Парадокс дней рождения и магия чисел
[музыка] Всем привет! Как вы думаете, сколько должно быть людей в компании, чтобы среди них, ну, с какой нибудь весьма не маленькой вероятностью, оказались двое, родившихся в один день? Ну, скажем, хотя бы средства 50 процентов? Догадываюсь, что, наверное, многие из вас сказали бы что-то вроде 183. Надо просто год разделить пополам. Это вполне себе логичный ответ. Некоторые дадут ответ чуть меньше, некоторые чуть больше. Но прежде чем я дам правильный ответ, я вам расскажу историю, которая случилась со мной буквально позавчера.
Заполняя журнал, я все-таки работаю в школе, и вдруг обратил внимание, что у меня двое учеников родились в один и тот же день. Я сейчас сразу говорю, родились в один день. Я не учитываю год рождения, да, то есть только день и месяц, допустим, там 5 мая. Смотрю, ну забавно, да, совпало. Так, а еще, думаю, интересно. Потом рассказал об этом совпадении своей коллеги. Она говорит: "Слушай, у меня в классе есть люди, которые родились в один день, а у нас в классе всего по 30 человек."
Думаю, вот слышно, как быстро по совпадениям, да? Хорошо, спросили еще у нескольких из десяти опрошенных – из шести журналах были совпадения по дням рождения. Ну тут уж извините, на все это посмотрел и сказал: "Совпадение? Не думаю." Надо все-таки разобраться математически. Если мы захотим решить задачу о совпадении каких-то дней рождения, то гораздо проще решать обратную задачу. То есть сначала давайте попробуем посчитать вероятность того, что все в компании родились в разные дни, а дальше, ну соответствующе из единицы, если мы говорим про десятичную дробь, или из 100 процентов, если мы играем про процент, и вычтем эту вероятность – это что осталось и будет ответом на наш вопрос: какова вероятность того, что там совпадут дни рождения кого-то?
Как же посчитать? На самом деле, для этого нам нужно воспользоваться стандартной формой о вероятности пересечения некоторых событий. То есть вероятность того, что события случились одновременно. На самом деле, форму это очень просто: если два события независимы, то есть происходят независимо друг от друга, то вероятность того, что они произошли оба, равна произведению вероятности каждого события. То есть, допустим, если я два раза подбрасываю монетку, ну, будем считать, что вероятность того, что упадет орлом, это 0,5, 50 процентов, 0,0, 50. Тогда какова вероятность, что дважды упадет орлом? Ну, видимо, 0,5 умножить на 0,5, то есть 0,25.
Почему я могу перемножать? А потому что в эти броски для меня абсолютно независимые. То есть результат второго подброса не зависит от результата первого. Нет, многие, конечно, могут сейчас возразить, что, да, у меня уже рука за один бросок набилась, что я бросаю так же. Но если предположить все-таки, что нормальные монетки, что это совершенно случайный образом, я подбрасываю, можно считать, что события независимы. Или, допустим, если я скажу, какова вероятность того, что я, например, сегодня, когда пойду домой, встречу симпатичную девушку на улице, а в это же время мне позвонит моя жена? Да, стоит самой вероятности, по идее, можно перемножить, если, конечно, вы считаете, что эти события независимы. Хотя, может быть, где-то на небесах видят и говорят: "И что, надо набрать или нами."
Но вернемся все-таки к нашей задаче. Допустим, мы взяли одного человека. Вот он родился в какой-то день, мне без разницы, в какой. Какова вероятность того, что следующий человек родится не в этом дне? Ну так, смотрите, у него из 366 возможных дней осталось 365 возможностей, потому что один уже занят. Значит, вероятность, что он родится в другой день, будет 365 на 366. Для третьего человека остается 364 возможности. Опять же, да, мы делим количество благоприятных для нас исходов, когда этот день не совпадает, на общее количество исходов, то есть всего вариантов родиться 366, ну и так далее.
И все это мы перемножаем, потому что я все-таки допускаю, что если мы собираем некую компанию, а класс, можно считать случайной компанией, то и дни рождения распределяются случайным образом. Поэтому вероятности можно перемножать. И давайте просто посмотрим по табличке, какие же результаты у нас будут получаться и на каком шаге. Оказывается, для десяти человек вероятность, которую мы посчитаем, будет равна примерно 0,88, то есть вероятность 88 процентов. 10 человек родятся в разные, но, значит, сварятся, что 12 процентов среди них уже найдутся люди, родившиеся в один день. Довольно забавно, не так?
Хорош, и маленькая вероятность, когда мы возьмем компанию из двадцати человек. Вы удивитесь, но мы получаем 0,59. Но значит, 41 процент на то, что у кого-то дни рождения совпадают. Уже, между прочим, почти 50 процентов. Существенно. Когда же мы дойдем до числа 23, то собирается примерно 50 процентов, там не будет людей, родившихся в один день. Ну, а 150 процентов, соответственно, будут. Не путайте это, пожалуйста, со старым анекдотом про динозавров. Да, какова вероятность того, что я встречу динозавров на Невском? Все от процентов до... Или встречу, или не встречу. В данном случае мы не сильно посчитали все по-честному.
И выяснили окончательный ответ на мою исходную задачу, что если изначально людей было 23, то собирается 50 процентов. То есть столь же вероятно, даже чуть-чуть, может быть, больше людей, которые родились в один день, там можно будет найти. Представляете, какое дело? А, соответственно, если я возьму 30 человек, как было у меня в классе, вы удивитесь, можно найти людей, родившихся в один день, сразу 70 процентов. То есть то, что я тогда назвал совпадением, на самом деле ни разу не совпадение. Действительно, чаще я в журнале должен был находить людей, родившихся в один день, чем не должен был. Встать, какая магия. Чаще всего там будут находиться люди, родившиеся в один день.
Если вы возьмете 50 человек, то, вроде как, немного по меркам года, вероятность того, что там совпадут дни рождения у кого-то, будет уже 97 процентов. А если вы возьмете 100 человек, это будет 99,999. Короче, ну почти 100. Понять, что 100 достигнется только, когда мы возьмем 367 человек. Потому что если их будет меньше, то существует вероятность того, что они все-таки будут рождены все в разные. А вот для 367, ну сами понимаете, разных 367 дней у нас в году нет. Поэтому 100 процентов будет, но почти 100 процентов достигается гораздо раньше. Не иначе как реально магия.
Потому что вот я спрашивал у учителей математики: "Как вы считаете, идеологически, да, вот примерно прикиньте, сколько нужно людей, чтобы вот связь 50 процентов, у кого-то дни рождения совпали?" Многие говорят, что то в районе 180. То есть мозг с точки зрения интуиции, да, здесь нас немножко обманывает. На самом деле, если математически все посчитать, это работает для компании вот буквально из двадцати трех человек. Кстати, очень рекомендую вам попробовать проверить, наконец, в своей компании, если вы видите компанию, там 23, 25, 30 человек, попробуйте посмотреть, нет ли там случайно людей с одинаковым днем рождения.
Обратите внимание на такую тонкость, что давайте отличать у каких-то двух совпадут дни рождения и, например, у кого-то совпадет лично с вами. Это все-таки разные задачи. В одном случае это мог быть произвольные два человека, а в другом мы выбираем одного конкретного и говорим, что совпасть должно лично с ним. Это совсем другая задача, и там вероятность будет существенно меньше. Но я-то на этом не остановился. Я подумал: "Ну как, 23 человека?" Где-то недавно слышал число 23. Кого бывает 23? Точно, это же заявка сборной на футбольный турнир Кубка конфедераций по футболу. Играло 8 команд. Я думал: "Если у нас заявки по 23 человека, то как раз там и надо поискать кого-нибудь, родившихся в один день."
Сказано – сделано. Открыл заявку сборной России. И что вы думаете? Роман Шишкин и Денис Глушаков таки родились в один день. Но я посмотрел остальные сборные и выяснил, что из восьми сборных, кроме сборной России, есть еще сборная Австралии, новая сборная Португалии, у которых действительно нашлись люди, родившиеся в один день. То есть из восьми сборных как раз 4, 4 из 8, да, 1/2 или 0,5, то есть 50 процентов. Как раз и получилось, что найдутся люди, родившиеся в один день.
Обратите внимание, что такое совпадение, то есть мне в некоторых если повезло от того, что я математически доказал, что вероятность появления вот так в компании на 50 процентов – это не значит, что из восьми компаний всегда ровно 4 мне подойдут. Да, то же самое, как если вы кидаете монетку, вовсе не значит, что из двух бросков один обязательно будет орел, а один решка. Пэйдэй довериться на 2 за что? На самом деле мы, конечно, можем бросить и 2, и 2 решки. Но другой вопрос: если вы сделаете много, много бросков, допустим, 100 или 1000, то вот тогда орлов будет примерно половина, довольно близко к половине из ста. Может быть, там не 48 или 53, но довольно близко. То есть вряд ли их будет 95 из тысячи, их вряд ли будет там 800. Скорее всего, будет 500, чем так.
И здесь, что если я возьму все 200 сборных, моя математика дала мне ответ, что скорее всего, там будет результат в районе половины. Но, опять же, плюс-минус, естественно. Тут тоже надо учитывать еще, насколько события независимы. Если в нашей сборной играли братья Березуцкие, которые, знаете ли, близнецы, ну тут понятно, что найдутся люди, которые родились в один день. Что ж, надеюсь, что вам было интересно. Я очень надеюсь также, что вы попробуете в своих компаниях посмотреть, есть ли люди, которые родились в один день, и можете в комментариях написать, что, например, вот в нашей компании из 25 человек ваша мерзкая математика не сработала, а в нашей компании из 10 человек, допустим, сработала. И тогда мы сможем подвести свою статистику и узнать, все-таки, применяется ли эта математика к реальной жизни или нет. Не забывайте подписываться на наш канал, чтобы не пропускать другие интересные ролики. Нас ждет еще много важного. Дано встречи!