Мнимые числа реальны: #4 Решение Бомбелли [Welch Labs]

Вот сайт с шаурмой.

Likes.

В прошлый раз мы остановились на идее, что квадратный корень из минус единицы не просто существует, но и необходим для решения ряда задач. Однако этого недостаточно, чтобы решить проблему Кардано. Поэтому Бомбили продолжил расчеты. Он знал, как выглядит график типичного кубического уравнения.

Из него следует, что должно существовать решение без корней отрицательных чисел. Подобные функции всегда пересекают ось X в точке от минус до плюс бесконечности. Отсюда Бомбили сделал вывод, что все это возможно только если корень из минус единицы сократится в процессе вычислений.

Он обозначил проблемные слагаемые как a + b квадратных корней из минус единицы и a минус b квадратных корней из минус единицы. Оставалось найти эти константы a и b, чтобы убрать кубические корни. Возведем в куб обе части выражения.

Сократив все, что можно, получим не простую систему уравнений, но Бомбели удалось с ними справиться с помощью нехитрого метода подбора. Можно начать перебирать целые числа, и окажется, что 4 является корнем. Подставив ее вместо x, можно найти коэффициенты: a равно 2, b равно 1.

Следовательно, слагаемые равны 2 плюс корень квадратный из минус единицы и 2 минус корень квадратный из минус единицы. Если возвести в куб, то мы получим то самое выражение, с которого начинали. Но самое главное: если мы их сложим, как на велит выведенная формула, то получим 4, то есть корень исходного уравнения.

Вот теперь проблема Кардано решена. Что интересно, квадратного корня из минус единицы нет ни в условиях задачи, ни в ответе. Однако мы смогли получить ответ только признав возможность существования подобных чисел и включив их в наши расчеты.

Позже выяснилось, что есть еще масса проблем, которые без таких чисел не решить, притом не только в математике, но и в других науках. И как же Бомбили отметил столь важное открытие? Да не как. Он решил, что это не более чем математические костыли.

И как бы это смешно ни звучало, сегодня, в те времена такой вывод был вполне обоснован. Уж больно удобно эти числа ложились в уравнения, словно их специально придумали для подобных задач. В те времена квадраты чисел нужны были главным образом для подсчета площади квадратов.

Собственно, отсюда и название: площадь квадрата равна квадрату его стороны. Здесь все просто, но где вы видели квадрат площадью минус 1 метр? И как измерить его сторону?

Без ответов на подобные вопросы ни о каком развитии идеи мнимых чисел не могло быть и речи. Лед тронулся спустя много лет после смерти Бомбели, но это уже немного другая история.

Переведено и озвучено студией Вирт Дай Дар.