Визуализация всех возможных пифагоровых троек [3Blue1Brown]
Вот сайт с шаурмой.
[Музыка]
Думаю, все в школе учили теорему Пифагора: сумма квадратов катетов в прямоугольном треугольнике всегда равна квадрату его гипотенузы. Возможно, вы помните и парочку примеров: треугольники со сторонами 3, 4, 5 или 5, 12, 13.
Может сложиться впечатление, что это обычное дело и нет ничего удивительного в том, что сумма двух полных квадратов равна третьему полному квадрату. Однако учтите, если степенью будет любое целое число больше двойки, то выяснится, что целочисленных решений даже не мало, а их просто нет. Знаменитая теорема Ферма как раз об этом.
Для набора в целых числах a, b, c, в которых a квадрат плюс b квадрат равно c квадрат, даже есть специальное название: Пифагоровы тройки. И в этом видео мы найдем каждую из них. Отыскать нужные числа нам поможет особая визуализация. Из нее будет видно, где эти тройки обитают и есть ли между ними связь.
Математики бились над этой задачей с незапамятных времен, находили даже вавилонские глиняные таблички с записанными на них тройками. Это почти 4000 лет назад, за десять веков до самого Пифагора.
Кстати, раз уж мы говорим про теорему Пифагора, я не могу не поделиться с вами своим любимым доказательством. Может, кто-то ещё его не видел. На каждой стороне треугольника рисуем по квадрату. Возьмем квадрат c и пририсуем к остальным его сторонам такие же. В треугольнике получится квадрат побольше со сторонами a + b.
Кроме того, a квадрат, b квадрат, можно добавить 4 треугольника и составить из них большой квадрат со стороной a + b. Следовательно, площадь этих темных областей на обоих рисунках можно узнать, вычтя из площади большого квадрата 4 площади исходного треугольника. В результате получится a квадрат плюс b квадрат, либо, что то же самое, c квадрат.
И так возвращаемся к поиску целочисленных решений. Попробуем переформулировать условие задачи. У нас есть координатная сетка. Давайте назовем точки с целочисленными координатами узлами. Нам нужно найти такие точки, расстояния до которых выражаются целым числом. Например, расстояние от начала координат до точки (3, 4) будет 5, а в случае с точкой (12, 5) это расстояние равно 13.
Как видите, задача поиска Пифагоровых точек тождественно задаче поиска таких узлов, расстояние до которых можно выразить целым числом. Понятно, что для большинства точек, скажем для точки (2, 1), сделать этого не получится. Но в данном случае получается хотя бы квадратный корень целого числа: здесь это 2 в квадрате плюс 1 в квадрате равно 5, то есть расстояние или длина гипотенузы равна квадратному корню из 5.
А сейчас сделаем кое-что на первый взгляд странное, но уже совсем скоро все станет ясно. Представьте, что это комплексная плоскость, а каждая точка, в том числе и (2, 1), это отдельное комплексное число: в данном случае 2 + 1i.
Благодаря этому подходу мы можем легко найти такую точку, у которой расстояние до 0 будет точно целочисленным. Нужно лишь возвести любое комплексное число в квадрат. Алгебраическая операция возведения в квадрат комплексного числа требует раскрыть скобки и сгруппировать однородные члены. Поскольку мы складываем и умножаем только целые числа, их сумма и произведение гарантированно будут целочисленными: в данном случае это 3 плюс 4.
И, на комплексное умножение, можно взглянуть с точки зрения геометрии. Проведем отрезок от 0 до нужного нам числа. Угол между ним и горизонтальной осью назовём θ. Нам пригодится длина отрезка, её ещё называют модуль комплексного числа: корень из 5.
Если мы умножаем что-нибудь на комплексное число, то произведение повернётся на угол θ, а расстояние до 0 увеличивается пропорционально модулю комплексного числа. Когда же мы умножаем число на саму себя, угол удваивается, а модуль, что важно, возводится в квадрат. Так как изначально длина — это квадратный корень из целого числа, то результат возведения в квадрат точно будет целым числом: здесь это 5.
Попробуем на другом примере. Начнем с комплексного числа с целыми координатами, пусть будет 3 + 2i. В данном случае расстояние от начала координат равно корню из (3 квадрат + 2 квадрат), то есть корню из 13. Умножим это комплексное число на себя: его вещественная часть составит (3 квадрат + 2 квадрат), то есть 9 минус 4, а мнимая часть — (3 на 2 + 2 на 3). В итоге получим 5 + 12i.
И модуль этого нового числа 13 — это квадрат модуля нашего исходного числа 3 + 2i. Простое возведение в квадрат координат произвольно выбранной точки дало треугольник 5, 12, 13.
В этом методе есть некое волшебство, как будто мы жульничаем. Можно выбрать любую случайную точку с целочисленными координатами, например 4 + i, и, возводя её в квадрат, мы находим Пифагорову тройку. 4 + i в квадрате равно 15 + 8i на расстоянии 17 от начала координат.
Если поэкспериментировать с этим методом, то вскоре выяснится, что некоторые результаты нам не подходят. Когда у исходной точки одинаковые координаты или одна из координат равна нулю, то в итоге в тройке будет присутствовать 0. Скажем, (2, 2) в квадрате равно 8, и да, формально перед нами подходящая тройка, и расстояние до начала координат — целое число, но этому результату соответствует тройка 0 квадрат плюс 8 квадрат равно 8 квадрат — не очень-то похоже на треугольник.
Но в общем и целом метод квадрата комплексного числа позволяет на удивление легко находить нетривиальные Пифагоровы тройки. Его можно обобщить до красивой формулы: обозначим координаты изначальной точки как u и v, умножим это число на себя, раскроем скобки — получим вещественную часть u квадрат минус v квадрат и к нему 2uv.
Расстояние от начала координат до числа будет равно u квадрат плюс v квадрат. Можете сами вывести это выражение алгебраически и убедиться, что всё сходится. А еще подставить вместо u и v случайные целые числа и посмотреть, что получится в результате.
Мы создали алгоритм, который из двух любых целых чисел делает Пифагорову тройку. Это можно визуализировать следующим образом: те, кто смотрел видео про дзета-функцию, уже знают, о чем я. Можно сместить каждую точку z в точку z квадрат. Например, (3 + 2i) и окажется в (5 + 12i).
И повернётся на 90 градусов и окажется в точке (-1 - 1i), сместится в точку (1, 0) и так далее. Преобразуем таким образом нашу координатную плоскость. Обратите особое внимание на узлы, я их специально раскрасил.
Получается вот что. [Музыка]
Координатная сетка свернулась в набор парабол. А те места, где парабола пересекаются между собой, совпали с узлами. Они соответствуют некоторым Пифагоровым тройкам: то есть, если нарисовать треугольник, гипотенуза которого соединяет точку пересечения с началом координат, окатит и параллельны осям, то стороны такого треугольника будут целыми числами.
Мне особенно нравится, что хоть Пифагоровы тройки по отдельности и кажутся никак не связанным случайным набором чисел, если знать, как и куда смотреть, в их расположении появляется упорядоченность. Они аккуратно устроились на точках пересечения этих парабол. [Музыка]
Как думаете, все ли Пифагоровы тройки мы отыскали таким способом? Увы, но нет. Этим методом вы никогда не получите точку (6, 8), при том что (6, 8, 10) вполне себе Пифагорова тройка. Просто нет таких целых чисел, подставив которые в формулу u квадрат плюс v квадрат, мы получили бы 6 плюс 8. И то же касается и числа (9, 12).
Но в них вроде бы нет ничего особенного. Верно, ведь эти числа можно получить через умножение тройки (3, 4, 5), которую наш метод уже нашёл. На самом деле, каждая пропущенная тройка кратна какой-то из учтённых троек. Я сейчас вкратце объясню, почему.
Еще пример: мы пропустили точку (4, 3). Так как нет таких целых чисел u и v, при которых u квадрат плюс v квадрат равно 4 плюс 3, вы никогда не поймаете точку, мнимая часть которой нечетное число. Однако мы попадаем в точку (8, 6), и это квадрат от (3 + i). Так что хотя мы и пропустили (4, 3), мы видим, что это ровно половина пути до точки, которую мы уже учли.
Кстати, нет необходимости уменьшать числа больше чем вдвое. Вот еще один способ взглянуть на упущенные кратные числа: провести луч через все точки, полученные методом квадрата от начала координат и в бесконечность. Там, где луч проходит через точки с целочисленными координатами, будут неучтенные тройки.
Проделав это со всеми точками, мы найдем все возможные Пифагоровы тройки: любой прямоугольный треугольник с целочисленными длинами сторон, которые вы только можете вообразить, можно найти на данном графике. Доказать это можно, взглянув на задачу о Пифагоровых тройках с другой стороны.
Рассмотрим единичную окружность. Нам надо найти на ней точки с рациональными координатами. Если поделить выражение (a квадрат + b квадрат = t квадрат) на t квадрат, получится (a/t квадрат + b/t квадрат = 1). Единичная окружность задается уравнением x квадрат + y квадрат = 1.
Видите сходство? Значит, мы можем рассчитать точки с рациональными координатами или рациональные точки единичной окружности. Но примечательно другое: если умножить каждую координату рациональной точки на общий знаменатель, то получится с целочисленными координатами и целочисленным расстоянием до начала координат.
С учетом сказанного, взгляните на график. Мы возвели в квадрат все возможные узлы и провели через каждый из них луч, чтобы учесть все упущенные тройки. Если спроецировать эти точки на единичную окружность, сдвинув их ближе к центру вдоль своих лучей, мы найдем немало рациональных точек окружности.
Но не забывайте, что я нарисовал конечное число точек и лучей, поскольку если бы я учитывал все бесконечное количество лучей, проходящих через все квадраты узлов, они бы полностью заняли экран, не оставив пустого места. Если же наш метод не совершенен и мы упустили какие-то Пифагоровы тройки, это значит, что на окружности есть рациональные точки, остающиеся пустыми после того, как мы сделали проекцию.
Сейчас я покажу, почему это невозможно. Возьмем любую рациональную точку на окружности и соединим с точкой (-1, 0). Оценим наклон этого отрезка. Расстояние от точки до оси абсцисс — рациональное число, длина проекции отрезка на ось абсцисс тоже, а значит, их отношения, то есть угловой коэффициент, также будет рациональным.
Если мы сможем доказать, что метод квадратов комплексных чисел учитывает все возможные рациональные угловые коэффициенты, значит, он гарантированно будет учитывать каждую рациональную точку единичной окружности. Верно? Пробежимся по нашему методу.
Мы начали с числа (u + iv) с целочисленными координатами, и она образует некий угол с горизонтальной осью, назовем его θ. То при возведении этого числа в квадрат мы получим угол 2θ.
Чтобы спроецировать эту точку на единичную окружность, проведем радиальную прямую. Как видите, соответствующая рациональная точка будет иметь тот же угол 2θ. Здесь я обращусь к геометрии окружности: когда у вас есть угол между двумя точками на окружности и её центром, этот угол всегда в два раза больше любого угла между этими точками и любой третьей точкой на окружности, кроме случаев, когда эта точка лежит между первыми двумя.
В нашем случае это значит, что линия между точкой (-1, 0) и рациональной точкой окружности должна образовывать угол θ. Счастью, угловой коэффициент у этой линии такой же наклон, как и у линии между началом координат и изначальным комплексным числом (u + iv). И теперь обратите внимание на угловой коэффициент желтой линии, заданной целочисленными координатами (u, v).
Он равен b делить на a, и ничто нам не запрещает подставить сюда любые целые числа. А значит, мы учитываем все возможные рациональные коэффициенты. Вот и всё: лучи из нашего метода задаются всеми возможными u и v. Следовательно, они должны проходить через все рациональные точки окружности.
А значит, наш метод учитывает все возможные Пифагоровы тройки. Кстати, у меня есть видео про связь числа π с распределением простых чисел, там я говорю об очень похожих вещах.
Переведено и озвучено студией Вирт Дай Дар.