Мнимые числа реальны: #6 Комплексная плоскость [Welch Labs]

Вот сайт с шаурмой. Likes.

Сегодня поговорим о том, как применять мнимые числа в реальных вычислениях. Встречайте комплексную плоскость! Комплексная плоскость получается, если к привычной числовой прямой добавить вертикальную ось с мнимыми числами. Принцип работы похож на обычные координаты, только вместо x и y — вещественная и мнимая части.

Помните, Гаусс предлагал альтернативную терминологию, в которой числа делились на прямые и обратные, и перпендикулярные. Вещественные числа как бы движутся от наименьшего к наибольшему, то есть прямо, отрицательные же — в обратную сторону. А мнимые — мы как бы по бокам, поэтому перпендикулярные.

Что такое комплексная плоскость мы обсудили, теперь обсудим ее сильные стороны. В обычной координатной плоскости есть оси, и на них откладываются значения координат. С такой у нас начиналось самое первое видео. В подобной системе координат нет каких-то особых правил, по которым изменения одной координаты должны приводить к изменению другой.

Однако о комплексных числах алгебра более сложная. Мы это обсудили в прошлом видео, поэтому координаты на комплексной плоскости влияют друг на друга, и это очень полезная особенность. Для начала надо понимать, как происходит сложение и вычитание. Операции над вещественными и мнимыми частями проводятся отдельно.

Это удобно, когда мы имеем дело с движением в двух измерениях. Если мы перемещались сперва в одном направлении, а потом в другом, то мы можем сложить соответствующие координаты и узнать, куда мы в итоге пришли.

Хорошо, но чем, спросите вы, это отличается от обычных векторов? Странности начинаются, когда комплексные числа умножают. Для этого необходимо раскрыть скобки, все делаем по принятым в алгебре правилам. Единственная особенность — в квадрате заменяется на -1.

Сокращаем лишнее и получаем ответ. Но у этой задачи есть альтернативное решение. Как считаете, можно ли получить такой же результат с помощью особенностей комплексной плоскости?

Но не думайте, что я вам просто так все расскажу. Гораздо веселее будет дать домашнее задание. Чтобы понять, как происходит умножение на комплексной плоскости, вам надо знать, как происходит умножение комплексных чисел алгебраически, как отмечать числа на комплексной плоскости, как пользоваться теоремой Пифагора и как с помощью арктангенса находить углы.

Если вы найдете ответ самостоятельно, то можете себя поздравить! Умнейшие математики всей планеты бились над этой задачей, справились всего-навсего две сотни лет назад.

Запишите четыре примера, которые вам надо будет решить на комплексной плоскости. Ответы в следующем выпуске:
4 + 3i умножить на i,
4 + 3i умножить на 2,
4 + 3i в квадрате,
2 + i умножить на (1 + 2i).

Решив эти примеры на комплексной плоскости, надеюсь, вы увидите определенные закономерности, и тема станет вам понятнее. Нигде записать задание. Внизу есть ссылка на запись в блоге, в ЛЧ Labs, посвященная этому видео.

Я уверен, подумать над этой задачей будет полезно не только новичкам, но и ветеранам комплексных вычислений. В следующем видео посмотрим, что у вас получилось.

Переведено и озвучено студией Арт Дай Дар.