Эффект ±1 или как не ошибиться в подсчетах дней. Реальные распилы. Математика на QWERTY
Всем привет! С вами Георгий Вольфсон, и это летний выпуск реальной математики на канале QWERTY. Не забывайте подписываться на нас и ставить лайки, если вам это видео понравилось.
Начнем мы сегодня с такого очень даже летнего задания. Предположим, что вы собрались в отпуск и уезжаете в отпуск 3 августа. При этом отпуск вам дали на 14. Нам нужен вопрос: какой последний день вы проведете в гостинице у моря? Очевидный ответ: 3 плюс 14 – это, конечно, 17.
С другой стороны, если по-честному посчитать прямо на пальчиках, то получится: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 — с 15 дней. Но 17 минус 3 — 14, да, 15. Эта магия, на самом деле, никакой магии нет, и в математике такого рода задачи называются задачами на эффект «плюс минус единица». Назван он так потому, что ответ отличается от интуитивного на единицу в ту или другую сторону. В данном случае на 1 больше.
Почему же получилось 15? Давайте разберемся. А что вообще такое 17 минус 3? Это количество чисел от 1 до 17. А 3 — это количество чисел от 1 до 3. То есть мы выписали все числа от 1 до 17 и убрали первые три. Так у нас тогда получились не числа от 3 до 17, а числа от 4 до 17. Их будет 14 штук: 17 минус 3.
А если мы хотим, чтобы получилось от 3 до 14 дней, то, конечно, мы должны почитать тогда из 16-го, что получилось 14, потому что мы убираем первое, второе, и остается как раз вот от 3 и дальше. Так что правильный ответ, что вовсе не 17 будет последним днем, а, к сожалению, 16. Пожалуйста, учитывайте это, когда будете планировать свой отпуск.
Ну а мы пока рассмотрим другую задачу. Предположим, что вам на работе дали выполнять некоторые проекты, задания, и они все пронумерованы. Ну, скажем, были некоторые договоры с номерами. Вам нужно каждый обработать, стоимость обработки 1 договора — 1000 рублей. Ну вот вы взяли первый договор, был номер 47, обрабатывали, и последний договор, который вы обработали, имел номер 62. После чего начальник говорит: «Отлично, 1000 рублей за каждый», и того 15,000.
Ваша задача: что вы должны сказать такому начальнику? Недорогой! Потому что на самом деле количество обработанных вами договоров таково: 62 минус 46. Напомню, если мы вычитаем 47, это мы убираем 47-й договор, то есть как будто вы его не делали. А вот 46 минус 46 даст вам как раз 16. Это будет правильное количество договоров. Поэтому 1000 начальник зажал, надо обязательно ему об этом сказать.
Ну а мы поедем дальше и попробуем разобрать такой пример. Представьте себе, что двое товарищей сажают... Нет, давайте сегодня пусть сажают всего лишь деревню и сажают у них, вряд ли допустимо первое дерево, вот второе дерево и так далее. Ну скажем, 20 дерево. Теперь вопрос: если допустить, расстояние между соседними деревьями было два метра, то тогда какое будет расстояние от первого дерева до последнего?
Ну вроде опять же хочется сказать сходу: 20 на 2 — 40. Но не будем торопиться, ведь в данном случае мы считаем не деревья, а промежутки между ними. А промежутков между деревьями будет не 20, а 19. Как это посчитать? Вот после первого дерева идет первый промежуток, после 2 — 2, после 3 — 3 и так далее.
После 19 дерева 19 промежуток, а после 20 нас уже не интересует. Все, мы дошли до 20. Значит, промежутков на самом деле 19, и поэтому правильный ответ будет 19 умножить на 2, то есть 38 метров.
А в данном случае мы познакомились с эффектом минус единицы, то есть количество промежутков на 1 меньше, чем количество объектов, если только эти объекты не по кругу. Но про это мы сегодня говорить не будем. Тогда попробуем решить такую задачу со звездочкой: а чему равно расстояние от 8 дерева до 20? Тоже между каждыми двумя соседними по 2 метра.
Вот давайте подумаем, сколько будет по идее? 20 минус 8 на 2 — 24. Правда? Знаем, что тут у нас бы не спрашиваете: все было так просто. На самом деле, как думаете, 22, 26 или может все-таки 24? Можете поставить ролик на паузу и в этот момент посчитать и написать нам в комментариях, сколько у вас получилось.
Но правильное рассуждение такое: заметим, что всего деревьев от 8 до 20, как мы уже знаем, будет 20 минус 7, то есть 13, потому что мы должны убрать только 1, 7 деревьев, иначе 8 уйдет из рассмотрения. Но раз деревьев 13, значит, промежутков между ними 13 минус 1 — 12 промежутков. И поэтому ответ таки 12 умножить на 2 — 24 метра.
Как ни странно, ведь и здесь эффект плюс единица, эффект минус единица всегда скомпенсировали и получилось в итоге интуитивно верно. Итак, что бывает? Итак, мы едем дальше и рассмотрим такую задачу. Допустим, что у нас есть 2 таких очень состоявшихся взрослых человека, и они умеют распиливать, ну, например, бревно на части.
Известно, что одно бревно они распиливают на три части за одну минуту. Пилить у нас в стране умеет, как вы знаете, очень быстро. Вопрос: за какое время они распилят аналогичное бревно на 9 частей? При этом предполагается, что бревно одинаковой толщины, распилы занимают одинаковое количество времени, люди уже поднаторели в этом и больше не на что, кроме распилов, они свое время не тратят.
Здесь напрашивается ответ — 3 минуты, правда? Потому что, ну вот было три части, стало 9 частей — это в 3 раза больше. Но не будем торопиться. Чтобы распилить бревно на три части, сколько распилов надо сделать? 1, 2 — это то же самое, как с промежутками. То есть если представить, что каждая часть — это дерево, распил — это промежуток между деревьями.
Соответственно, этих промежутков должно быть на 1 меньше, чем деревьев, то есть 2. Итак, на 2 распила за одну минуту учитесь, друзья! Ну а тогда вопрос: сколько распилов надо совершить, чтобы получилось 9 частей? Ну опять же, на единицу меньше. Это грустно, когда приходится сделать меньше распилов, но в данной задаче это факт. До 9 минус 1 — 8 распилов.
За какое время получится, восемь раз распилить? Ну, так в 4 раза больше, чем когда 2. 1 распил занимает 30 секунд, стало быть, правильный ответ вовсе не 3 минуты, а 4 минуты.
По-другому можно было посчитать так: раз 2 распила за минуту, значит, 1 распил за полминуты. Ну а тогда 8 распилов — это половинка умножить на 8, то есть 4 минуты. Ну, такая весьма жизненная задача.
Но еще одна жизненная задача: предположим, вы ждете курьера, который хочет доставить вам пиццу, и есть правило: доставим либо быстро, либо бесплатно. Вот за полчаса должны доставить, но прошло 29 минут, и только тут курьер позвонил в домофон. А вы живете на шестом этаже, лифт у вас предусмотрительно не работает.
Поэтому дальше вопрос: вот вы открыли домофон, осталась минута, и вопрос: успеет ли курьер подняться на шестой этаж за минуту, если известно, что с первого этажа на третий он забегает за полминуты? Такой тренированный товарищ. При этом, опять же, будем считать, что дом равномерный, то есть этажи расположены на одинаковом расстоянии, и курьер, вот, совершенно не устает, он бежит с одинаковой скоростью.
Успеет ли с 1 до 6 за минуту? Но кажется, вопрос абсолютно очевидным, то есть успеет. Да, в ровно в два раза больше, все-таки 6 — это 3 умножить на 2. Но не будем торопиться, на самом-то деле, когда кто угодно, не только курьер, бежит с первого этажа на третий, время, то он тратит не конкретно на этаж, а на промежуток между этажами.
То есть, если вот изобразить это у нас; первый этаж, вот второй, вот третий —так вот, мы потратили раз время на 2 — время. Значит на самом деле он пробежал два промежутка за 30 секунд, то есть один промежуток занимает 15 секунд. Ну а тогда вопрос: а сколько промежутков ему надо пробежать до шестого этажа? 4, 5 и 6. Вот они у нас и соответственно, получается 5 промежутков.
Все тот же эффект минус единицы — что если деревьев было шесть, промежутков между ними 5. Точно так же, если их устоит вертикально — да, это же 6 промежутков 5. Значит на самом деле он потратит 5 умножить на 15, 75 секунд или одна минута 15 секунд. И значит так платится заказ — не нужна пицца, доставлены.
[музыка]
Поздно. Ну что же, сегодня мы с вами познакомились с эффектом «плюс минус единица». Если вам понравилось, не забывайте прожимать лайки и подписываться на наш канал, чтобы не пропустить другие интересные видео. И всем хорошего лета! Пока-пока!
[музыка]