Треугольные числа и при чем тут футбольная турнирная таблица. Математика на QWERTY
Всем привет! С вами Георгий Вольфсон, и это очередной выпуск реальной математики на канале Крти. Сегодня мы с вами развеем одну несправедливость, на которую недавно мне указал мой сын. Потому что он говорил: "Ну пап, вот как так, квадраты числа бывают, а вот, например, треугольников или шестиугольников почему-то не бывает! Как же так?"
Действительно, если вы посмотрите на числа 1, 4, 9, 16, 25, 36 и так далее, все вы знаете, что это квадраты, или это вещественные квадраты натуральных чисел. Да, 1 — это квадрат 1, 2 — это квадрат 4, 3 — это квадрат 9 и так далее. Почему эти числа называются квадратами? А потому что, собственно, площадь квадрата с соответствующей стороной.
Например, квадрат со стороной 2 равен 4. По-другому можно это изобразить вот так: возьмём такие кружочки и изобразим их в форме вот такого вот квадрата. Сколько тогда будет кружочков на этой картинке? Ну, понятное дело, 3 на 3 будет 9. 3к, собственно, или квадратное число, показывает, сколько кружочков нужно, чтобы замостить квадратик 3 на 3.
Ну и дальше, уподобился Довлатову, который тоже возмущался: "Как же так, что, например, Львовых вокруг очень много людей по фамилии Львов, а тигровых что-то совсем нету? Или, например, лерок хоть отбавляй, а вот Фрезеровщиков как-то не очень!"
Треугольные числа, как ни странно, существуют, просто о них знает мало народа. Как определяются треугольные числа? Давайте просто попробуем уложить наши кружочки не в форме квадрата, а в форме треугольника. То есть сначала один кружочек, потом ещё два в следующем ряду, три и так далее. Те, кто играл в бильярд, наверное, узнают форму стандартного треугольника, да, в начале партии, когда такая пирамида устанавливается.
Ну, по сути, это даже не объёмная фигура такая, а плоская. Да, треугольник, если говорить про биллиардную историю, то там в последнем ряду будет пять кружочков, ну или пять шариков. Соответственно, вот те числа, которые определяются количеством кружочков, нужных, чтобы заполнить один треугольник, и называются треугольными. Первое треугольное число, как вы уже поняли, это 1. Второе треугольное число — это 3, да, то есть если взять вот такой вот треугольник, в нём три кружочка. Следующее — 6, следующее — 10, 15 и так далее.
Я думаю, что вы уже увидели закономерность. Число получается, если мы добавляем следующий ряд кружочков, а ряд кружочков содержит на один кружочек больше, чем предыдущий. То есть в первом случае была сумма 1 и 2, ну, точнее, уже во втором. Потом 1 + 2 = 3, 1 + 2 + 3 = 4 и так далее. Соответственно, ное треугольное число — это будет сумма всех натуральных чисел от 1 до n.
В связи с этим можно сразу вспомнить одно из применений треугольных чисел: одну историю про юного мальчика по имени Карл, которому учитель как-то раз задал задачку: "Посчитать сумму всех чисел от 1 до 100". Он хотел, чтобы у него было время спокойно там пойти покушать, но Карл, который будущий Карл Фридрих Гаус, обломал его. Плюс, сем и так далее точно таким же образом вплоть до 100.
"Не беспокойте меня, пока у вас не будет решения". "Как ты решил задачу?" "Я сделал очень просто: взял числа парами от 1 до 100 и сложил, воспользовался он следующей формулой: сумма всех чисел от 1 до n вычисляется по такому правилу: N на (N + 1) / 2". Он это делал на самом деле не совсем так. Да, то есть он сказал: "Вот давайте разобьём числа на пары: к единице прибавим 100, к двойке 99, к тройке 98" и так далее. Получим 50 пар по 101 в каждую, значит будет 5,050.
Между прочим, эту же идею, как вообще сложить числа от 1 до n, можно увидеть и визуально. Да и геометрически. Давайте посмотрим вот на такую штуку. Я только что располагал кружочки в форме равностороннего треугольника. Но ведь я же могу их рисовать в форме прямоугольного треугольника. Да, вот так вот, например 1, 2, 3, 4 и так далее. А что будет теперь, если я к этому треугольнику присоединю поворотом? То есть вот у меня был треугольник вот такой, а я к нему приделал вот такой. Ну, то есть у меня получится, давайте я другим цветом покажу, на примере четырёх.
Да, вот здесь будет 4, 3, 2 и 1. Соответственно, мы получаем уже не треугольник, а прямоугольник из кружочков, где по горизонтали строчек у нас столько, какой был номер треугольного числа. На моём примере это 4, но в общем виде это N. А вертикалей у нас на единицу больше, чем элементов в последней строчке. Ну, в N-ой строке вот здесь у нас N элементов, и ещё один дорисовывает, значит всего будет N + 1. Тогда общее число кружочков: N × (N + 1) / 2, потому что мы взяли же два одинаковых треугольника. Отсюда получается N на (N + 1), по вот таким образом, мы заодно доказали формулу для суммы всех чисел от 1 до n.
А, кстати, геометрически же доказывается ещё одно интересное свойство треугольных чисел. Вот давайте я просто выпишу их: первое треугольное число — это 1, второе — это 3, третье — 6, четвёртое — 10, 15 и так далее. И давайте посмотрим, чему равна сумма соседних треугольных чисел. Вот у этих сумма равна 4, у этих сумма равна 9, а у этих 16, а у этих 2. Улавливаете? Конечно, мы сегодня уже этот ряд перечисляли: 4, 9, 16, 25 — всё это квадраты. Отсюда возникает, обратите внимание, гипотеза, пока лишь гипотеза, что сумма подряд идущих треугольных чисел — это квадрат.
Доказать эту гипотезу можно примерно так: мы только что выводили формулу, только теперь давайте возьмём и расположим в виде такого треугольника. Я нарисую в этот раз его с многоточием в последней строчке, у меня будет N кружочков. А теперь добавим сюда Три М, и заметим, тогда, что, опять же, если перевернуть этот треугольник, то здесь у нас будет как раз N кружочков, и даст один кружочек. Ну, а в последний уже ноль, потому что Ми Пе состоит из N ми (N) строки. Вот мы и заполнили квадрат со стороной N. Значит, сумма Т и ТН минус N равняется N квадрат. Достаточно красивая, по-моему, идея.
И раз уж мы заговорили об интересных гипотезах, послушайте ещё одну. Оказывается, что любое натуральное число можно представить в виде суммы не более чем... Ну, в частности, вот возьмём число 10. Я могу его представить как 6 + 3 + 1. Вот они мои треугольники. А возьмём, скажем, число 20. Я могу его представить как 10 + 10. А могу я взять, например, число 8? Это 6 + 1 + 1. Кстати, естественно, десятку можно бы представить просто как 10, потому что 10 — это треугольное число, разумеется. Это доказывает Гипотезу, пока её просто не опроверг. Я показал, что она работает на конкретных примерах. Вы, при желании, можете поинтересоваться и доказать, что все числа от 1 до 100 представимы и найдя соответствующее представление, но и это будет не доказательство общей гипотезы.
Знаете, кто придумал вот эту идею, что можно так? Никто иной как Пьер Ферма, тот самый, который сформулировал ещё одну известную гипотезу. Да, Великую теорему Ферма. Он это сделал в начале 15 века, и то примерно через 150 лет её доказали. Вот гипотезу про то, что любое число можно представить в виде суммы не более чем трёх треугольников. А кто это сделал? Тот самый Карл Фридрих Гаус, который, видимо, полюбил треугольные числа ещё со школьной скамьи.
Ну а мы давайте перейдём к практическим применениям треугольных чисел. Вот где они вообще появляются, кроме как в нашем ролике. Оказывается, довольно много где. Вот давайте, допустим, вспомним недавно прошедший чемпионат Европы по футболу. Помню, там команды исходные разбивались на группы, в каждой группе было четыре команды. И дальше вопрос: сколько матчей должны сыграть эти самые команды?
Ну давайте посчитаем. Первая команда должна сыграть три матча. Если каждая с каждой играет, вторая команда сыграет тоже три матча, только один из них с первой уже посчитано, значит, надо добавить ещё два уникальных матча. Третья команда с первой и со второй уже будем считать, что сыграли, мы их посчитали, остался только матч с четвёртой командой. Ну, а четвёртая со всеми уже сыграла. И что же мы получаем? Совершенно верно: наше третье треугольное число.
Разумеется, если бы команд было не четыре, а скажем 10, как на недавнем шахматном турнире, то в этом случае у первого было бы девять матчей, у второго восемь, у третьего семь и так далее. Мы получили бы Т девятое, то есть треугольное число под номером девять.
Похожая история работает и в вот каком примере. Представьте себе, что 10 человек обменялись рукопожатиями. Вот каждый каждому пожал руку, сколько рукопожатий было сделано? Можно посчитать точно так же. Да, первый сделал девять рукопожатий, второй, он тоже сделал девять рукопожатий, но одно из них мы уже посчитали с первым, чтобы не посчитать его два раза, прибавляем восемь. Следующий — шесть. Ну, дальше вы поняли. То есть получается, конечно, его и вычислить. Напомню формулу: N на (N + 1) пополам, то есть 9 на 10, 90 пополам, 45.
Ну что ж, надеюсь, что сегодня мы развеяли несправедливость и выяснили, что кроме так называемых квадратных чисел или квадратов, бывают и треугольники, то есть треугольные числа. А в качестве спойлера бывают и другие многоугольные числа: то есть пятиугольные, шестиугольные, но это уже другая история. Не забывайте подписаться на наш канал, чтобы не пропустить новые классные выпуски. Пока-пока!