Круги Эйлера в реальной жизни. Математика на QWERTY
Всем привет! Рад видеть вас на научно-популярном канале QWERTY. С вами вновь Математика. И сегодня будем говорить о кругах Эйлера.
Прежде чем о них заговорим, расскажу вам такую историю. Недавно в очередной раз я детям дал такой пестик, в котором, в частности, было задание: чего больше в природе, кошек или животных? Дети были возраста где-то от 6 до 9 лет, и надо сказать, что почти половина ответила, что больше. Боже, звучит довольно забавно! Но и на более старшей аудитории мы проводили тоже недавно тестирование. Спрашивали у учеников средней школы: чего больше, квадратов или прямоугольников? И массово дети отвечали: квадрат. И потому что действительно, вот куда посмотришь, в основном квадратное всё вокруг.
Правильный ответ, что нет, больше животных и больше прямоугольников. А разобраться в этом помогает наглядность, в частности, круги. И сразу отметим, что есть несколько разных понятий. Иногда круги Эйлера называют также диаграммы Эйлера-Венна. Формально это понятия разные, но в то же время я и то и другое буду сегодня называть кругами Эйлера для удобства.
В чем же помогают круги Эйлера? К чему они нужны? Так давайте просто нарисуем. Кость кружочка — множество всех животных. Теперь множество кошек. Оно может быть где-либо снаружи, если эти два множества общие, пересекаются, либо занимать множество животных, если они пересекаются, либо быть внутри, если кошки содержатся внутри животных. В нашем случае, конечно, он должен быть внутри, потому что каждая кошка — это животное. И тогда, глядя на эту картинку, сразу очевидно, что больше всего, естественно, животных, а не кошек.
Потому что, кроме кошки, бывают и другие животные, а каждая кошка также и животное. Всё то же самое, разумеется, работает и про квадраты и прямоугольники. Так как каждый квадрат является прямоугольником, то множество квадратов, кружочек, обозначающий квадраты, извиняется за странность, содержится в кружочке, обозначающим все прямоугольники. Значит, конечно, прямоугольников будет больше.
Иногда возникает совсем уж парадоксальная, казалось бы, ситуация: представьте себе, что в компании собралось 30 человек, и из них 18 уважают Путина, 15 уважают Лукашенко. И тут возникает вопрос: а как такое вообще может быть? Ведь 18 и 15 — это вместе уже больше тридцати.
На самом деле, это вполне возможно опять же, если всё нарисовать. Ведь те, кто уважает Путина, и те, кто уважает Лукашенко, вполне могут пересекаться. Сколько я слышал, так часто бывает. Один, в принципе, может содержаться в другом. Я уже не знаю, всегда ли тот, кто топит за Лукашенко, уважает и Путина, но мы пока нарисуем так формально. Вот эта вот внешняя часть у круга Лукашенко может быть нулевой.
Значит, что нам известно? У нас здесь, что в одном кусочке 18, в другом 15, а всего 30. Но это значит, что на самом деле в пересечении должно быть как минимум три человека. Да, потому что, кроме тех 18, который за Путина, в оставшемся кусочке для Лукашенко должно быть не более 12 человек. Я подчеркиваю — не более, потому что, в принципе, в пересечении может быть и четыре человека, и пять, и шесть, и, даже как мы поняли, все 15.
Соответственно, круги Эйлера опять же помогают нам понять здесь, что противоречия никакого нет. С помощью них можно решить и обратную задачу. Представьте себе, да, что у нас, опять же, есть компания, в которой, ну скажем, 20 человек любит Путина, 15 любит Лукашенко, а пятеро любят и того и другого. И при этом людей, которые не любят ни Путина, ни Лукашенко, в этот раз не пришли, или, по крайней мере, избиркомы не посчитали, сколько всего человек собралось.
С одной стороны, можно посчитать. Так вот, если у нас есть 20 человек за Путина и пятеро, которые любят и того, и другого, то тогда только за Путина, но против Лукашенко у нас 20 минус 5 — 15. Здесь кусочек 15 и еще 15, который за Лукашенко. И того, в сумме, 30. Значит, всего собралось 30 человек.
Можно было посчитать и по-другому. Смотрите, вот у нас есть кусочек: 20 за Путина и 15 за Лукашенко. В сумме 35, но тех, которые по серединке, мы посчитали дважды. Значит, их надо вычесть. Итого получается 20 плюс 15 минус 5, то есть 30. Если бы у нас ещё были люди вне, т.е. которые не за одного, не за другого, их бы тоже мы добавили, чтобы посчитать общее количество.
Разберём ещё такой пример. Допустим, у нас есть 200 сотрудников некоторой фирмы, и их спросили две вещи каждого: во-первых, собираются ли они делать прививку от коронавируса (мне, как учителю, это, кстати, очень актуальные вопросы) и потом, боятся ли они делать эту прививку? Как вы понимаете, можно собираться и при этом бояться, можно не собираться и тоже бояться, и так далее. Возможно все четыре комбинации.
Вот нам известно, что из этих 200 человек 150 сказали, что собираются делать, 60 сказали, что боятся делать, а 20 собираются делать, но при этом боятся. Вот вопрос: сколько людей не боится и при этом не собирается делать прививку?
На эти, опять же, нарисую. Вот у нас кружочек тех, кто собирается делать прививку. Мы знаем, что всего их 150. Кроме того, у нас есть 60 человек — второй кружочек, который боится делать. Эти два кружка пересекаются, и в серединке как раз те, кто собирается делать, хотя и боится. Значит, их у нас 20. Опять же, если бы их не было, получилось бы что-то странное: 150 плюс 60 — уже 210. Но в данном случае мы уже знаем, что, чтобы посчитать людей вот в этом объединении, мы должны не просто сложить 150 и 60, а еще вычесть вот эту серединку, которую мы посчитали дважды.
Мы и посчитали за тех, кто собирается, и за тех, кто боится. Значит, всего людей, которые собираются делать прививку или боятся, либо нет, либо боятся, но возможно не делают прививку, их будет 150 плюс 60 минус 20, то есть 190. Значит, вот то, что осталось, те люди, которые не представлены в наших кружочках — это те, кто, с одной стороны, не собираются, а с другой стороны, не боятся. Как раз уж нам нужно это: 200 минус 190, то есть десять человек.
На всякий случай мы здесь уже второй раз воспользовались следующей формулой, когда мы хотели найти количество людей в объединении двух множеств: n от объединить бы мы брали количество людей в первом множестве, n от а, прибавили количество людей во втором множестве, n от b, и вычли количество людей в пересечении, n от а пересечь b. Кстати, подобные истории, подобная формула работает и для трех множеств.
Мне лень рисовать три кружочка. Все возможные пересечения выглядят это примерно так. Вот у вас три кружочка: а, b и c. У них есть попарные пересечения, есть пересечения всех трех. Тогда количество элементов вот во всем объединении и будет n от а плюс b плюс n минус попарные n от а пересечь b, n от а пересечь c. 2 перечисляться.
Но теперь получается, что вот этот средний кусочек, мы его исходно посчитали три раза, ну и выкинули его в 3 и 1 часть его не осталось, поэтому его надо добавить. Итак, в конце дописываем плюс n от а пересечь b пересечь c и получаем окончательный ответ.
Отдельный вопрос: где и как применяются круги Эйлера на практике? На самом деле, это очень востребованная тема для маркетинга, для маркетологов. Потому что, если вы проводите какой-то опрос в некой целевой аудитории, задаете несколько вопросов, и вам нужно скомбинировать эти ответы, скажем, мужчин, которые дали ответ «да» на такой-то вопрос, или женщин, которые ответили «нет» — это как раз и есть пересечении этих самых кругов.
Или другой случай: если, например, в поисковике вы составляете некий запрос, вам хочется, чтобы присутствовало и слово «собака», и слово «корм». Тот вопрос, как количество страниц, который вам выдастся, связано с количеством страниц, в которых есть только слова «собака» и количеством страниц, у которых есть только слова «корм». На самом деле, это тоже задача про те же самые круги.
И вот сегодня мы с вами поговорили о кругах Эйлера и диаграммах Эйлера-Венна, выяснили, как эти круги помогают при решении некоторых практических задач. И вообще с их помощью становится немножко понятнее. Надеюсь, что вам это помогло. Не забывайте подписываться на наш канал, чтобы не пропускать следующие классные ролики. Пока-пока!
[Музыка] Вступай. [Музыка]