Мнимые числа реальны: #1-13 [Welch Labs]

Вот сайт с шаурмой. Likes.

[Музыка]

Допустим, у нас есть функция f от x равно x квадрат плюс один. Построим график функции. Типичная пора была. Теперь давайте найдем точки, в которых функция равна нулю, то есть ищем корни на графике. В этих точках проходила должна пересекать ось x.

Как видите, таких точек нет, значит, если верить этому графику, уравнение x квадрат плюс 1 равно нулю не имеет решений. Но есть нюанс. Двести с лишним лет назад ученый по фамилии Гаусс доказал, что любой многочлен порядка n имеет ровно n корней. У нас многочлен второго порядка или второй степени, значит, корня должно быть 2. Да, кстати, то, что доказал Гаусс, сегодня называют основной теоремой алгебры.

Если ваш график противоречит не много, не мало основной теореме алгебры, это достаточное основание, чтобы призадуматься. Итак, Гаусс сказал, что у нас обязана быть пара таких значений x, при которых функция f от x будет равна нулю. Но где и как нам их искать? Если коротко, нам нужно больше чисел.

Может показаться, что все возможные числа существуют на одномерной бесконечной прямой числовой оси. Здесь все наши друзья 0, единицы и отрицательные числа и даже иррациональным числом место нашлось. Но кое-чего здесь не хватает, и искать их надо не где-то правее или левее, они живут в другом измерении.

Это понимание позволило справиться с задачей, которая до тех пор считалась нерешаемой, и найти число, квадрат которого равен минус единица. Где его искать? Становится понятно, если добавить новое измерение графику. Теперь у каждого числа есть два измерения.

И пусть это не полное решение x квадрат плюс 1 равно нулю. Из того, что получилось, видно, что график таки пересекает ось x. Это значит, решение есть, просто мы их не там искали. Но почему так много людей даже не догадываются об этом измерении?

Часть вины я возлагаю на довольно странное название. Звучит так, словно кто-то нафантазировал несуществующую вещь. Сам Гаусс был не в восторге от термина "мнимые числа". Код он завис. И мистических домыслов по вине не самой удачной нотации используем мы и другие термины этого можно было бы избежать. Например, если бы единица минус единицей, корень из минус единицы были числами прямыми и обратными и перпендикулярными соответственно.

Мы же говорим положительные, отрицательные и мнимые, а иные говорят невозможны. Итак, существует целое измерение так называемых мнимых чисел. Гаусс предлагал называть их перпендикулярными, но название не прижилось, так исторически сложилось. Но зачем нам понадобилось искать какие-то числа из другого измерения?

Для начала давайте обсудим, как вообще появлялись новые числа. В начале пути людям было достаточно натуральных чисел 1, 2, 3 и так далее. Это простые инструменты для решения простых задач. В то время числовая ось выглядела бы как последовательность точек. С развитием цивилизации люди сталкивались с более сложными вопросами: когда начинать посевы, как делить землю, как следить за налогами и торговать. Натуральные числа уже не справлялись с подобными вычислениями.

К счастью, египтяне изобрели кое-что новое, и идея, что между числами могут быть другие числа, стала настоящим технологическим прорывом. И несколько тысяч лет ничего лучше не появлялось, пока к числам не добавили ноль и отрицательные. Правда, прижились они далеко не сразу, большинство не понимало, как их вообще интерпретировать, где в природе встретишь ноль или минус один. А люди всегда стремились избегать непонятного.

Отношение к математике у разных культур отличалось. Некоторые до последнего не принимали новые числа, не видя их связи с реальным миром. Между тем античное давно закончилась, но скепсис никуда не делся. Буквально несколько веков назад математики сознательно шли на любые ухищрения, лишь бы убрать из уравнения отрицательные числа.

Но все же прогресс постепенно брал верх. С помощью отрицательных чисел так удобно, например, считать долги. Да и в целом они так и напрашиваются во многие математические задачи. Огромное количество вычислений без них не провести. Например, простейшее алгебраическое уравнение x плюс 3 равно 2 не имела бы корней. Подобные уравнения считались бы нерешаемыми.

Очень похоже на уравнение из начала ролика думать, что этих задач нет решения вполне закономерно. Ведь если пытаться объяснить их на примере, получится: у меня было два яблока, три из них я отдал, сколько у меня осталось? Не удивительно, что услышав подобное, люди начинали ждать подвоха. Ведь вопрос получается бредовый.

Величайшие умы 18 века, включая Леонарда Эйлера, не до конца понимали суть отрицательных чисел. Он даже как-то раз написал, что они больше бесконечности. Как видите, у отрицательных и мнимых чисел есть кое-что общее. Они ставят перед нами очень интересные вопросы. Например, почему мы требуем от школьников и студентов непринуждённо высчитывать то, что сбивало с толку величайших математиков на протяжении тысяч лет?

Или зачем мы признаем существование этих чисел, если в природе нет таких материальных объектов, которые можно было бы этими числами посчитать? Как эти числа помогут решить уравнение, с которого мы начинали? В следующем видео я отвечу на часть этих вопросов и расскажу, как открывали мнимые числа.

[Музыка]

В прошлый раз мы начали обсуждать, как можно было бы решить уравнение x квадрат плюс 1 равно нулю, используя мнимые числа, а еще как мнимые и отрицательные числа прошли путь от маргинальной теории до научного мейнстрима. Произошло это не сразу, но тут ничего удивительного. Математики долго избегали этих непонятных чисел. Все начало меняться около пяти веков назад.

Итак, итальянец Сципионе дель Ферро размышлял над задачей, чем-то похожей на уравнение из прошлого видео. Сперва давайте взглянем на эту формулу. Обычно именно с ее помощью учат решать квадратные уравнения. Это те, в которых максимальная степень переменной – это квадрат. Просто подставляете в значение a, b, c и получаете ответ. Дель Ферро искал аналогичную формулу для более сложных уравнений кубических.

Задача не из лёгких, поэтому он начал с более простого частного случая, где x в квадрате нет, а d – отрицательное число. Ну то есть как отрицательное? Помните, что в 16 веке с этим понятием было непросто. Он записал уравнение x в кубе плюс c на x равно d при условии, что c и d больше нуля.

Первым делом надо перенести все константы, то есть обычные числа, на одну сторону, а по другую оставить все x с линейными уравнениями. Это просто, складываем, вычитаем, умножаем и делим. Главное – делать одно и то же с обеими частями. Квадратные уравнения чуть труднее, в них появляются квадратные корни, но в целом ничего сложного.

Дель Ферро замахнулся на кубические уравнения и в итоге вывел формулу, правда, пока только для частного случая. Но она работала – достаточно было подставить нужные значения, чуть-чуть посчитать и все готово. Так исторически сложилось, что в 16 веке математики зарабатывали на жизнь дуэлями. Кто первый найдет корень уравнения – тот и победил.

А у Дель Ферро в кармане лежало новое секретное оружие. Дальнейшие события достойны экранизации, но у нас времени только на краткий пересказ. Будучи при смерти, Дель Ферро поделился формулой со своим учеником Антонио Фиоре. Антонио решил, что теперь неуязвим, по крайней мере в математике, и вызвал на дуэль гораздо более опытного Николу Тарталья, который, в свою очередь, хвалился, что у него есть формула для подобных кубических уравнений.

Как оказалось, он блефовал. Правда, перед турниром он настолько испугался надвигающегося позора, что все-таки вывел формулу и одержал решительную победу, и тут же раскрыл формулу миру. Но не совсем. Долгое время Тарталья хранил её в секрете, еще не раз использовал в бою.

Через какое-то время талантливый математик Джероламо Кардано все-таки уговорил его поделиться. Переговоры были долгие, и Кардано добился своего лишь поклявшись хранить секрет. Но однажды он наткнулся на сохранившуюся работу Дель Ферро, первооткрыватели этого решения. Кардано сделал вывод, что в секретности нет нужды и включил формулу в свою книгу "Великое искусство".

Нарушение клятвы он оправдывал тем, что смог улучшить формулу, вернув условия x квадрате. Оставался ряд вопросов в похожем на исходное уравнение "x куб равно c на x + d". При определенных значениях c и d формула ломалась. Например, вот x куб равно 15 x плюс 4. Воспользовавшись формулой Кардано, мы получим в решении корни из отрицательных чисел. И что делать с этой проблемой? Кардано не знал.

Квадратный корень – это число, которое при умножении на себя дает значение, записанное под знаком корня. Квадратный корень 9 – это 3, так как 3 на 3 равно 9. Но учтите, что квадратным корнем из девяти будет еще и -3, поскольку минус на минус даёт плюс. А как быть с корнями отрицательных чисел? Чему равен квадратный корень минус 9? 3 не подходит, -3 тоже. Похоже, тупик.

Примерно так рассуждал Кардано. Он не знал чисел, которые могли бы решить подобную задачу. Вообще, это не первый случай, когда корни из отрицательных чисел ломали расчеты. Обычно в таких ситуациях математики разводили руками и говорили, что задача не имеет решений. Зачастую так и было.
Вот только если мы построим график кубической функции, то увидим, что как минимум одно решение должно быть. Как не меняй коэффициенты, график подобные функции пересекает ось x хотя бы раз. А значит, уравнение x куб равно 15 x плюс 4 должен иметь хотя бы один вещественный корень.

Таким образом, у нас есть задача, точно имеющая решение, и есть формула, которая точно работает. А вот вместе они дают очень странный результат. И как с ним быть непонятно. В математике и науке бывает, что при определенных условиях какой-то закон отказывается работать. Обычно это значит, что мы хотим невозможного.

Но иногда оказывается, что надо взглянуть на проблему чуть иначе. То, что математики узнали, пытаясь доработать формулу Кардано, навсегда изменило науку. Об этом в следующий раз.

Как помните, формула Кардано ломалась при решении некоторых кубических уравнений. Кардано знал, что эта проблема должна иметь решение, но квадратные корни отрицательных чисел сбивали его с толку. Он шел по правильному пути, однако все попытки доработать формулу или привести уравнение к другому виду просто водили его по кругу.

Только следующее поколение математиков смогло продвинуться дальше. Рафаэль Бомбелли, ученик Кардано, нашел очень оригинальное решение для этой проблемы. Напомню, в чем суть: нам нужно умножить некое число на себя, то есть возвести в квадрат, и получить отрицательное число. Вот только не положительные, неотрицательные числа тут не подходят.

Бомбелли задумался: если задачу нельзя решить не с помощью положительных неотрицательных чисел, возможно, существуют какие-то еще? А если так, то стоило бы подумать, как эти новые неизведанные числа назвать и как их обозначить. Бомбелли подошел к вопросу практично, не стал ничего выдумывать и оставил квадратные корни из отрицательных чисел квадратными корнями из отрицательных чисел.

Так что теперь, если кто-то говорил, что у задач нет решений, он мог спокойно сказать, что они есть, просто допустив, что квадратные корни из отрицательных чисел существуют. Рассмотрим самый простой пример – корень квадратный из минус единицы.

Возможно, вы ждали нечто более впечатляющее от принципиально нового числа. На первый взгляд, и правда, ничего примечательного, но у него есть особое, нужное нам свойство – его квадрат дает -1. Такого не могут ни положительные, ни отрицательные числа. Значит, перед нами нечто принципиально новое.

Может показаться, что здесь есть какой-то подвох, будто кто-то подгоняет решение под ответ. Что же? Так часто бывает при первом знакомстве с мнимыми числами. Но как-то иначе объяснить вряд ли получится. Поначалу кажется, что подобные корни придумали для того, чтобы студентам жизнь медом не казалась.

Давайте пока подытожим вышесказанное. Кардано и Бомбелли знали, что их проблема имеет решение, но не могли его найти. Бомбелли понял: чтобы продвинуться дальше, нужно расширить числовую систему, тем более что идея не новая. Так было и с дробями, и с нулем, и с отрицательными числами. Все они появлялись только тогда, когда в них возникала необходимость. Настало время и для квадратного корня из минус единицы.

[Музыка]

Но сперва надо разобраться, как этим числом пользоваться. Если это новое число является открытием, а не изобретением, то оно должно обладать такими же свойствами, какие есть уже у известных нам чисел, а точнее, подчиняться тем же законам алгебры и арифметики.

Сразу скажу: есть нюансы, но в целом тут все в порядке. Например, мы можем разложить квадратный корень на множители, независимо от того, является ли число под ним положительным или отрицательным. Корень из минус 25 равен корню из 25, умноженному на корень из минус единицы. Это свойство позволяет выразить корень из отрицательного числа с помощью квадратного корня из минус единицы.

Корень из минус 25 сокращается до 5 корней из минус единицы, то есть квадратный корень из любого отрицательного числа можно выразить как корень из положительного числа, помноженный на корень из минус единицы. Давайте пройдемся по некоторым другим алгебраическим свойствам. Например, дистрибутивный закон работает одинаково в обоих случаях: 2x плюс 3x равно 5x, но 2 плюс 3x уже никак не упрощается.

Аналогично, 2 корня из минус 1 плюс 3 корня из минус 1 – это 5 корней из минус 1, но 2 плюс 3 корня из минус 1 – это 2 плюс 3 корня из минус 1. Как и в случае с переменными: то, что нельзя сложить, можно перемножить. 5 умножить на x – это 5x, опять умножить на корень из минус 1 – это 5 корней из минус 1. Правда, некоторые операции требуют особого подхода. В подобных случаях можно вынести за скобку все корни из минус единицы.

Итак, с основами разобрались. Что нам это дает? Как помните, в прошлом видео мы пытались найти квадратный корень из минус 9. Разложим -9 на множители, возьмем корни и получим 3 квадратных корня из минус 1. Отлично, но мы еще не решили проблему Кардано, ведь в его вычислениях появляется кубический корень из квадратного корня отрицательного числа. Бомбелли смог разобраться с этим, но это тема для отдельного видео.

В прошлый раз мы остановились на идее, что квадратный корень из минус единицы не просто существует, но и необходим для решения ряда задач. Однако этого недостаточно, чтобы решить проблему Кардано, поэтому Бомбелли продолжил расчеты. Он знал, как выглядит график типичного кубического уравнения. Из него следует, что должно существовать решение без корней отрицательных чисел. Подобные функции всегда пересекают ось x в точке от минус до плюс бесконечности.

Отсюда Бомбелли сделал вывод, что все это возможно только если корень из минус единицы сократится в процессе вычислений. Он обозначил проблемные слагаемые как a плюс b квадратных корней из минус единицы и a минус b квадратных корней из минус единицы. Оставалось найти эти константы a и b, чтобы убрать кубические корни. Возведем в куб обе части выражения.

Сократив все, что можно, получим непростую систему уравнений. Но Бомбелли удалось с ними справиться с помощью нехитрого метода подбора. Можно начать перебирать целые числа, и окажется, что 4 является корнем. Подставив её вместо x, можно найти коэффициенты a равно 2, b равно 1. Следовательно, слагаемые равны 2 плюс корень квадратный из минус единицы и 2 минус корень квадратный из минус единицы. Если возвести в куб, то мы получим то самое выражение, с которого начинали.

Но самое главное: если мы их сложим, как на велит выведенная формула, то получим 4, то есть корень исходного уравнения. Вот теперь проблема Кардано решена. Что интересно, квадратного корня из минус единицы нет ни в условиях задачи, ни в ответе. Однако мы смогли получить ответ, только признав возможность существования подобных чисел и включив их в наши расчеты. Позже выяснилось, что есть еще масса проблем, которые без таких чисел не решить. Притом не только в математике, но и в других науках.

И как же Бомбелли отметил столь важное открытие? Да никак. Он решил, что это не более чем математические костыли. И как бы это смешно ни звучало, сегодня в те времена такой вывод был вполне обоснован. Уж больно удобно эти числа ложились в уравнении, словно их специально придумали для подобных задач.

В те времена квадраты чисел нужны были главным образом для подсчета площади квадратов. Собственно, отсюда и название: площадь квадрата равна квадрату его стороны. Здесь все просто, но где вы видели квадрат площадью минус 1 метр? И как измерить его сторону? Без ответов на подобные вопросы ни о каком развитии идеи мнимых чисел не могло быть и речи. Лед тронулся спустя много лет после смерти Бомбелли, но это уже немного другая история.

Бомбелли предположил, что квадратный корень из минус единицы может существовать. Такой подход позволил решить ряд проблем, над которыми математики бились десятки лет. Однако Бомбелли и его современники не восприняли мнимые числа всерьез, решив, что это математически и костыли. Разве в реальном мире можно что-то посчитать с помощью корней отрицательных чисел?

Неудивительно, что им пришлось пройти тот же тернистый путь, что и нулю или отрицательным числам: от непонимания и скепсиса до признания. Несмотря на это, называли их ужасно – то мнимыми, то воображаемыми или вовсе невозможными числами. Лет спустя Эйлер решил использовать латинскую "i", чтобы каждый раз не писать корень из минус единицы. Получилось удобно. Правда, термин "мнимые числа" к тому времени уже прижился и до сих пор используется.

Ну, остальные числа на числовой прямой назвали вещественными. Сложив вещественную и мнимую часть, мы получаем комплексное число. В то время мнимые числа все чаще и чаще встречались в уравнениях, особенно в дифференциальных, но их истинный смысл математики поняли только через двести с лишним лет после смерти Бомбелли.

Прежде чем углубиться в эту тему, давайте обсудим и с алгебраической точки зрения. В отличие от большинства чисел i не увеличивается при возведении в степень. Из определения следует, что i в квадрате равно минус 1. Если мы будем возводить i в большей степени, то заметим, что каждые 4 степени результат повторяется снова и снова и снова.

Вернемся к той алгебре через полторы минуты. А пока рассмотрим старую добрую числовую прямую. Как помните, на ней есть все возможные числа, кроме мнимых. Их здесь пристроить нигде. Давайте представим проблему с корнями отрицательных чисел в графическом виде. Итак, нам надо найти число, которое при умножении на себя даст отрицательное число.

Для наглядности вместо привычных точек будем использовать стрелочки, то есть векторы. А при умножении положительного числа на себя направление стрелки не меняется. При умножении положительного на отрицательное стрелочка поворачивается на 180 градусов. Квадрат отрицательного всегда положительный, поскольку один минус изначально смотрит влево, а второй разворачивает его на 180 градусов.

Поэтому квадрат числа никак не может оказаться на отрицательной половине числовой прямой. Квадрат положительного числа всегда положительный. Отрицательное число, хоть и смотрит влево в начале, но после умножения на себя всегда разворачивается и тоже оказывается справа. Нам же нужно нечто среднее, такое число, при умножении на которое стрелочка повернется на 90 градусов, а не на 180.

Этим свойством обладают мнимые числа. i в квадрате дает минус единицу, первое i находится в 90 градусах от положительных чисел. Выводим в квадрат, добавляем еще 90 градусов, и вот мы попали на территорию отрицательных чисел. Полторы минуты прошли, вернемся к алгебре.

А лучше совместим с геометрией. Нам достаточно провести, мою ось перпендикулярно числовой прямой. Поскольку умножение на i разворачивает нас на 90 градусов. Допустим, у нас есть единица, умножив её на i, алгебраически мы получаем i, а в геометрическом приближении вращаем стрелку на 90 градусов.

Умножив еще раз на i, получаем i в квадрате, то есть -1, что сходится с новым положением стрелки. Каждая степень приводит к новому повороту, и на четвертый раз мы возвращаемся к единице, что полностью повторяет алгебраическую закономерность.

Самое важное понять, что мнимые числа неразрывно связаны с обычными, они живут рядом, просто в перпендикулярном измерении. Вот в чем истинная суть мнимых чисел. Это не какой-то хитрый фокус, чтобы подогнать решение под ответ, они естественное продолжение нашей числовой системы.

Ведь числа существуют в двух измерениях, и это открытие позволило математикам решать гораздо более сложные задачи. Применением нашли также и ученые, и инженеры. Скоро мы поговорим и об этом, но уже в другом видео. Сегодня поговорим о том, как применять мнимые числа в реальных вычислениях.

Встречайте комплексную плоскость! Комплексная плоскость получается, если к привычной числовой прямой добавить вертикальную ось с мнимыми числами. Принцип работы похож на обычные координаты. Только вместо x и y – вещественная и мнимая части. Помните? Гаусс предлагал альтернативную терминологию, в которой числа делились на прямые и обратные, и перпендикулярные.

Вещественные числа как бы движутся от наименьшего к наибольшему, то есть прямо. Отрицательные же — в обратную сторону, а мнимые как бы по бокам. Поэтому перпендикулярные. Что такое комплексная плоскость, мы обсудили. Теперь обсудим её сильные стороны.

У обычной координатной плоскости есть оси, и на них откладываются значения координат. С такой у нас начиналось самое первое видео. В подобной системе координат нет каких-то особых правил, по которым изменение одной координаты должно приводить к изменению другой. Однако о комплексных числах алгебра более сложная, мы это обсудили в прошлом видео.

Поэтому координаты на комплексной плоскости влияют друг на друга, и это очень полезная особенность. Для начала надо понимать, как происходит сложение и вычитание. Операции над вещественными и мнимыми частями проводятся отдельно. Это удобно, когда мы имеем дело с движением в двух измерениях. Если мы перемещались сперва в одном направлении, а потом в другом, то мы можем сложить соответствующие координаты и узнать, куда мы в итоге пришли.

Хорошо, но чем, спросите вы, это отличается от обычных векторов? Странности начинаются, когда комплексные числа умножают. Для этого необходимо раскрыть скобки. Все делаем по принятым в алгебре правилам. Единственная особенность — и в квадрате заменяется на -1. Сокращаем лишнее и получаем ответ.

Но у этой задачи есть альтернативное решение. Как считаете, можно ли получить такой же результат с помощью особенностей комплексной плоскости? Но не думайте, что я вам просто так всё расскажу. Гораздо веселее будет дать домашнее задание.

Чтобы понять, как происходит умножение на комплексной плоскости, вам надо знать, как происходит умножение комплексных чисел алгебраически, как отмечать числа на комплексной плоскости, как пользоваться теоремой Пифагора и как с помощью арктангенса находить углы. Если вы найдете ответ самостоятельно, то можете себя поздравить, умнейшие математики всей планеты бились над этой задачей.

Справились всего-навсего две сотни лет назад. Да и запишите четыре примера, которые вам надо будет решить на комплексной плоскости. Ответы в следующем выпуске: 4 плюс 3i, умножить на i, 4 плюс 3i, умножить на 2, 4 плюс 3i в квадрате, 2 плюс i, умножить на 1 плюс 2i.

Решив эти примеры на комплексной плоскости, надеюсь, вы увидите определенные закономерности, и тема станет вам понятнее. Нигде записать задание. Внизу есть ссылка на запись в блоге в ЛЧ Labs, посвященный этому видео. Я уверен, подумать над этой задачей будет полезно не только новичкам, но и ветеранам комплексных вычислений.

В следующем видео посмотрим, что у вас получилось. В прошлый раз я дал вам задание на дом: разобраться, как работает умножение на комплексной плоскости. Вам надо было решить несколько примеров. Для каждого примера отметим множители на комплексной плоскости. После посчитаем результат алгебраически, выразим его геометрически.

Теперь нам надо найти закономерности. В пятом видео мы выяснили, что i как-то связано с поворотом числа на комплексной плоскости, а значит, угол наклона между вещественной осью и соответствующим числу вектором будет играть какую-то роль. Для этого позаимствуем у тригонометрии специальную функцию арктангенс.

Теперь соберем полученные результаты в одном месте. [Музыка]
Каждый раз угол поворота получившегося в ответе вектора оказывается равен сумме углов умножаемых векторов. Вот мы и нашли первую закономерность. При умножении комплексных чисел на комплексной плоскости результат будет иметь угол, равный сумме углов множителей.

Теперь давайте получше рассмотрим первые два примера. Обратите внимание: в ответе получились одинаковые углы, но длинны разные. А значит, следить за углом поворота вектора при умножении на комплексной плоскости все-таки недостаточно. Важен еще один момент: чем же отличаются эти ответы?

Умножение на 2 и дало более длинный отрезок, чем умножение на i. Нам стоит выяснить, насколько он длиннее. Чтобы найти длину отрезка, можно построить из него прямоугольный треугольник и воспользоваться теоремой Пифагора. Проделаем эту операцию со всеми числами из примеров. [Музыка]

Нетрудно заметить, что длина результирующего вектора равна произведению длины перемножаемых. Это вторая закономерность. Итак, при умножении чисел на комплексной плоскости углы между их векторами и вещественной осью складываются, а длины перемножаются. Это и есть правило умножения на комплексной плоскости.

Таким образом, есть два абсолютно разных, но при этом одинаково верных способа умножать комплексные числа: вы можете посчитать произведение алгебраически, а можете начертить векторы от 0 до соответствующих чисел, перемножить их длины и углы наклона к вещественной оси сложить.

Самое удивительное: эти два подхода выглядят совершенно по-разному, но делают одно и то же. Просто мы наблюдаем один процесс с разных точек зрения. Меня это наводит на мысль, что формулы имеют гораздо более глубокий смысл, чем тот, что мы видим на бумаге, а математика — это один из способов познать и записать истину о нашей вселенной.

Давайте подведем итог под тем, что мы сегодня познали. Умножение комплексных чисел на комплексной плоскости затрагивает два параметра: длину вектора от начала координат и угол между вектором и вещественной осью. И часто комплексные числа ради удобства выражают именно через эти параметры. Вместо суммы вещественной и мнимой части можно использовать расстояние от нуля и угол поворота. Такую форму называют полярной, а длину вектора — амплитудой или модулем.

Смотрите, как легко. С её помощью умножаем: перемножаем модули, складываем углы — и готовы! А теперь оцените, насколько проще выполняется деление. Просто делим модуль и вычитаем из угла делимого угол делителя. В следующий раз используем эти знания на практике. Разберемся с одной сложной задачкой по алгебре, сэкономив кучу времени и бумаги.

Давайте решим простое уравнение x кубе равно 1. Как думаете, чему равен x? Ответ подобрать несложно: 1 в кубе будет 1. Говорю же, не сложно! Но может быть есть и другие решения? Помните, в первом видео мы познакомились с основной теоремой алгебры, согласно которой многочлен степени n должен иметь n корней. Запишем уравнение как x куб минус 1 равно 0, чтобы было нагляднее.

Итак, мы видим, что самая высокая степень 3, значит, уравнение имеет корни. Можно найти их алгебраически, но решение будет довольно громоздким. Придется разложить куб, а потом еще решить квадратное уравнение. Давайте лучше попробуем сделать все графически с помощью комплексной плоскости. Итак, вопрос: какое число надо умножить на себя трижды, чтобы получить единицу?

Воспользуемся полярной записью комплексных чисел. Из прошлого видео единица на комплексной плоскости — это число с модулем 1 и углом 0 градусов, ну или 360. При умножении чисел на комплексной плоскости их модули перемножаются, а углы складываются.

Результат должен иметь модуль, равный единице: 1 на 1 на 1 равно 1. Поэтому, если модуль x равен единице, такой же будет модуль ответа. Так, а что с углами? Поскольку при умножении комплексных чисел углы складываются, нам нужно, чтобы сумма углов была 0, ну или 360. Неважно, собственно для наших целей 360 даже удобнее.

Итак, нам надо разделить 360 градусов на три равных части, быстренько считаем: делим 360 на три — 120 градусов у нас есть угол и есть модуль. 2 корня уравнения — это комплексное число с модулем 1 и углом 120 градусов. На комплексной плоскости все очевидно. Умножаем наш ответ на себя и получаем единицу с углом 240 градусов. Умножаем еще раз — результатом становится число с модулем 1 и углом 360 градусов, также известная как просто 1.

Вот только в алгебре не принято давать ответы с градусами. Переносим их на привычную систему координат. Для этого возьмем единичный круг или транспортир и используем его по назначению. Как видите, с полярными координатами 1, 120 градусов соответствует точке минус 1, 2 для вещественной части, корень квадратный из 3, делить на 2 для мнимой.

Что же, ответ у нас есть. Давайте проверять: возводим в куб, упрощаем, сокращаем, и кто бы мог подумать, получилось единица. Итак, мы решили не простую алгебраическую задачу графически и получили такой же ответ, как и после долгих вычислений. Но мы нашли только два корня. Согласно основной теореме алгебры, есть еще один. Найти его нетрудно.

Нужно двигаться по комплексной плоскости в обратном направлении. Если мы сделаем три поворота на минус 120 градусов, то снова получим полностью вещественную единицу. Итак, третий корень – это минус 1, 2 минус половина корня из трёх на i. Вот мы и нашли все корни уравнения x куб равно 1 графически. Оцените, насколько комплексная плоскость практичнее алгебры! Я же говорил, что так гораздо удобнее.

А давайте посмотрим, что будет, если усложнить задачу. Что если x в нашем уравнении будет не в 3, а в восьмой степени, то есть x в восьмой степени минус 1 равно нулю? Придется раскрывать очень много скобок, не проще ли вернуться на комплексную плоскость и поделить единичный круг на нужное количество частей? В данном случае нам нужно 8 равных секторов, каждый по 45 градусов.

Переводим в удобные координаты и готово, все восемь корней найдены. В следующем видео я объясню, как люди поняли, что мнимые числа – недостающий кусочек пазла, который так долго искали в математике.

[Музыка]

Совсем скоро мы перейдем к решению уравнений из первого видео, но есть ещё один вопрос: откуда мы знаем, что алгебра неполноценна без мнимого измерения? Я рассказывал, что в самом начале из всех чисел люди знали только натуральные. Египтяне столкнулись с неразрешимыми задачами и поняли, что одними натуральными числами не обойтись. Однако понять, что вам чего-то не хватает, иногда бывает непросто.

Благо, математики придумали, как можно проверить, все ли необходимые разновидности чисел вы нашли. Сегодня поговорим о замыкании. Давайте-ка поиграем: у вас есть множество чисел и какой-нибудь алгебраический оператор. Будем брать два случайных числа из набора и проводить над ними какую-нибудь операцию. Получим ли мы число, не принадлежащее к множеству?

Начнем с натуральных чисел и сложения. Итак, можно ли сложив два натуральных числа получить не натуральное число? [Музыка] Перебрав несколько вариантов, справедливо заключить, что суммой натуральных чисел всегда будет натуральное число.

На языке математиков это значит, что множество натуральных чисел замкнуто относительно сложения. Теперь посмотрим, как у натуральных чисел с вычитанием. С некоторыми комбинациями все нормально. Скажем, 6 минус 4, их разность равна 2, а это натуральное число. Но что если взять 4 минус 6? Тогда мы получаем число, не принадлежащее к натуральным числам. Значит, это множество не замкнуто относительно вычитания. Нам надо расширить набор чисел, чтобы в него входили ноль и отрицательные числа.

Множество натуральных чисел не замкнуто относительно вычитания. То ли дело множество целых чисел. Мы расширили числовую систему, и теперь можем вычитать что угодно из чего угодно. Думаю, вы догадались, что для других операций нам понадобится числовая система побольше. Для деления, например, нужны дроби, а это уже множество рациональных чисел. Здесь рацию означает соотношение. То есть рациональное число можно выразить как соотношение двух целых чисел.

Чтобы наглядно показать, как логически связаны между собой различные множества, часто используют диаграммы Венна. Это удобно. Целые числа всегда рациональны, поскольку могут быть выражены как соотношение двух целых чисел, но не все рациональные числа являются целыми. Итак, мы дошли до множества рациональных чисел. В него входят ноль и единица, минус 5 и даже минус 2/3. Относительно каких операций замкнуто это множество?

Сумма двух рациональных чисел также рациональна, так что смело записываем сложение. То же справедливо для вычитания, умножения и деления. А как насчет степеней и корней? Если возвести рациональное число в рациональную степень, получим ли мы рациональный результат? Иногда да. Например, если возвести в квадрат для девяток. Но если нам нужно 2 в степени 1/2, начинаются проблемы. Дробная степень – это альтернативный способ записи корня, то есть нас интересует квадратный корень из 2.

Ни одно целое число, как его ни крути, не даст квадратного корня из 2. Доказательства есть, но это тема для отдельного видео. Поскольку подобные числа не являются рациональными, их назвали ирациональными. И сразу скажу: есть кое-что позабористее, а именно трансцендентные числа, вроде π или e. О них тоже в другой раз.

Нам надо снова расширить числовую систему и включить в нее все эти числа, и тогда мы получим множество вещественных чисел. Давайте сыграем еще разок. У нас есть множество вещественных чисел, а в качестве оператора выступает корень. Это множество замкнуто? Можем ли мы взять корень из вещественного числа и получить не вещественное число? Хоть мы уже столько всего добавили в наше множество, кое-чего все равно не хватает. Мы ограничены множеством вещественных чисел.

В этом множестве нет числа, которое было бы квадратным корнем из -9. Решение появляется, когда мы добавляем еще мнимые числа, а точнее, берем все известные нам вещественные числа, добавляем к ним мнимую составляющую и получаем самое полное множество чисел – комплексные числа. Первое время математики сомневались: а что если для каких-то задач нужны более сложные числа? Например, чему равен квадратный корень из минус i? Не перейдем ли мы из двух измерений в 3?

К счастью, оказалось, что нет. Найти квадратный корень из минус i нам поможет старая добрая комплексная плоскость. И это число с модулем 1 и углом минус 90 градусов. Значит, наш корень – это число с модулем 1 и углом минус 45 градусов. Единичный круг подсказывает, что это корень из двух на два минус корень из двух на два. Умножив на i, корень из минус i остается комплексным числом.

И фантастические числа, обитающие в трех измерениях, нам не нужны. Нет такой задачи, включающей сложение, вычитание, умножение и деление, возведение в степень или взятие корня, которую нельзя решить с помощью комплексных чисел.

Мнимые числа — последний кусочек, которого не хватало в после под названием алгебра. [Музыка] Так что же это такое? Девять серий назад я сказал, что без этого не решить одно квадратное уравнение. С тех пор больше про него не упоминал. Многие, наверное, подумали, что этот простенький спецэффект добавлен в видео ради научности и привлечения аудитории. Не делайте поспешных выводов! Давайте вспомним, как мы получили этот график.

Мы взяли уравнение, которое на первый взгляд не имеет корней: x квадрат плюс 1 равно 0. Но теперь, в 10 серии, мы научились решать подобные задачи алгебраически. Вычитаем единицу из обеих частей уравнения, извлекаем из них квадратный корень, получаем 2 ответа: плюс и минус мнимую единицу. Отлично, но как из этого получается вот такой график?

Что ж, пора познакомиться с функциями комплексных переменных. Большинство из вас, думаю, знакомы с функциями вещественных чисел. Это те, в которых аргументы функции, то есть x, и значения функции, то есть y, выражаются вещественными числами. Это значит, оба лежат на обычной числовой прямой.

Чтобы нагляднее показать зависимые значения от аргумента, будет удобно расположить прямую для x, например, горизонтально, а прямую для y – вертикально, совместив их 0. И вот у нас получилось так называемая декартова система координат. Считается, что в 16 веке и придумал Рене Декарт, наблюдая за ползающими мухами.

Получившаяся система отлично показывает взаимосвязь между двумя переменными. Мы можем взять какую-нибудь странную абстрактную форму и представить её в наглядной и понятной графической форме в виде графика. Придумав, как задавать точкам координаты, Декарт связал вместе две крупнейших на тот момент области математики — алгебру и геометрию. Современником Ньютона это помогло классифицировать функции, и даже новейшие проблемы не редко решаются этим довольно старым инструментом, например, выявление закономерностей в наборе данных.

И все бы здорово, но есть у картовых координат некоторые ограничения. Они работают только в двух измерениях, а это очень существенный недостаток. Если нам нужны функции комплексных чисел, в них аргумент – это комплексное число, и значение функции, как правило, тоже. Такие значения x и y уже нельзя отложить на одномерной числовой прямой; нам нужны двумерные комплексные плоскости.

Для аргумента и для значения функции возникает вопрос: как нам показать зависимость y от x? Если для каждого числа вам понадобятся два измерения, как показать две плоскости одновременно? Первое, что приходит в голову, сделать что-то вроде декартовых координат, только оси расположить похитрее, и вот тут мы сталкиваемся с проблемой. Возможно, вы замечали, что в нашей вселенной всего три пространственных измерения, а для задачи нужно 4.

Построить четырехмерную структуру в трехмерном пространстве никак не получится. [Музыка] Но знаете, оказывается, можно решить эту задачу и по-другому. Для этого математикам понадобилось получше изучить комплексные функции. Пусть первая идея оказалась и не такой удачной, это не повод полностью отказываться от двух отдельных плоскостей.

Снова вернемся к исходной функции f от x равно x квадрат плюс 1. В дальнейшем нам будет проще, если мы её немного переделаем. Обозначим аргумент не как x, а как z, а y — значение функции w. Мы знаем, что у z и у w есть вещественные и мнимые части. Давайте их тоже как-нибудь обозначим. Пусть z равно x плюс iy (x вещественная часть, а y – мнимая), w равно u плюс iv.

Мы уже пользовались табличкой, чтобы записывать аргументы и значения функции. Правда, тогда у нас были функции с вещественными переменными, сейчас же нам понадобится таблица побольше. В ней будут переменные x, y, u и v. Что же мы теперь можем сделать? Функции f от z равно z квадрат плюс 1 можно поставить функцию комплексного числа.

Скажем, z равно 1 плюс i. И с помощью алгебры посчитать, что w будет равно 1 плюс 2i. И отметим полученные точки на соответствующих плоскостях. Смотрите, 1 плюс i на плоскость z стало 1 плюс 2i на плоскости w. Возьмем побольше точек и поищем закономерности. Оказывается, если мы нарисуем из точек линию, то на второй плоскости она превращается в дугу.

Любопытно, но подставлять точки вот так по одной довольно утомительно. Так что пусть вместо нас расчетами займется компьютер. И раз он такой быстрый, пусть прочитает смещение вообще всех точек. Для компьютера изображение на экране монитора — это по сути куча пикселей на координатной сетке, а видео — эта последовательность изображений.

У меня есть немного кода на python, который перенесет каждый пиксель исходного видео в заданную формулу и положения. То есть она сначала задаст каждому пикселю координаты в виде комплексного числа на комплексной плоскости, а затем подставит это число функции z квадрат плюс 1 в качестве аргумента z и принесет на плоскость w. Программа автоматизирует то, что мы делали вручную.

Если у нас на входе был синий пиксель в точке 1 плюс i, то функция переместит его в точку 1 плюс 2i. На выходе, ведь как мы знаем, при аргументе один плюс i функция равна 1 плюс 2i. Будет любопытно взглянуть, что получится в итоге. Если простую линию так изогнула, что же случится с целым видео? Я добавлю кое-какие отметки, чтобы было проще ориентироваться в пространстве, но цвет пикселей трогать не буду.

Все готовы? Начнем с чего-нибудь попроще. Горизонтальная стрелка вдоль оси x на входе практически не отличается от стрелки на выходе. Теперь пройдем в положительном направлении мнимой оси. На выходе стрелка смотрит в другую сторону. Добавим еще линии, чтобы найти закономерности. Смотрите, семейства прямых линий превращается в семейство кривых. Круто, да? Однако закономерность есть.

Но как она связана с функцией z квадрат плюс 1? А главное, как это все расширяет наше понимание комплексных чисел? И чего бы еще такого интересного и познавательного нам нарисовать? Может, у вас есть идеи? В следующий раз обязательно попробуем что-нибудь новое. До скорого!

Ну что, придумали какое-нибудь интересное изображение, которое помогло бы нам лучше понять функцию f от z равно z квадрат плюс 1? Смотрите, у нас есть z в квадрате, то есть комплексное число z умножается на себя. Значит, поведение функции как-то связано с комплексным умножением.

Этой теме была посвящена 7 серия. Напомню: подобное умножение можно представить с помощью векторов на комплексной плоскости при умножении комплексных чисел. Их модули перемножаются, а углы складываются. То есть вот эта часть функции z квадрат возводит в квадрат длину вектора, а его угол удваивает. С той частью функции, где мы прибавляем единицу, все проще. Добавление вещественного числа просто сдвинет график функции в соответствующем направлении.

В данном случае на 1 вправо. Поскольку сдвиг не меняет общий вид функции, для удобства им можно пренебречь. Давайте проверим гипотезу, что наша функция удваивает угол входящего значения. Чего бы нам такого нарисовать для наглядности? Нам нужно изображение, все точки которого находятся под одинаковым углом к оси, чтобы можно было сказать наверняка, что они меняются одинаково.

Какой объект в полярной системе координат подходит под описание? Да любая прямая, проходящая через ноль. Нарисуем такую линию. После преобразования у нас получилась, в принципе, то же самое, но с удвоенным углом. Добавим еще пару линий, чтобы всё перепроверить. Как видите, угол и правда удваивается после преобразования.

А что происходит с модулем? Как помните, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются. В нашем случае модуль, то есть расстояние от нуля до точки, возводится в квадрат. При преобразовании, чтобы нам нарисовать, чтобы это проверить, нас интересует именно расстояние, поэтому нам нужен объект, все точки которого имеют одинаковый модуль.

Если такая фигура, у которой все точки равноудалены от центра, есть, эта фигура называется круг. Нам понадобится несколько окружностей, но рисовать мы их будем по частям. Как видите, единственное отличие на выходе — расстояние до нуля. Как и ожидалось, форма сохраняется, изменяется лишь радиус. Кажется, путем грамотного подбора входных данных мы смогли понять, что именно делает наша функция с комплексными числами.

Отлично, но есть еще над чем подумать. Рано радоваться. Во-первых, мы разобрались только с очень простой функцией. Во-вторых, даже эта простая функция способна вырваться за пределы двух комплексных плоскостей. Смотрите, мы знаем, что наша функция на выходе удваивает угол.

Что же будет, если мы решим до рисовать фигуры на оригинальном изображении? Я не просто так не стал рисовать круги целиком. Как только мы доходим до 180 градусов, возникает проблема. Мы использовали только половину пространства на плоскости z и w, а места уже не осталось.

Поэтому если мы продолжим двигаться по окружности, новым точкам ничего не останется, кроме как забраться поверх старых. Все согласуется с алгебраическим возведением в степень, ведь квадрат 1 плюс i равен квадрату -1 минус i, то есть оба дают 2, и следовательно, проблема не в функции, а в том, что наш подход к визуализации не позволяет адекватно сопоставить две разных точки на входе с одной точкой на выходе.

Ведь как решить, какой пиксель показывать: отсюда или отсюда? Это лишь полбеды. Настоящие проблемы начинаются, когда нам нужно сделать обратное преобразование. Если взять какую-то функцию и поменять местами аргументы и значения, мы получим обратную функцию.

Нетрудно догадаться, как будет выглядеть функция, обратная нашей. Выразим из исходного уравнения z. Здесь возникает проблема: обратная функция должна отменить те преобразования, которые сделала исходная. У нас два числа на входе превращались в одно на выходе, теперь все наоборот — одно число должно стать двумя.

Если w равно 2, то z может быть 1 плюс i и может быть -1 минус i. Это неправильно. Строго говоря, в такой ситуации мы не имеем права называть обратную функцию собственно функцией, ведь определение функции гласит, что каждому элементу первого множества соответствует один и только один элемент второго множества.

Поэтому, видимо, не особо долго думая, ввели новый термин – многозначная функция. В остальном всё пока по-прежнему. Просто запомните, что когда мы получаем w и z — это функция, а когда наоборот — многозначная функция и это другое. На практике всё работает как-то так: одна фигура на плоскости w превращается в две на плоскости z, при этом меньшего размера.

Дублирование происходит из-за того, что каждой точке на плоскости w соответствуют две точки назад, а изменение масштабов происходит потому, что из модуля каждой оригинальной точки извлекается корень, а угол делится на 2. Давайте нарисуем еще что-нибудь: пусть это будет произвольная замкнутая кривая линия на плоскости w.

Сравнив повнимательнее графики на плоскостях w и z, мы получим некоторое представление о том, как себя ведет наша комплексная, не совсем функция в четырехмерном пространстве. Вот кривая возвращается в ту же точку, из которой выходило. На обеих плоскостях вполне предсказуемо.

А теперь, смотрите, что будет, если кривую немного изменить. На w мы вернулись в ту же точку, из которой начали, а назад — нет. Мы вообще не в ту часть графика попали. Каким-то образом мы пришли в другую половину многозначной функции. То есть преобразование одних замкнутых кривых возвращает нас в начало пути, а других нет.

Но как такое возможно? Почему такие похожие замкнутые кривые так принципиально отличаются друг от друга после преобразования? К счастью, как это часто бывает в математике, когда сталкиваешься с казалось бы неразрешимой проблемой, кто-то гораздо более умный уже во всем разобрался и всё решил. В данном случае это был ученик Гаусса — Бернхард Риман. Его работу разберем в следующем видео.

[Музыка]

Если вы всё еще с нами, то вот небольшой бонус. Смотрите, как еще можно визуализировать функцию комплексных переменных. Это называется раскраской области определения. Кстати, довольно новая идея. Проследив за перераспределением цветов, можно получить очень много полезной информации о поведении комплексной функции. Например, здесь видно, что из-за квадратного корня изображения на плоскости w после преобразования разделяются на две копии.

Как можно заметить, на плоскости z мы встречаем каждый цвет дважды. В интернете есть много информации об этом методе, да и просто классных картинок хватает. Начать поиски можно со статьи в Википедии. Ну вот, теперь точно конец. До скорых встреч.

В прошлый раз у нас возник вопрос: почему такие похожие кривые на плоскости w так сильно отличаются друг от друга после преобразования? В середине 19 века Бернхард Риман, ученик Гаусса, занялся этой проблемой. Для начала Риман предположил, что двух комплексных плоскостей недостаточно для визуализации нашей функции, ведь каждой точке на плоскости w соответствуют две точки на плоскости z.

Мы сможем избежать путаницы, если введем еще одну плоскость w. Теперь у каждой проблемной точки на плоскости z есть своя собственная плоскость w, куда можно записать результаты преобразования. Хорошо, но тут же возникает вопрос, как определить правильную плоскость w для той или иной точки с плоскости z? Решение нашлось быстро.

Можно поделить плоскость z пополам. Теперь её правую половину преобразуем на плоскость w1, а левую – на плоскость w2. Такие урезанные версии многозначной функции называют ветвями. Вернемся к нашим кривым многозначной функции. Рисовать будем на плоскости w1. Все идет нормально, пока не приходится пересечь вещественную ось. Ровно в этот момент на плоскости z происходит скачок.

Это, так сказать, вынужденная мера, ведь по нашим условиям все точки на w преобразуются только на правую половину плоскости z. Почти любое значение w дает два решения на плоскости z. Мы изучаем ту ветвь, которая находится справа. Поэтому на плоскость из этой произошел такой скачок. Вот только вряд ли это нам поможет понять, почему в прошлый раз почти одинаковые кривые замыкались по-разному.

Теперь, какой бы контур я ни нарисовал, мой фломастер возвращается в ту же точку, с которой начинал. На обеих плоскостях, как будто это единственный допустимый вариант поведения функции. Но всё не так однозначно. Этот разрыв на плоскости z говорит нам о том, что ветви функции разрывные, а математики такое не любят.

Функции комплексных переменных — это важная часть современной математики. А если функция ведет себя так безобразно, то её нельзя ни интегрировать, ни взять её производную. Поделив многозначную функцию на ветви, мы смогли сделать такой график, в котором каждой точке на входе соответствует 1 на выходе. Вот только решив одну проблему, мы столкнулись со второй. Неужели это всё, чего добился Риман? Нет. Он приступил к решению второй проблемы.

Давайте повнимательнее изучим этот разрыв. Отложим в сторону обратную функцию и вернемся к исходной. Снова рисуем на плоскости z и смотрим, что получается. Нам нужно найти, где именно происходит разрыв, чтобы отследить нужные точки. Начертим замкнутую кривую, которая будет постоянно менять свой цвет при переходе из первого во второй квадрант плоскости.

Мы перепрыгиваем с одной ветви многозначной функции на другую, а при переходе из 3 квадрантов в 4 — прыгаем обратно. Чтобы наш путь оказался непрерывным, нам надо каким-то образом соединить обе плоскости w в точках разрыва. Риман придумал, как объединить две комплексные плоскости таким образом, чтобы каждой точке на входе соответствовала 1 на выходе, и чтобы при этом график многозначной функции был непрерывным.

Ножницы и скотч помогут нам решить эту задачу, но уже в следующий раз. [Музыка] Перед вами поверхность Римана — наше окно в четвертое измерение. По сути, мы разрезали плоскости в местах разрыва функции, склеили их таким образом, чтобы график не обрывался. Теперь он непрерывен и переходит с одной плоскости на другую.

Риман предположил, что обычная двумерная плоскость не может быть областью определения аргумента нашей многозначной функции. Областью определения должна быть искривленная поверхность, существующая в многомерном пространстве. Геометрия поверхности Римана позволяет продвинуться дальше в решение нашей задачи. Если мы будем откладывать аргумент многозначной функции на поверхности Римана, то все проблемы из прошлой серии исчезнут сами собой.

Функция окажется непрерывной, каждой точке на входе будет соответствовать только одна точка на выходе, а странное поведение кривых обретет смысл. Сейчас всё объясню. Риман представлял себе поверхность, которая будто лежит непосредственно над плоскостью w.

Сама поверхность состоит из двух копий комплексной плоскости. Суть в том, что аргумент функции на плоскости w и соответствующий ему точки на поверхности Римана оказываются одна под другой. Проведя линию строго вверх из точки на плоскости w, например, из 2, мы найдем нужные нам точки на комплексных плоскостях. Если помните, в прошлой серии нам пришлось разводить значение функции, которые мы откладывали на w.

Поверхность Римана делает то же самое для многозначной функции. Когда значение w — это аргумент, мы разносим их на разные ветви. В принципе, можно воспользоваться и двумя плоскостями w, но этот метод лучше, ведь теперь график многозначной функции остается неразрывным.

В прошлом видео мы как раз увидели, что если откладывать аргумент на w1 и w2, то может возникнуть разрыв функции, а поверхность Римана позволяет цветной линии идти непрерывно. Правда, теперь у нас график пересекает сам себя, так что здесь еще есть что обсудить.

Сейчас я попробую объяснить, почему использование поверхности Римана в качестве области определения делает жизнь проще и почему откладывать аргументы для многозначной функции лучше именно на ней, а не на плоскости w. Правда, рисовать от руки на трехмерных поверхностях несколько неудобно.

К счастью, спустя век после смерти Римана у нас появились компьютеры. Для начала цифруем нашу чудесную модель. Внизу у нас будет лежать плоскость w, а прямо над ней—поверхность Римана. Но пока мы тут все не нарисовали, давайте быстро вспомним, что мы сейчас вообще ищем и зачем.

Мы ищем комплексную функцию w равно z квадрат, а также обратную ей функцию z равно плюс или минус квадратный корень из w. Отношения между w и z тоже разные, в том, что мы знаем, а что ищем. Проблема заключается в том, что для визуализации понадобится четыре измерения, так как и w, и z состоят из вещественной и мнимой частей. В 10 серии мы называли их x, y, u и v.

Перед нами визуализация поверхности Римана, двухмерная поверхность в трехмерном пространстве. Мы разместили её над плоскостью w таким образом, чтобы двум из трех измерений соответствовали вещественная и мнимая ось, и плоскости w. Именно их мы обозначили как u и v. Прямо над этой плоскостью, чтобы показать третью часть, мы поместим координаты z.

Теперь, в нашей визуализации, каждая точка поверхности Римана живет в трехмерном пространстве. Её положение определяется значениями переменных u, v и x. Теперь каждая точка на этой поверхности отображает одно из решений нашего уравнения. 3 из 4 чисел, определяющих решения, выражены через координаты точки в трёхмерном пространстве. Неплохой результат!

Но пока что картина у нас не полная. На этой визуализации не хватает мнимой части z, которую мы назвали y. А без y обойтись не можем, ведь в противном случае у нас опять возникнет проблема с непрерывностью функции. Если мы начнем изучать одну из ветвей многозначной функции, дойдя до точки самого пересечения поверхности, мы не будем знать, куда именно нам дальше идти: вверх или вниз? Чтобы это понять, нужно выяснить, почему поверхность пересекает себя и как такое вообще возможно.

Пересечение проходит вдоль оси отрицательных вещественных чисел на плоскости w. Рассмотрим точку на этой оси, скажем, w равно -1. Подставим это число и посчитаем z. Получим два решения: плюс и минус i. Это разные числа, но на графике они выглядят одинаково, поскольку вещественной частью обоих равна нулю. Нам просто-напросто не видно, что это разные точки, поскольку в визуализации присутствует только вещественная часть z.

Перед вами типичная проблема визуализации многомерных математических концепций. Мы видим только проекцию. Грубо говоря, это такая тень от настоящей четырехмерной поверхности. На самом деле никакого сама пересечения нет. Всё точь-в-точь, как с двумерными тенями от трехмерных объектов. Объекты не пересекаются, но нам кажется иначе. Такое же искажение возникает, когда мы пытаемся визуализировать многомерный объект в 3D пространстве. Но это не значит, что четвертое измерение так и останется для нас загадкой. И к нему есть свои подходы.

Например, можно выразить его в иной форме, понятной человеческому восприятию, с помощью цвета. Раскрасим каждую точку поверхности так, чтобы её цвет отображал значение, скрытые от нас переменной, в данном случае — значение по y. Надо только договориться, какому числу соответствует какой цвет, то есть задать цветовую шкалу. Раскрасив поверхность, мы получаем представление о загадочном четвертом измерении y.

Как видите, на проблемном участке поверхности пересекаются совершенно разные цвета. Следовательно, на самом деле наша четырехмерная функция себя не пересекает. Иллюзия пересечения — всего лишь дефект методов визуализации. Отсюда следует, что если мы встречаем подобные пересечения на поверхности Римана, то мы имеем полное право их игнорировать.

Проследив за графиком на поверхности Римана, мы видим, что он абсолютно непрерывен. Несмотря на это, чудное пересечение, с непрерывностью, разобрались. Но вопросы еще остались. Помните, в одиннадцатом видео мы рисовали и преобразовывали кривые? Тогда маркер то возвращался в начало рисунка, то убегал на другую половину. Давайте я напомню, как все выглядело на плоскостях w и z.

А теперь давайте посмотрим, что будет, если провести такое же преобразование на поверхности Римана. Чтобы избежать путаницы, будем рисовать кривые по очереди, одну за другой. Всё готово. Я нарисую те же линии на плоскости w, а выследите, как они выглядят на поверхности Римана и преобразуются на плоскости z. [Музыка]

Так, почему же зеленая линия не вернулась в ту точку, из которой начала на плоскости z? Потому что зеленая линия ушла на другой лист поверхности Римана. Если мы посмотрим на плоскость w сверху, то кажется, что она вернулась в начало, но это не так. На плоскости w мы видим только проекцию. Тень от линии. В реальности линия ушла в другую ветвь функции.

Напомню, что для каждого значения w существуют два решения z. Поэтому в одиннадцатом видео наша кривая превращалась в 2 на поверхности Римана. На второе решение — зеркальная копия первого. Из наших примеров видно, что некоторые линии из плоскости w в результате преобразований уходят в другую ветвь, а некоторые — нет. Причем в другую ветвь ходят те линии, которые прошли рядом с центром поверхности Римана. Такие места называют точками ветвления.

Эти точки возникают, когда функции принимают одно и то же значение в двух разных ветвях. Они дают массу информации о поведении комплексной функции. В данном случае такая точка находится в 0. Поверхность Римана не только решила ряд описанных выше проблем, но и объяснила странное поведение замкнутых кривых. И это только начало.

В современной математике применению поверхности Римана масса, но у нас сейчас нет времени обсуждать их все. Давайте лучше наконец разберемся, что же это такое! На протяжении 13 серии мы искали нули функции f от z равно z квадрат плюс 1. За это время мы пришли к визуализации функции с помощью поверхности Римана, где трем из четырех переменных соответствуют координаты в трехмерном пространстве.

Мы начинали со знакомого из школьной программы двумерного графика, но он показывает только вещественные части переменных z и w. Мы добавили еще одно измерение и представили на ней мнимую часть z. В нашу визуализацию добавилось высота, и мы получили вот такую поверхность. После того видео у многих возникали правильные вопросы. Если согласно основной теореме алгебры функция должна иметь ровно два корня, то почему точек пересечения нуля плоскости и исследуемой поверхности значительно больше?

Подобная двусмысленность вызвана упомянутыми ранее недостатками нашего восприятия, привыкшего к трехмерному пространству. Не забывайте: всякий раз, когда мы визуализируем четырёхмерный объект в трехмерном пространстве, нашему взору предстаёт лишь проекция этого объекта, а не его истинная форма. Мы видим только тень. Рассмотрим поверхность повнимательнее.

В первом видео половина поверхности была скрыта листом бумаги. Цвета выбраны так, чтобы условно отразить изменения высоты поверхности. Теперь, когда мы узнали кое-что о функциях комплексных переменных, имеет смысл раскрасить поверхность по-другому. Пусть цвет соответствует значению переменной, в которой не хватило места в наших трёх измерениях.

Теперь мы видим, как ведут себя все переменные. Осталось найти предсказанные Гауссом корни. Нам нужны такие точки, в которых значение функции равно нулю. То есть нулю должны равняться координаты u и v, которые являются вещественной и мнимой частями переменной w.

Координата v будет равна нулю там, где поверхность пересекает плоскость z. Судя по цветовой шкале, мнимая часть переменной w, обозначенная буквой v, равна нулю там, где поверхность окрашена в зеленый. Правда, у нас тут много разных оттенков зеленого. Поэтому давайте для удобства проведем синюю линию там, где находится непосредственно 0.

Теперь на графике видно, что точек, где нулю равны вещественная и мнимая составляющие w, пересекающей комплексную плоскость z, ровно 2: плюс и минус i. Как и было предсказано в теореме. Наконец-то мы узнали, где были эти корни. Старина Гаусс не ошибся. Всё как он и говорил: корни у функции есть, и их ровно 2.

Поиск этих корней обернулся длинным путешествием в дебри математики. Пришлось задуматься о природе чисел и о том, зачем они нужны. Оказалось, что для алгебры гораздо лучше подходят двумерные комплексные числа. Но мы пошли дальше и добрались до четырехмерного мира Риманских поверхностей. Увиденное позволило взглянуть на школьную алгебру как на бледную тень гармоничной, могущественной многомерной математики.

Невозможно без чисел, по глупому недоразумению названных мнимыми. Спасибо за внимание! Переведено и озвучено студией Art Dайдар.