5 простых приемов считать в уме. Математика на QWERTY
Всем привет! С вами Георгий Вольфсон. Это реальная математика на канале КРТИ. В прошлый раз мы с вами говорили о том, как отсутствие или присутствие калькулятора может помочь или наоборот помешать в образовательном процессе и немножечко затронули темы быстрых вычислений.
Вот сегодня мы поговорим о некоторых приёмах, которые, на мой взгляд, могут очень сильно помочь, в частности в быту, то есть в нашей с вами реальной жизни, а не только на уроках математики. Начнём мы вот с такого примера. Представьте себе, что вам нужно сложить два не самых приятных числа. Кстати, иногда проблема бывает с тем, чтобы даже сложить хорошие числа.
Ну, скажем, вот недавно в магазине у меня было две покупки: одна на 3630 руб., а другая на 3.300 руб. И, к сожалению, вот продавщица без калькулятора не смогла сложить эти два числа. Видимо, ей с детства владели калькулятор в школе, но так или иначе, тут всё не сложно. Да, потому что можно просто складывать по разрядам, никаких переходов нет. 6930 у нас получается.
Но что, если переход будет? Ну, скажем, вот очень популярные цены в магазинах. Да, это что-нибудь типа там 9.990 и, допустим, 4.250. Ну, такие два числа надо сложить. Сами понимаете, что складывать их в уме не очень удобно, потому что там всякие переходы через десяток, которые могут запутать. Ну, так давайте сделаем хитрее! Давайте возьмём близкое к нему число 10.000.
К 10.000 прибавить 4.250 несложно, 14.250. Давайте, если мы на 10 временно увеличили наше число, в конце мы эти 10 обратно вычтем и получим не 14.250, а 14.240. Кстати, эту же идею можно оформить чуть иначе. Давайте просто 10 перенесём из второго слагаемого в первое, и тогда мы получим первое 10.000, а второй 4.240.
Попробуем сделать похожую вещь только с вычитанием, ведь иногда бывает так, что ты даёшь купюру в 5.000 руб. и тебе нужно рассчитать сдачу. Ну, допустим, если была покупка 1.34 руб. Многие гордо говорят, что вот мы можем посчитать в уме, дают тебе в сдачу 4876 руб. Как вы понимаете, это неправильный ответ, потому что даже если покупка 1.000 руб., то останется 4.000 руб. ровно.
Ну, а если больше тысячи, то задача должна быть меньше, чем 4.000. А у нас получилось почти пять, поэтому, конечно, это неправильный ответ. Проблема была в том, что там должны быть какие-то, опять же, занимания из предыдущего разряда: уменьшения там, где-то на единицу, где-то десятка, где-то девятка. В общем, что-то такое вы, наверное, помните.
Но это не вычисление в уме. Чтобы было проще вычислить в уме, давайте сделаем обратное действие. Вот только что у нас было почти круглое число, мы доводили его до такого красивого круглого, а теперь наоборот, нам дано круглое. Давайте его уменьшим на единичку. Это примерно как мне в своё время жена объясняла, что если у тебя прямые волосы, то их надо завить, а если они природные кудрявые, значит, девушки хотят их распрямить.
Вот сделаем 4.999 и теперь вычитать будет легко. Ну действительно, 4999 - 1234 просто поразрядно вычитаем, 3765, но у нас было на один больше, ну так давайте этот один вернём, и, собственно, получим это есть окончательный ответ. То есть, как видите, если мысленно брать не само круглое число, а на единичку меньше, то получается достаточно удобное и быстрое вычитание.
А похожая история будет, если вы возьмёте, допустим, число 10.000 и вы читаете, скажем, 782. Тоже берём близкое - 9999. Из него вычитаем, легко будет: 92. Дашеф бы написать сем, но у нас на один больше, поэтому сразу же пишем 9.21.
Ну что ж, это было сложение, было вычитание, наверное, что-то быстро работает и с умножением. Вы не ошиблись! Давайте заметим, что когда вы приходите в ресторан, то нередко вы оставляете чаевые. И, конечно, сейчас со всякими приложениями типа автоматического расчёта чаевых особо не задумываешься, какую сумму нужно оставить. Просто вводишь там 7%, 10%, убираешь, она делает всё за тебя.
Но если ты хочешь посчитать сам, 20% от 138 - это 10%. Что является 13.8, это может быть полезно не только в ресторане. Когда ты рассчитываешь, допустим, свою прибыль, если ты оставляешь вклад, или наоборот, ты берёшь кредит под сколько-то процентов. Тебе нужно быстро понимать, сколько это примерно будет переплата или наоборот прибыль.
Затем мы реинвестируемся и попробуем от него вычислить сколько-то процентов. Во-первых, 10% - это десятая часть числа, то есть надо просто отделить один разряд запятой. Ну, или с учётом того, что эти копейки нам обычно не нужны, просто убрать последнюю цифру, останется 12.
Но что, если нам нужно 5%? Это значит, что нужно число умножить на 5. Каким образом это сделать? Ну, видимо, опять же, мы можем поделить на 100. То есть отбросить две последние цифры и дальше 12 умножаем на 5, получаем 60. Ну, знак равно здесь так себе, скорее лучше написать приблизительно равно, да, потому что мы что-то отбросили, но тем не менее порядок очевиден.
То есть, когда число такое несложное, всё хорошо. Но если число было, допустим, вот таким: 9865 руб. и мы его умножаем на 5, тоже приблизительно, значит, 100 мы убираем два последних разряда, остаётся 99, и 65. Легко ли это сделать в уме? Выясняется, что это можно сделать, если применить такой несложный трюк. Чтобы умножить число на 5, можно умножить его на 10, а потом поделить на 2.
Если мы умножаем число на 10 и делим на 2, то это то же самое, что умножить на 5. При этом на самом деле я могу сначала поделить на 2, а потом уже умножать на 10. Ну, в данном случае 988 / 2 - это несложно, 494, и нолик приписали, вот и всё. Ну и наоборот, если мне нужно найти 20% или пятую часть числа, да, вместо того, чтобы делить какое-то число на 5, гораздо проще умножить его на 2, а потом поделить на 10.
Результат будет такой же, да, потому что 10 - это 2x5, то есть 2 сократится, останется просто деление на 5, но умножить, над, всё-таки немножечко попроще. Хотя тоже это не всегда очевидно. То есть в данном случае, чтобы умножить на 2, придётся немножко попотеть. Здесь у нас перенос, тут семёрка, тут соответственно тоже семёрка и 19. Итого 197730 у нас получилось.
Но не забыли это разделить на 10, то есть один нолик убрать, осталось 19.773. Кстати, подобная идея работает, если вы хотите что-то умножить на 25. Чтобы умножить на 25, можно умножить на 5 и потом умножить на 5. Правда, а умножение на 5, как мы поняли, это деление на 2 и умножение на 10.
Ну значит, если я хочу, например, 148, умножая на 25, то потом ещё раз делю на два, потом умножаю на 10 и умножаю на 10. 148 / 2 - это будет 74. Конечно, это всё дела в уме, но просто, чтобы вам было удобнее, я записываю это на экран. Делить на 2 ещё раз, 74 на 2, 37. Ну и два нуля приписали, а так в уме поди, умно 48 на 25, согласитесь, что это действие было бы не совсем удобно.
И ещё я хотел сегодня рассмотреть вот такой трюк. Давайте попробуем по возводить в квадрат числа, оканчивающиеся на пять. Ну, скажем, 25к. Я сейчас напишу результат 35 и 45к. А теперь давайте попробуем посмотреть на это и проанализировать, что и как у нас получилось.
Исходя из этого, вот можете поставить видео на паузу и попытаться догадаться, чему равно 55к. Если, конечно, вы не знаете соответствующего приёма. Ну что, я надеюсь, что все попробовали. Во-первых, несложно заметить, что у нас всё время на конце 25. Видимо, здесь мы будем ожидать 25, это пока гипоте, вот в до стоит ше, а исход была двойка, стоит 12.
А исход была тройка 20. Получилось из чего. Как получить шест? Шека - это 2, а 12 - 4. А 20 - 4 на 5, то есть кажется, что вот то число, которое стоит перед пятёркой, мы умножаем на следующее число: 2 на 3, 3 на 4. Хотите, вооружитесь с калькулятором и проверьте, что это работает. Точно также и 85к - это будет 8 на 9, 72, 25.
Между прочим, это работает не только для двузначных чисел. Если вы возьмёте какой-нибудь там 1995к, слабо в уме, оказывается, что это не сложно. Берём 199, умножаем на следующее число в натуральном ряду, то есть на 200. Ну, это надо просто 199 у на 2 будет 398, приписали. Ну, потому что на 200, а не на 2, и приписали 25. Всё, 3.
Ну, здесь правда у вас может возникнуть резонный вопрос: а почему это работает? Вот с умножением на 5, с делением на 5 и так далее. Мы всё-таки поняли, почему это так. В данном же случае пока не очевидно. Ну хорошо, у нас может быть совпало, мы там проверили на калькуляторе, но может быть, если взять там 75к или 95к, то не сработает.
Вот здесь уже помогает алгебра примерно седьмой класс. Давайте рассмотрим. Предположим, что есть некое x, 55. Жизнь удалась. Сами понимаете, но если это не про БМВ, то вот допустим, записано число x5. Чёрточка, которую я сейчас написал, означает, что это не произведение x и 5, а число, состоящее из некой последовательности цифр x. Возможно, одной цифры, возможно нескольких и пятёрки на конце.
Я могу переписать это как 10x + 5, да, потому что x - это у меня число десятков. Ну, а по формуле квадрат суммы это будет квадрат первого 10к. Это 100к плюс удвоенное произведение первого на второе - 2 на 10x на 5 и плюс 25к, 25. Ну, наверное, вы помните формулу a² + b² = 2ab. Кто не помнит, ничего страшного, в девятом классе она есть в шпаргалке. Запишем это чуть поподробнее.
2 на 10 на 5 - это 100. Ну, ещё одно преобразование. Из первых двух слагаемых выносим 100x за скобки, остаётся 100 + 1. Смотри, вот у + число в натуральном ряду получится некое произведение. Теперь к этому произведению мы приписываем два нуля, получили вот такое число, а теперь прибавляем 25. То есть на место этих двух нулей мы записываем 25.
Ну, так это ровно то, что мы с вами обсуждали, то есть число умножаем на следующее в натуральном ряду и приписываем 25, поэтому правило работает.
Ну что ж, сегодня мы с вами познакомились с некоторыми трюками, которые позволяют быстро посчитать сумму, разность, произведений и даже частное в уме. Надеюсь, что вам понравилось. Если хотите послушать ещё про какие-то трюки, иногда чуть-чуть более сложные, пожалуйста, ставьте лайки, пишите свои комментарии, что есть такое желание, и в следующих выпусках мы обязательно об этом расскажем.
Ну а на этом у меня сегодня всё. Спасибо за внимание! Не забывайте на нас подписываться и до новых встреч. Пока-пока!