по красоте тому объяснению, что я уже рассказал. Давайте разберемся. Разрежем сферу пополам, чтобы было лучше видно.
Решая любую математическую задачу, всегда полезно начинать с того, чтобы раздать всем элементам имена. Обозначим радиус сферы r, а дистанцию между неким отдельно взятым прямоугольником и осью z — d. Остается вопрос, как именно ее измерять — до верхней или нижней стороны? Ведь расстояния будут разные. Однако чем меньше прямоугольники, тем меньше эта разница.
Представьте, что наши прямоугольники маленькие, насколько это возможно, тогда и этой разнице можно пренебречь, и аппроксимация будет точнее. Но для всеобщего удобства, пусть d — эта дистанция до нижнего основания прямоугольника. Теперь разберемся с тем, что происходит при проецировании. Представьте два подобных треугольника: основание 1 совпадает с основанием прямоугольника на сфере, а вершина лежит на той же высоте на оси z, то есть длина стороны равна d.
Второй треугольник — просто увеличенная версия 1, его вершина там же, основание на цилиндре. Получается, длина его стороны r. Соотношение оснований треугольников, то есть во сколько раз выросла ширина, равно r делить на d. А что насчет высоты? Насколько она уменьшается при проецировании?
Снова посмотрим на сферу в сечении. А вообще, давайте остановимся на двухмерном изображении, возле проекции построим прямоугольный треугольник вот такой, и тогда высота прямоугольника будет его гипотенузой, а проекция — котята. Кстати, когда делаете построение с окружностью или сферой, помните, что любая касательная к ним перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания. Это мелочь, может помочь в решении самых разных задач. Для нас это тоже полезно, ведь радиус и прямая d образуют еще один прямоугольный треугольник.
Мне нравится, что в геометрии, если менять условия задачи, сразу видно, как на это реагирует фигура, так проще понять, как именно они зависят друг от друга. Похожие в нашем случае эти треугольники подобны, ведь в том, как меняется их форма, прослеживается взаимозависимость. Так оно и есть. Но, как я всегда говорю, не верьте мне на слово — проверьте сами.
И снова нам не помешает парочка названий. Назовем этот угол альфа, а этот — бета. Мы знаем, что, как и в любом треугольнике, α + β + 3 угол будут давать 180 градусов. Теперь посмотрим на меньший треугольник и попробуем найти его углы. Заметьте, что этот прямой угол. Ведь, как мы знаем, радиус перпендикулярен касательной. Плюс угол βd, то плюс еще какой-то неизвестный угол образуют прямую. Получается, что последний равен α, что позволяет поставить нужные значения и сказать, что малый треугольник также имеет углы α, β и прямой угол. То есть он подобен большому. Напомню, это было всего лишь отступление.
Пора вернуться к главному вопросу: как соотносится высота прямоугольника и его проекции на цилиндр? Также как гипотенуза и один из катетов. Исходя из подобия с большим треугольником, это соотношение также равно r делить на d. Это доказывает, что при проекции прямоугольника на цилиндр ширина увеличивается настолько же, насколько уменьшается высота из-за возрастающего угла наклона.
Кстати, может, вы заметили тот забавный факт, что прямоугольник на сфере как будто развернут на 90 градусов к своей проекции? Обычно это не так, но по чудесному совпадению параметров нашей сферы отношение ширины изначальных прямоугольников к их высоте получилось как раз dy делить на r. Так что в этом конкретном случае умножение ширины на r, деленное на d, а высоты на d, деленное на r, выглядит как разворот на 90 градусов. Поэтому визуализировать процесс можно было и проще, без проекций: просто взять все прямоугольники, развернуть их на 90 градусов, а затем пересобрать так, чтобы получился цилиндр без оснований.
[Музыка] Строго говоря, это не самый наглядный способ показать, чему равна площадь поверхности сферы. Использование прямоугольников — это все-таки лишь аппроксимация. Но не стоит забывать, что чем они меньше, тем ближе их площадь к истинной площади поверхности сферы. При этом площади поверхностей сферы и боковой поверхности цилиндра, составленные из одинаковых прямоугольников, всегда равны. А значит, что в конечном итоге обе аппроксимации стремятся к одному и тому же значению.
Если совсем зарываться в философию и задаваться вопросом, что мы вообще подразумеваем под площадью поверхности, то станет ясно, что подобные аппроксимации с прямоугольниками — это не упрощение и не костыли, а действенный инструмент, определяющий, что такое площадь для гладких, искривленных поверхностей. В каком-то смысле в этом суть интегралов, просто сформулированное доступным языком.
Я считаю, что такие геометрические примеры, не требующие глубоких математических знаний, могут послужить хорошим подспорьем для первокурсников, которые только начинают знакомиться с математическим анализом, чтобы они узнавали смысл понятий до того, как придется учить их точное определение. Они наоборот... И так, как я и говорил, чтобы лучше прочувствовать, при чем тут площадь 4 кругов, нам сперва надо преобразовать их в треугольники.
Если вы впервые видите такой метод, то в первой серии по математическому анализу я подробно разбираю, почему так можно делать. Суть в том, что если разделить круг на максимально тонкие концентрические кольца, из них можно получить треугольник, так как длина окружности каждого такого кольца возрастает линейно и пропорционально радиусу и всегда больше его в 2π раз.
Если их развернуть и уложить подобным образом, окажется, что они образуют ровную линию, а не какую-нибудь кривую, что дает треугольник с основанием 2tπ и высотой r. 4 развернутых круга идеально укладываются в наш прямоугольник, который в каком-то смысле является развернутой сферой. Вполне убедительно, но может ли быть какая-то прямая связь между сферой и кругом с тем же радиусом без посредника в виде цилиндра?
У меня есть доказательства с использованием тригонометрии, но все же она уступает варианту с цилиндром в том, что касается красоты. Я глубоко убежден, что лучше всего учить математику самостоятельно, решая задачи. Хотя это и может прозвучать лицемерно, учитывая, что мои видео по сути мини-лекции, так что сейчас я попробую кое-что новое: приведу доказательство в виде ряда практических задач.
[Музыка] Да, знаю, это не так весело и нужно будет взять ручку и немножко напрячься, но я обещаю, вы приобретете бесценный опыт. В общих чертах, нам нужно рассечь сферу по горизонтали на множество узких колец и сравнить их площадь с площадью тени, которую каждая отбрасывает на плоскость xy. Общее тень от всех колец в северном полушарии — это круг с таким же радиусом, что и сфера. Наша главная цель — найти соотношение между этими тенями и каждым четным кольцом на всей сфере.
Предлагаю вам поставить видео на паузу и подумать, как решить эту задачу. Обозначим каждое кольцо по величине угла θ между прямой, проведенной к кольцу из центра сферы, и осью z. Это меняется от 0 градусов на северном полюсе до 180 на южном, то есть от 0 до π радиан. Пусть изменения угла от кольца к кольцу будут dθ, тогда толщина каждого кольца будет равна радиусу r, умноженному на угол dθ.
[Музыка] Хорошо, теперь к настоящим упражнениям. Сначала разомнемся. Первый вопрос: чему равна длина окружности выделенного кольца по внутреннему краю, выраженная через r и θ? Получив ответ, умножьте его на толщину r на dθ. То получится аппроксимация площади кольца. Аппроксимация тем точнее, чем уже кольца, на которые разделена сфера. Если вы знаете математический анализ, то можете интегрировать, но наша задача — не просто найти ответ, а прочувствовать связь между сферой и ее тенью.
Отсюда второй вопрос: чему равна площадь тени отдельного кольца на плоскости xy, выраженная снова через r, угол θ и dθ? Здесь может очень пригодиться наш маленький прямоугольный треугольник. [Музыка]
Вопрос 3: самой главной для каждого кольца на горизонтальной плоскости есть кольцо на сфере, площадь которого в два раза больше. И это не то кольцо, что расположено под углом θ. Говорю сразу, вопрос: как его найти? Здесь пригодятся тригонометрические тождества. [Музыка]
Четвертый вопрос: я уже говорил, что есть связь между тенью от всех колец из северного полушария, образующими круг с радиусом r, и каждым четным кольцом на этой сфере. Используйте ответ из прошлого вопроса, чтобы сформулировать, что это за связь. [Музыка]
Ну и пятый вопрос: вспомним, с чего начинали. Почему считается, что площадь круга равна одной четвертой площади сферы? Учтите, чем тоньше кольца, тем лучше за ответами и подсказками можете заглянуть в комментарии или на reddit. Я уверен, они там будут. И наконец, было бы упущением с моей стороны не упомянуть тот факт, что площадь сферы — это частный случай более общего правила. Если взять любую выпуклую фигуру и посчитать среднюю площадь всех ее теней, то есть при всех возможных положениях фигур в трехмерном пространстве, то это среднее будет равно строго 1/4 площади фигуры. Почему это так? Расскажу как-нибудь в другой раз.
Переведено и озвучено студией Art Дай Дар.