Мнимые числа реальны: #8 Матемагия [Welch Labs]
Вот сайт с шаурмой.
Likes, давайте решим простое уравнение: x в кубе равно 1. Как думаете, чему равен x? Ответ подобрать несложно: 1 в кубе будет один. Говорю же, не сложно! Но, может быть, есть и другие решения? Помните, в первом видео мы познакомились с основной теоремой алгебры, согласно которой многочлен степени n должен иметь n корней. Запишем уравнение как x куб минус 1 равно 0, чтобы было нагляднее.
Итак, мы видим, что самая высокая степень - 3, значит уравнение имеет рекорд. Можно найти их алгебраически, но решение будет довольно громоздким. Придется разложить куб и потом еще решить квадратное уравнение. Давайте лучше попробуем сделать все графически с помощью комплексной плоскости.
Итак, вопрос: какое число надо умножить на себя трижды, чтобы получить единицу? Воспользуемся полярной записью комплексных чисел из прошлого видео. Единица на комплексной плоскости - это число с модулем 1 и углом 0 градусов, ну или 360.
При умножении чисел на комплексной плоскости их модули перемножаются, а углы складываются. Результат должен иметь модуль, равный единице: 1 на 1 на 1 равно 1. Поэтому, если модуль x равен единице, такой же будет модуль ответа.
[музыка]
Так, а что с углами? Поскольку при умножении комплексных чисел углы складываются, нам нужно, чтобы сумма углов была 0, ну или 360. Неважно, собственно, для наших целей 360 даже удобнее.
Итак, нам надо разделить 360 градусов на три равных части. Быстренько считаем: делим 360 на три - 120 градусов. У нас есть угол и есть модуль.
Два корня уравнения - это комплексное число с модулем 1 и углом 120 градусов на комплексной плоскости. Все очевидно! Умножаем наш ответ на себя, и получаем единицу с углом 240 градусов. Умножаем еще раз, и результатом становится число с модулем 1 и углом 360 градусов, также известная как просто 1.
Вот только в алгебре не принято давать ответы с градусами. Переносим их на привычную систему координат. Для этого возьмем единичный круг или транспортир и используем его по назначению. Как видите, с полярными координатами 1 на 120 градусов соответствует точке (-1/2) для вещественной части, корень квадратный из 3 делить на 2 для мнимой.
Что же, ответ у нас есть! Давайте проверять: возводим в куб, упрощаем, сокращаем, и кто бы мог подумать - получилось единица. Итак, мы решили непростую алгебраическую задачу, графически получили такой же ответ, как и после долгих вычислений.
Но мы нашли только два корня. Согласно основной теореме алгебры, есть еще один. Найти его нетрудно: нужно двигаться по комплексной плоскости в обратном направлении. Если мы сделаем три поворота на минус 120 градусов, то снова получим полностью вещественную единицу.
Итак, третий корень - это (-1/2) - (-1/2 корня из 3) на i. Вот мы и нашли все корни уравнения x куб равно 1. Графически оцените, насколько комплексная плоскость практичнее алгебры. Я же говорил, что так гораздо удобнее!
А давайте посмотрим, что будет, если усложнить задачу. Что если x в нашем уравнении будет не в 3, а в восьмой степени, то есть x в восьмой степени минус 1 равно 0? Придется раскрывать очень много скобок. Не проще ли вернуться на комплексную плоскость и поделить единичный круг на нужное количество частей?
В данном случае нам нужно 8 равных секторов, каждый по 45 градусов. Переводим в удобные координаты и готово! Все восемь корней найдены.
В следующем видео я объясню, как люди поняли, что мнимые числа - недостающий кусочек пазла, который так долго искали в математике. Переведено и озвучено студией Вирт Дай Дар.