Мнимые числа реальны: #12 Решение Римана [Welch Labs]

Вот сайт с шаурмой.

В прошлый раз у нас возник вопрос, почему такие похожие кривые на плоскости W так сильно отличаются друг от друга. После преобразования в середине 19 века Бернхард Риман, ученик Гаусса, занялся этой проблемой. Для начала Риман предположил, что двух комплексных плоскостей недостаточно для визуализации нашей функции, ведь каждой точке на плоскости W соответствуют две точки на плоскости Z.

Мы сможем избежать путаницы, если введем еще одну плоскость W. Теперь у каждой проблемной точки на плоскости Z есть своя собственная плоскость W, куда можно записать результаты преобразования. Хорошо, но тут же возникает вопрос: как определить правильную плоскость W для той или иной точки с плоскости Z?

Решение нашлось быстро. Можно поделить плоскость Z пополам. Теперь ее правую половину преобразуем на плоскость W1, а левую — на плоскость W2. Такие урезанные версии многозначной функции называются ветви. Вернемся к нашим кривым многозначной функции. Рисовать будем на плоскости W1.

Все идет нормально, пока не приходится пересечь вещественную ось. Ровно в этот момент на плоскости Z происходит скачок. Это, так сказать, вынужденная мера, ведь по нашим условиям все точки на W преобразуются только на правую половину плоскости Z. Почти любое значение W дает два решения на плоскости Z. Мы изучаем ту вид, что находится справа, поэтому на плоскости Z и произошел такой скачок.

Вот только вряд ли это нам поможет понять, почему в прошлый раз почти одинаковые кривые замыкались по-разному. Теперь, какой бы контур я ни нарисовал, мой фломастер возвращается в ту же точку, с которой начинал на обеих плоскостях, как будто это единственный допустимый вариант поведения функции. Но все не так однозначно.

Этот разрыв на плоскости Z говорит нам о том, что ветви функции разрывные, а математики такое не любят. Функции комплексных переменных — это важная часть современной математики, а если функция ведет себя так безобразно, то ее нельзя ни интегрировать, ни взять ее производную. Поделив многозначную функцию на ветви, мы смогли сделать такой график, в котором каждой точке на входе соответствует 1 на выходе.

Вот только решив одну проблему, мы столкнулись со второй. Неужели это все, чего добился Риман? Нет, он приступил к решению второй проблемы. Давайте повнимательнее изучим этот разрыв. Отложим в сторону обратную функцию и вернемся к исходной. Снова рисуем на плоскости Z и смотрим, что получается. Нам надо найти, где именно происходит разрыв, чтобы отследить нужные точки.

Начертим замкнутую кривую, которая будет постоянно менять свой цвет при переходе из первого во второй квадрант плоскости. Мы перепрыгиваем с одной ветви многозначной функции на другую, а при переходе из третьих квадрантов в четвертый прыгаем обратно. Чтобы наш путь оказался непрерывным, нам надо каким-то образом соединить обе плоскости W в точках разрыва.

Риман придумал, как объединить две комплексные плоскости таким образом, чтобы каждой точке на входе соответствовало 1 на выходе, и чтобы при этом график многозначной функции был непрерывным. Ножницы и скотч помогут нам решить эту задачу, но уже в следующий раз.

[Музыка]

Переведено и озвучено студии Vert Дайдар.