Как мнимые числа спасли математику [Veritasium]

Вот сайт с шаурмой. Likes. Математика появилась как способ выражать мир в числах, измерять участки земли, предсказывать движение планет, вести учет товаров. Но потом мы столкнулись с проблемой: казалось, что у некоторых задач нет решения.

Чтобы справиться с ними, мы отделили математику от реального мира, разграничили алгебру и геометрию, обратились к числам, столь странным, что назвали их мнимыми. По иронии судьбы, 400 лет спустя эти же числа помогли создать самую полную физическую теорию нашей вселенной. Математика, свободная от ограничений реального мира, помогла нам постичь его истинную природу.

1494 год. Лука Пачоли, который учил математики самого Леонардо да Винчи, публикует трактат "Сумм арифметики", самый полный сборник математических знаний со всей Италии эпохи Ренессанса. Один из разделов посвящен кубическим уравнениям. Сегодня мы бы записали их общую форму как ax³ + bx² + cx + z = 0.

На поиски общего решения для такого рода уравнений человечество потратило как минимум четыре тысячи лет. Все древние цивилизации: Вавилон, Греция, Китай, Индия, Египет — версии — все они потерпели в этом неудачу. Пачоли заключил, что найти решение просто невозможно. Довольно странный вывод, ведь стоит нам убрать x³, и получится обычное квадратное уравнение, а с ними многие древние цивилизации справлялись без особых проблем.

Сегодня общее решение даже преподают в школе: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a. Но большинство людей просто подставляют нужные числа в формулу, не подозревая о том, что древние математики нашли ее решение с помощью геометрии.

В те времена привычных нам уравнений еще не было: выражения записывались с помощью слов и рисунков. Возьмем такой пример: x² + 26x = 20. Для древних математиков x² — это реальный квадрат со сторонами длиной x, а 26x — это прямоугольник, у которого одна сторона 26, а другая 2x, а сумма их площадей равна 27.

Как же нам тогда найти x? Возьмем прямоугольник 26x и разрежем пополам. Теперь у нас два прямоугольника по 13x. Фигуры можно расположить таким образом, чтобы получился незаконченный квадрат. Как видите, ему не хватает одного фрагмента, размеры которого мы точно знаем: 13 на 13.

Так что можно завершить построение большего квадрата с помощью добавления квадрата 13 на 13. Так как мы прибавили 13 в квадрате, то есть 169, к левой части уравнения, нужно прибавить столько же к правой, тогда эти части останутся равными. И так мы получили большой квадрат со стороной x + 13, и его площадь равна 196.

Квадратный корень из 196 — 14, получается, что сторона квадрата равна 14, а x равен 1. Это прекрасный наглядный пример решения квадратного уравнения, но решение не полное. Я не говорю, что x равна единице, не подходит. Просто это лишь один из ответов, а второй — минус 27.

Тысячелетиями математики не подозревали о существовании отрицательных решений для подобных уравнений, ведь они привыкли работать с реальными: длиной, площадью, объемом. Как можно представить себе квадрат со стороной -27? Это же бессмыслица какая-то! В математике того времени отрицательных чисел просто не существовало. Вычитать, то есть находить разницу между двумя положительными значениями, можно, но отрицательных ответов или коэффициентов быть не могло.

Математикам были настолько чужды отрицательные числа, что и общей формы квадратного уравнения не было. Было шесть вариантов, построенных таким образом, чтобы все коэффициенты оставались положительными. То же касалось и кубических уравнений. В 11 веке персидский математик Омара Хайям сформулировал 19 различных кубических уравнений, каждом из которых все коэффициенты были положительными.

Решение некоторых из них он нашел с помощью пересечения различных форм вроде гипербол и кругов, но получить решение для самого общего случая, что было главной целью, ему не удалось. Он писал: "Быть может, кто-то из наших потомков сумеет его найти". Надежда на это появилась лишь 400 лет спустя, 4000 километров в Италии.

Сципион дель Ферро преподает математику в Болонском университете. Примерно в 1510 году он находит надежный метод для решения так называемых приведенных кубических уравнений. В них отсутствует слагаемое bx². Как же дель Ферро поступает с решением задачи, над которой тысячи лет бились величайшие математики, которую сам учить и Леонардо да Винчи считал нерешаемой? Он его прячет.

Дело в том, что жизнь математика в 16 веке была тяжелой. На какой бы должности вы ни трудились, всегда есть риск, что появится новый математик, которым она приглянулась, и бросит вам вызов. Проводили своеобразные дуэли: математики обменивались набором задач, и тот, кому удавалось решить больше, получал должность, а проигравший — опыт публичному унижению.

Насколько знал дель Ферро, на тот момент никто больше не умел решать подобное уравнение, и, держа это умение в тайне, он мог быть уверен, что никто не сможет занять его место. Почти 20 лет Сципион никому не рассказывал о своем открытии и лишь перед самой смертью в 1526 раскрыл тайну своему ученику Антонио Фиоре.

У Фиоре не было столь же велико математического таланта. Он был молод и амбициозен. После смерти дель Ферро Фиори начал хвастаться своими способностями, в том числе тем, что умеет решать кубические уравнения. 12 февраля 1535 Фиоре бросает вызов математику по имени Никола Фонтана Тарталья, недавно приехавшему в Венецию.

Никола Тарталья привык к трудностям: в детстве французский солдат ударил его по лицу саблей, из-за чего тот стал заикаться и получил прозвище "Тортанию", что на итальянском значит "заика". Он рос в нищете и занимался самообразованием, с большим трудом отстаивая свое место в обществе, пока наконец не стал уважаемым математиком. Все это теперь оказалось на кону.

Тарталья, следуя традициям, передал Фиоре решение 30 разнообразных задач, а в ответ получил 30 примеров, полностью основанных на неполных кубических уравнениях. За отведенные на решение 30 дней Фиоре не справился ни с одной задачей. Тарталья решил все 30 примеров и притом всего за 2 часа. Вероятно, Фиоре проиграл из-за собственного тщеславия.

Еще до начала состязания Тарталья слышал, что Фиоре умеет решать кубические уравнения, однако в это не верил. Ему казалось, что он не способен вывести решение сам. Писал Тортанию, поговаривали, что Фиори узнал решение другого действительно талантливого математика, что звучало вероятнее. Зная, что найти такое решение в принципе возможно и осознавая, что на кону его будущее, Тарталья отчаянно взялся за поиски решения кубических уравнений.

Для этого он взял за основу геометрический подход для квадратных уравнений и перенес его в три измерения. Возьмем уравнение x³ + 9x = 26. x куб может быть представлен в виде куба со стороной x. Если добавить к нему некий объем, равный 9x, получится 26. По аналогии с квадратным уравнением нам нужно увеличить объем 1 куба на 9x.

Представим, что мы удлинили его стороны на какое-то значение y. У нас получился куб большего объема, со стороной z, которое равно x + y. Таким образом, наш изначальный куб оказывается как бы обложен с разных сторон другими фигурами. У нас есть три прямоугольные призмы с размерами x на x на y, три призмы поменьше x на y на y, а еще маленький куб со стороной y.

Тарталья соединил 6 прямоугольных призм в один параллелепипед со сторонами 3y, z и высотой x. Объем этой фигуры будет равен 3yz на высоту x. Он понимает, что эта фигура соответствует слагаемому 9x из уравнения, если ее основание, то есть 3yz, равно 9, поэтому он принимает 3yz за 9.

Теперь, если собрать наш большой куб, не хватает лишь маленького кубика со стороной y, а значит, добавив y в кубе к обеим частям уравнения, мы можем настроить нашу фигуру. У нас получается, что x³ = 26 + y³. Два уравнения и два неизвестных. Находим, чему равно z из первого, подставляем это значение во второе, получаем y³ + 26y³ = 20.

Может показаться, что теперь все стало еще сложнее, ведь у нас появилась аж 6 степень, хотя начинали мы лишь с 3. Но если представить, что переменная это не y, и y³ уравнение превращается в обычное квадратное, то самое, что мы решали в начале.

С квадратом так что мы уже знаем, что y³ это 1, а значит, y равен 1. Z это 3/y, то есть 3/(x + y) равно z. Значит, x это 2, что подходит в качестве решения нашего уравнения. Вот так Тарталья вторым во всем мире научился решать приведенные кубические уравнения. Чтобы не приходилось каждый раз проделывать все эти геометрические вычисления с каждым новым примером, Тарталья придумал и записал общий алгоритм, пошаговую инструкцию, но не в виде математической формулы, которые мы привыкли видеть сегодня.

Такой способ записи изобретут лишь спустя сто лет, а в форме стихотворения. После победы Тарталья стал настоящей звездой математики. Всеми способами пытались разузнать секреты решения кубических уравнений, особенно настойчив был Джироламо Кардано, энциклопедист из Милана. Но Тарталья был непреклонен и отказывался представить разбор даже одного примера из поединка.

Кардано не сдавался, он отправлял одно письмо за другим, мешая в них лесть с грубостью. В итоге, под предлогом знакомства с богатым покровителем, Кардано удалось заманить Николу Тарталью в Милан. Там, 25 марта 1539 года, Тарталья наконец-то раскрывает секрет, но лишь взяв с Кардана клятву никому его не передавать, не публиковать, а записывать исключительно в виде шифра, чтобы, цитирую, "после моей смерти никто не смог его прочитать".

Кардано невероятно счастлив и тут же принимается экспериментировать с алгоритмом. Но у него есть конкретная цель: найти общее решение для полной версии кубического уравнения. Самое удивительное, что ему это удалось. Если в уравнении сделать x равным x - b/3, то все x² сократятся. Таким образом, любое полное кубическое уравнение можно привести к той форме, которая решается методом Тарталья.

Кардано настолько в восторге от того, что нашел решение задачи, над которой тысячелетиями бились математики, что хочет ее опубликовать. В отличие от своих коллег, Кардано нет необходимости держать все в секрете. Он зарабатывает не математикой, он врач и известный интеллектуал. Для него престиж важнее сохранения тайны, но не важнее клятвы, которую он дал Никола Тарталья, и которую непозволительно было бы нарушить.

На этом все могло бы и закончиться, но в 1542 году Кардано гостит в Болонье у одного математика, то есть того самого Сципиона дель Ферро, который перед самой своей смертью рассказал Антонио Фиоре, как решать приведенные кубические уравнения. Кардано натыкается на решение в тетради дель Ферро, которую ему показали гостеприимные хозяева.

Раз Дель Ферро записал решение за несколько десятилетий до того, как его заново открыл Тарталья, то в глазах Кардано публикация записи уже не будет нарушать клятву. Через три года свет выходит "Ars Magna". Великое искусство, по сути, обновленный справочник по математике, написанный за пять лет до прослужит он пять сотен. Кардано посвящает геометрическому решению каждого из 13 подвидов кубических уравнений по отдельной главе.

Он отмечает вклад Тарталья, дель Ферро и Фиоре. Тем не менее, Никола мягко говоря, не доволен. Он пишет Кардано гневные письма, растила их попутно большей части математического сообщества. И в чем-то он прав, ведь сегодня многие знают этот способ решения именно как метод Кардано. Тем не менее, "Ars Magna" — великолепный труд, который испытывает связь геометрии и математики на прочность.

И вот в чем дело: в процессе работы Кардано столкнулся с рядом кубических уравнений, которые ему не удавалось решить привычным образом. Например, x³ = 15x + 4. Вместо идти по алгоритму, то на выходе мы получим квадратные корни из отрицательных чисел. Кардано обращается за помощью к Тарталья, но тот отвечает, что вопрошающий слишком глуп, чтобы правильно воспользоваться его формулой, хотя на самом деле Тарталья и сам не знал, что делать.

Кардано возвращается к геометрическому решению задачи, чтобы понять, где именно возникает проблема. Первые этапы застраивания объема и перекладывания фигур отлично удаются, но когда приходит время добавлять недостающие квадрат, возникает геометрический парадокс. У нас есть некая часть квадрата с площадью равной 30, но странами длиной по 5 площадь всего квадрата равняется 25. Но для этого площадь недостающего фрагмента должна быть отрицательной.

Отсюда и возникают квадратные корни из отрицательных чисел из-за отрицательной площади. Это не первое столкновение математиков с корнями из отрицательных чисел. Даже в "Великом искусстве" есть подобные задачи: найдите два числа, которые в сумме дают 10, а при умножении 40. Их можно объединить в одно квадратное уравнение: x² + 40 = 10x, но применив формулу для решения, мы увидим, что в ответе появляется квадратные корни из отрицательных чисел. Закономерный вывод: решений у этого уравнения нет, что можно подтвердить, вернувшись к оригинальным примером.

Нет таких действительных чисел, которые в сумме дают 10, а при умножении 40. Математики того времени думали, что появление корней из отрицательных чисел — верный признак того, что решения нет. Но это кубическое уравнение — другой случай. Недолгим перебором можно обнаружить, что 4 вполне подходит для значения x. Почему же к этому ответу не получается прийти способом, который работает для остальных кубических уравнений? Застряв на этом моменте, Кардано не приводит его в своем трактате, характеризуя идею о корнях из отрицательных чисел, как занимать иную, но столь же бесполезной.

Примерно через 10 лет работу Кардано продолжил итальянский инженер Рафаэль Бомбелли. Его не пугают ни квадратные корни отрицательных чисел, ни геометрические продукции, к которым они приводят, и он намерен довести дело до конца. Понимая, что квадратным корнем из отрицательного числа не может быть ни положительное, ни отрицательное число, он допускает, что это какой-то новый особый вид чисел.

Он предлагает выразить слагаемое уравнение составной форме, комбинации обычного числа и числа, которая содержит квадратный корень из минус единицы. Так Бомбелли приводит кубические корни из уравнения Кардано в форме 2 равно ±√(-1). Осталось сложить части, и квадратные корни сокращаются, оставляя правильный ответ: 4. Это не больше, не меньше, математическое чудо. Метод Кардано работает, но только если отрезать его от геометрии, на которой он изначально основан.

Отрицательные площади, которых не существует в реальном мире, неизбежные как промежуточные этапы решения. В течение следующих ста лет математика обретала знакомый нам вид. В 17 веке Франсуа Виет представил современную математическую нотацию, оставив в прошлом длинные словесное описание с иллюстрациями. Геометрия перестает быть источником истины.

За корни из отрицательных чисел берется сам Рене Декарт, что прибавляет им популярности. Он понимает их пользу, но называет их "сладостные" мнимые числа, как и мы по сей день. Позже Лир ведет латинскую "i" для обозначения корня из минус единицы. Числа, состоящие из мнимой и действительной части, называют комплексными.

Итак, кубические уравнения привели к появлению нового типа чисел и освободили математику от геометрии. Отказавшись от привязки к тому, что долгое время считалось самым надежным способом описать реальность. Геометрические фигуры можно увидеть и даже потрогать. Мы получили новую математику, которая куда лучше справлялась с решением вполне реальных задач.

И как оказалось, кубические уравнения — это только начало. В 1925 Эрвин Шрёдингер занялся уравнением волновой функции, которая бы описывала движение квантовых частиц. Он развивал идею, что материя состоит из волн. В результате появилось одно из важнейших уравнений физики — уравнение Шрёдингера, и в нем почетное место занимает и квадратный корень из минус единицы.

Математики к тому времени уже привыкли к мнимым числам, а вот для физики они были в новинку и многим не нравилось, что они появляются в столь фундаментальной теории. Шрёдингер и сам писал, что довольно неприятен и безусловно может быть подвержен критике тот факт, что в формуле присутствуют комплексные числа.

Волновая функция в основном на фундаментальном уровне — это действительная функция. Кажется, это разумное замечание, но почему мнимое число, впервые возникшее в кубических уравнениях, вдруг оказалось основой нашей понимания реальности? Все из-за некоторых уникальных свойств мнимых чисел.

Прямая мнимых чисел находится перпендикулярно прямой действительных, и вместе эти прямые образуют комплексную плоскость. Если снова и снова умножать число на i, произойдет кое-что любопытное. Начнем с единицы: 1 на i будет i, иного минус единицы, то есть i в квадрате — минус 1. На i дает нам минус i, а минусы на i — будет 1.

Мы пришли к тому же, с чего начинали, и продолжая умножать на i, мы будем двигаться по кругу. По сути, умножение на i — это поворот на 90 градусов. На комплексной плоскости есть функция, при которой мы постоянно умножаем на i, двигаясь по оси x. Это e^(ix). Получается спираль: значение функции как бы ходит кругами, при этом двигаясь вдоль оси x.

Если взглянуть только на действительную часть графика, получится косинусоида, а если взять только мнимую — синусоида. Две основные функции, описывающие поведение волн, являются частью e^(ix), поэтому и получается, что решение к уравнению Шрёдингера так или иначе будет иметь какой-то вариант формы e^(ix).

Если конкретнее, e^(iθ) = cos(θ) + i sin(θ). Может показаться, что проще было бы использовать обычную синусоиду, но выражение со степенью имеет свои преимущества. Если взять производную по положению или времени, она будет пропорциональна изначальной функции синусоиды, таким свойством не обладает ведь производная синуса косинус.

К тому же, уравнение Шрёдингера линейно, и можно сложить любое количество его решений, получить волну любой нужной вам формы, и она все равно будет решением самого уравнения. Физик Фримен Дайсон поздний напишет: "Шрёдингер добавил в уравнении квадратный корень из минус единицы, и все встало на свои места". Теперь это была волновая функция, не функция передачи тепла, радости.

Шрёдингер приискал решение его уравнения с расчетными орбитами электронов в атомной модели, предложенной Бором. Оказалось, что уравнение Шрёдингера безошибочно описывает все, что нам известно о поведении атомов. Это основа всей химии и практически всей физики, а корень из минус единицы говорит о том, что природа оперирует не действительными, а комплексными числами.

Это открытие удивило самого Шрёдингера не меньше, чем остальных. Выходит, что мнимые числа, открытые как необходимый промежуточный шаг на пути решения кубических уравнений, оказались в основе нашего понимания реальности. Лишь отрезав математику от реального мира, мы смогли узнать чуть больше о том, как на самом деле устроена вселенная.