Самая сложная задача из самой сложной олимпиады [3Blue1Brown]
Вот сайт с шаурмой.
[Музыка]
Есть такая математическая олимпиада имени Уильяма. Она проводится среди студентов-бакалавров, длится шесть часов, состоит из двух частей, по 6 заданий, три часа на каждую задачу. Оцениваются по 10-бальной шкале, то есть всего можно набрать 120 баллов. Несмотря на то, что в ней участвуют люди, которые определенно любят и знают математику, наиболее часто наблюдаемый результат — 1-2 балла. Это серьезная олимпиада. В каждом разделе сложность меняется по нарастающей от первого вопроса к шестому. Хотя сложность — штука субъективная, задачи под номером 5 и 6 считаются самыми сложными задачами в самой сложной олимпиаде. При этом именно они зачастую имеют самое элегантное решение. Стоит лишь взглянуть под другим углом, и задания перестают казаться невозможными.
Давайте разберем одну такую из прошлых лет — задачу под номером 6. Мои подписчики знают, что я предпочитаю не переходить сразу к решению, которое в данном случае получается на удивление коротким, а стараюсь сначала подтолкнуть к решению самого зрителя, показать верный путь. То есть мое видео скорее про поиск ответов, а конкретные примеры просто для наглядности.
Итак, задача: если выбрать 4 случайные точки на сфере, которые образуют вершины тетраэдра, какова вероятность, что центр сферы окажется внутри получившейся фигуры?
Можете немного подумать.
[Музыка]
Логично предположить, что раз некоторые из возможных тетраэдров содержат центр сферы, другие — нет. Нам нужен способ отделить их друг от друга. Но с какой стороны подойти к этой задаче? С чего начать? Бывает полезно рассмотреть упрощенный вариант условий. Так что перейдем в двумерное пространство.
Допустим, мы выбрали три случайные точки на окружности, назовем их как-нибудь, так удобнее: скажем, P1, P2 и P3. Какова вероятность того, что получившийся треугольник включает в себя центр окружности?
[Музыка]
Плоская картинка воспринимается легче, но вопрос по-прежнему сложный. Давайте подумаем, можно ли сделать его еще проще. Нужно что-нибудь, от чего мы сможем оттолкнуться. Предположим, что P1 и P2 у нас уже есть, и случайным будет только P3. Подвигаем ее туда-сюда и увидим, что центр окружности оказывается в треугольнике, если и только если P3 попадает на определенный участок окружности.
Для наглядности проведем отрезок через центр от P1 и P2. Получим 4 дуги. И когда P3 оказывается на дуге, противолежащей дуге P1P2, центр окружности попадает в треугольник. В остальных случаях — нет. Если P3 с равной вероятностью может оказаться в любой точке, как узнать вероятность того, что она попадет на нужную дугу? Разделить длину дуги на длину окружности, найти, какую часть она составляет.
Что же у нас получится? Все зависит от того, где расположены P1 и P2. Если под углом в 90 градусов, дуга будет равна 1/4. Если точки разместить подальше друг от друга, значение будет стремиться к 1/2, а если свести их поближе, то к нулю.
И вот что тут важно: так как P1 и P2 случайны, любое их положение равно вероятно. Следовательно, нас интересует средняя длина нужной нам дуги. Закрепим P1, рассмотрим все точки, в которых может оказаться P2. Все возможные углы между этими точками — от 0 до 180 градусов одинаково вероятны, значит и любая длина дуги тоже — от 0 до половины окружности. Тогда среднее значение 0.25 длины окружности 1. Средняя длина дуги — это одна четвертая длины окружности. То средняя вероятность того, что P3 ляжет на эту дугу, тоже 1/4.
Таким образом, полная вероятность, что наш треугольник включает в себя центр окружности, вновь 1/4.
[Музыка]
Можем ли мы перенести эту схему в трехмерное пространство? Зафиксируем 3 из 4 и подумаем, в какой области на поверхности сферы должна оказаться 4, чтобы тетрадр включал в себя центр. Точно также проведем через центр три отрезка из закрепленных точек. Для удобства добавим плоскости через каждую пару этих отрезков. Как видите, мы разделили сферу на 8 секций, 8 сферических треугольников, если их можно так назвать.
Наш тетраэдр включает в себя центр сферы только когда 4 попадет на сферический треугольник, лежащий напротив других трех точек. В отличие от двумерного случая вычислить его среднюю площадь, перемещая точки по сфере, не так просто. Если вы проходили многомерный математический анализ с множественными переменными, можно взять интеграл по поверхности, почему нет? Попробуйте, но это сложно. Оно и понятно, ведь эта 6 задача из олимпиады потного, так и задумано.
Что же дальше? Попробуем вернуться к примеру с двумя измерениями. Можно ли каким-то образом переформулировать уже полученный ответ 1/4? Уж больно красивый результат. Откуда вообще взялась эта четверка?
Вот одна из причин, побудивших меня снять этот ролик. Дело в том, что следующее объяснение содержит в себе ключ ко многим математическим задачам. Вспомним отрезок, который выходит из P1 и P2 и пересекает центр окружности. Они упростили нам задачу. Полезный совет: если вы придумали, как сделать условие задачи проще, добавив что-то новое, попробуйте выставить основной вопрос вокруг того, что вы добавили. В нашем случае это значит, что вместо трех случайных точек мы начнем с двух случайных отрезков, которые проходят через центр окружности. Они ограничены точками на окружности, которые и будут соответствовать точкам из оригинальной задачи. Просто бросьте монету, чтобы решить, где будет P1 и где будет P2, выбрать случайный отрезок, а затем бросить монету.
То же самое, что выбрать случайные точки, хотя это и не вполне очевидно. Зачем заменять точки на отрезке? Да просто так гораздо проще. P3 остается случайной точкой на окружности, но представьте, что мы ее выбрали до того, как бросить монетку. Когда два отрезка и P3 заданы, остается всего четыре возможных положения P1 и P2 — 4 равновероятных точки, определяемой двумя бросками монетки. Но один, и только один исход приведет к тому, что P1 и P2 будут на противоположной от P3 стороне, и центр окружности окажется внутри треугольника.
Неважно, как расположены отрезки и третья точка; все определяют два броска монетки. Поэтому вероятность 1/4. Изящное решение. Мы пересмотрели процесс выбора точек, от чего ответ 1/4 заиграл новыми красками. И что важно, мы можем применить ту же аргументацию и к трехмерной модели. Вместо того чтобы выбирать 4 случайных точки, представим три случайных отрезка, проходящих через центр, а затем случайно выберем, куда поставить P4. Каждый отрезок ограничен поверхностью сферы, поэтому бросаем монетку, чтобы определиться со P1. Потом повторяем то же самое для P2 и P3 на двух других отрезках.
У нас получается 8 возможных исходов, но один, и только один из них приведет к тому, чтобы P1, P2 и P3 оказались напротив P4, а значит, один и только один исход даст нам тетрадр, содержащий в себе центр сферы.
Опять же, решение совсем не очевидно, но элегантное, согласитесь. Ответ в принципе правильный, но я сформулировал его, опираясь на интуитивно понятную визуализацию. Если вас интересует, как это будет выглядеть в строгой записи, под видео я оставлю ссылку на обоснование решения языком линейной алгебры.
Типичная для математики ситуация: одно дело ухватить суть, а другое — знать достаточно, чтобы суметь расписать все формально. Тут нужна особая мышца, которую как раз и тренируют в бакалавриате на математических специальностях. Но для меня тут главное не само решение, а как к нему прийти. Если вдруг вас угораздило столкнуться с подобной задачей, попробуйте упростить условия, чтобы стало ясно, с чего начать. И если в процессе вы к ним что-то добавляли, задайте основной вопрос еще раз, но теперь с учетом этих нововведений.
Переведено и озвучено студией Art Дай Дар.