Мнимые числа реальны: #7 Комплексное умножение [Welch Labs]
Вот сайт с шаурмой. Likes.
В прошлый раз я дал вам задание на дом разобраться, как работает умножение на комплексной плоскости. Вам надо было решить несколько примеров. Для каждого примера отметим множители на комплексной плоскости. После посчитаем результат, алгебраически выразим его геометрически.
Теперь нам надо найти закономерности. В пятом видео мы выяснили, что это как-то связано с поворотом числа на комплексной плоскости, а значит, угол наклона между вещественной осью и соответствующим числу вектором будет играть какую-то роль. Для этого позаимствуем у тригонометрии специальную функцию арктангенс. Теперь соберем полученные результаты в одном месте.
[Музыка]
Каждый раз угол поворота получившегося в ответе вектора оказывается равен сумме углов умножаемых векторов. Вот мы и нашли первую закономерность: при умножении комплексных чисел на комплексной плоскости результат будет иметь угол, равный сумме углов множителей.
Теперь давайте получше рассмотрим первые два примера. Обратите внимание, в ответе получились одинаковые углы, но длины разные, а значит, следить за углом поворота вектора при умножении на комплексной плоскости все-таки недостаточно. Важен еще один момент: чем же отличаются эти ответы?
Умножение на 2 дало более длинный отрезок, чем умножение на i. Нам стоит выяснить, насколько он длиннее. Чтобы найти длину отрезка, можно построить из него прямоугольный треугольник и воспользоваться теоремой Пифагора. Проделаем эту операцию со всеми числами из примеров.
[Музыка]
Нетрудно заметить, что длина результирующего вектора равна произведению длины множителей. Это вторая закономерность. Итак, при умножении чисел на комплексной плоскости углы между их векторами и вещественной осью складываются, а длины перемножаются. Это и есть правило умножения на комплексной плоскости.
Таким образом, есть два абсолютно разных, но при этом одинаково верных способа умножать комплексные числа: вы можете посчитать произведение алгебраически, а можете начертить векторы от 0 до соответствующих чисел, перемножить их длины и углы наклона к вещественной оси сложить.
Самое удивительное: хоть эти два подхода и выглядят совершенно по-разному, но делают они одно и то же. Просто мы наблюдаем один процесс с разных точек зрения. Меня это наводит на мысль, что в формулах есть гораздо более глубокий смысл, чем тот, что мы видим на бумаге. А математика — это один из способов познать и записать истину о нашей вселенной.
Давайте подведем итог под тем, что мы сегодня познали. Умножение комплексных чисел на комплексной плоскости затрагивает два параметра: длину вектора от начала координат и угол между вектором и вещественной осью. И часто комплексные числа ради удобства выражают именно через эти параметры. Вместо суммы вещественной и мнимой частей можно использовать расстояние от нуля и угол поворота.
[Музыка]
Такую форму называют полярной, а длину вектора — амплитудой или модулем. Смотрите, как легко с ее помощью умножать: перемножаем модули, складываем углы — и готовы! А теперь оцените, насколько проще выполняется деление: просто делим модули и вычитаем из угла делимого угол делителя.
Следующий раз используем эти знания на практике, разберемся с одной сложной задачкой по алгебре, сэкономив кучу времени и бумаги.
Переведено и озвучено студией "Вверх". Гайдар.