Мнимые числа реальны: #2 Математика по-итальянски [Welch Labs]
Вот сайт с шаурмой. В прошлый раз мы начали обсуждать, как можно было бы решить уравнение x квадрат плюс 1 равно нулю, используя мнимые числа. А еще как мнимые и отрицательные числа прошли путь от маргинальной теории до научного мейнстрима. Произошло это не сразу, но тут ничего удивительного: математики долго избегали этих непонятных чисел. Все начало меняться около пяти веков назад.
Итак, итальянец Сципионе дель Ферро размышлял над задачей, чем-то похожей на уравнение из прошлого видео. Сперва давайте взглянем на эту формулу. Обычно именно с ее помощью учат решать квадратные уравнения. Это те, в которых максимальная степень переменной — это квадрат. Просто подставляете в значения а, б, ц, и получаете ответ.
Дель Ферро искал аналогичную формулу для более сложных уравнений — кубических. Задача не из лёгких, поэтому он начал с более простого частного случая: де x в квадрате = ноль, а д тоже отрицательное число, ну то есть как отрицательное. Помните, что в 16 веке с этим понятием было непросто. Он записал уравнение x в кубе плюс c на x равно d, при условии что c и d больше нуля.
Первым делом надо перенести все константы, то есть обычные числа, на одну сторону, а по другую оставить все x. С линейными уравнениями это просто: складываем, вычитаем, умножаем и делим. Главное — делать одно и то же с обеими частями. Квадратные уравнения чуть труднее: в них появляются квадратные корни, но в целом ничего сложного.
Дель Ферро замахнулся на кубические уравнения и, в итоге, вывел формулу. Правда, пока только для частного случая, но она работала. Достаточно было подставить нужные значения, чуть-чуть посчитать, и всё готово. Так исторически сложилось, что в 16 веке математики зарабатывали на жизнь дуэлями. Кто первый найдет корень уравнения, тот и победил.
А у дель Ферро в кармане лежало новое секретное оружие. Дальнейшие события достойны экранизации, но у нас времени только на краткий пересказ. Будучи при смерти, дель Ферро поделился формулой со своим учеником Антонио Фьюри. Антонио решил, что теперь не уязвим, по крайней мере в математике, и вызвал на дуэль гораздо более опытного Николу Тарталья, который, в свою очередь, хвалился, что у него есть формула для подобных кубических уравнений.
Как оказалось, он блефовал. Правда, перед турниром он настолько испугался надвигающегося позора, что все-таки вывел формулу и одержал решительную победу. И тут же раскрыл формулу миру. Ну, не совсем. Долгое время Тарталья хранил её в секрете, еще не раз использовал в бою.
Через какое-то время талантливый математик Джероламо Кардано всё-таки уговорил его поделиться. Переговоры были долгие, и Кардано добился своего лишь поклявшись хранить секрет. Но однажды он наткнулся на сохранившуюся работу дель Ферро — первооткрывателя этого решения. Кардано сделал вывод, что в секретности нет нужды и включил формулу в свою книгу "Великое искусство".
Нарушение клятвы он оправдывал тем, что смог улучшить формулу, вернув условия. В x квадрате оставался ряд вопросов. В похожем на исходное уравнение x куб равно c на x + d при определенных значениях c и d формула ломалась. Например, вот x куб равно 15 x + 4.
Воспользовавшись формулой Кардана, мы получим в решении корни из отрицательных чисел. И что делать с этой проблемой? Кардано не знал. Квадратный корень — это число, которое при умножении на себя дает значение, записанное под знаком корня. Квадратный корень 9 — это 3, так как 3 на 3 и 9. Но учтите, что квадратным корнем из девяти будет еще и -3, поскольку минус на минус даёт плюс.
А как быть с корнями отрицательных чисел? Чему равен квадратный корень -9? 3 не подходит, -3 тоже. Похоже на тупик. Примерно так рассуждал Кардано. Он не знал чисел, которые могли бы решить подобную задачу. Вообще, это не первый случай, когда корни из отрицательных чисел ломали расчеты. Обычно в таких ситуациях математики разводили руками и говорили, что задача не имеет решений.
Зачастую так и было. Вот только если мы построим график кубической функции, то увидим, что как минимум одно решение должно быть. Как не меняй коэффициенты, график подобной функции пересекает ось x хотя бы раз. А значит, уравнение x куб равно 15 x + 4 должно иметь хотя бы один вещественный корень.
Таким образом, у нас есть задача, точно имеющая решения, и есть формула, которая точно работает. А вот вместе они дают очень странный результат. И как с ним быть — непонятно. В математике и науке бывает, что при определенных условиях какой-то закон отказывается работать. Обычно это значит, что мы хотим невозможного.
Но иногда оказывается, что надо взглянуть на проблему чуть иначе. То, что математики узнали, пытаясь доработать формулу Кардана, навсегда изменило науку. Об этом в следующий раз.
Переведено и озвучено студией "Вверх". Гайдар.