Теория узлов: от шнурков до новых молекул [Veritasium]

[музыка] Новости. Большинство людей завязывают шнурки неправильно. Способы сделать бантик 2: можно оборачивать шнурок вокруг сложенной петельки против часовой стрелки или по часовой. Со стороны выглядит почти одинаково, но в одном случае узелок получается намного лучше, чем в другом. Он гораздо меньше развязывается. Чтобы понять, почему, нам придется погрузиться в теорию узлов. Это область математики, посвященная тому, чтобы определить, классифицировать и понять все узлы, которые только возможно завязать. Пока нам известны 352 миллиона 152 тысячи 252 узла. У каждого есть свой набор свойств и характеристик. Разве не удивительно, что в мире существует нечто вроде периодической системы узлов и что это не только чистая математика?

Теории узлов очень полезна на практике. Она пригодилась в изучении структур белков, она помогает разрабатывать новые материалы, более прочные. Но что же такое узел в повседневной жизни? Мы часто видим узлы вроде этого или этого. Чтобы тщательно их изучить, их надо распустить и рассмотреть, как они устроены. Проблема в том, что подобные узлы держатся только за счет натяжения и трения. Если слишком сильно потянуть, они не развяжутся. Чтобы узел не исчез с веревки, математики решили соединить ее концы. Теперь узел можно ослаблять и развязывать, но сама структура никуда не денется.

Поэтому все узлы для исследования помещают на замкнутый контур. А значит, простейший возможный узел — это кружек. Не сильно впечатляет, поэтому его называют... Вот другой узел. Мы снова видим, что он расположен на веревке без разрывов. Вот еще один узел. Если один можно преобразовать в другой, не разорвав веревку, вот этот узел - второй по сложности. Теперь у меня два тривиальных узла. Различать узлы на глаз на удивление сложно. Посмотрите на эту загадочную веревку. Это тривиальный узел — трилистник. Ни то, ни другое. Дам вам секунду подумать.

Итак, это трилистник. Станет лучше видно, если я распутаю эту часть и расправлю эту. Наш первый сложный узел, вообще-то, это тривиальный. Сейчас разложу веревку, и вы поймете, что так и есть. Видите? Это просто длинная веревка. Кстати, все это тоже тривиальные узлы. Здесь и начинаются сложности. Нельзя просто как попало... Этот вопрос в этой статье ставится определенные ограничения на то, чего можно достичь логическими рассуждениями. Раньше самый сложный задачи такого рода считался известный гордейфузин. Говорилось, что тот, кому удастся его развязать, будет править всей Азией. По легенде, Александр Македонский просто его разрубил.

Теория узлов такое решение не подойдет. В истории были и другие известные узлы. Бесконечный узел обнаруживали на глиняных табличках долины реки Инд. Он встречается в кельтской, китайской культурах, в индуизме и буддизме. Древние инки с помощью узелковой счётной системы кипу ввели счет налогов и делали календарные отметки. Узел можно найти даже на гербе итальянского знатного рода, известного с 14 века. Зацепление нескольких соединенных узлов возникло несколькими веками позже. В январе 1867 года шотландский физик Питер Got Retay демонстрировал самодельную дымовую установку именитому ученому Уильяму Томсону, будущему лорду Кельвину.

Тейт прочитал в одной работе, что в идеальной жидкости вихревые кольца остаются стабильными. Исследователи это заинтриговало. Он взял две коробки, поместил в них не самую полезную смесь из аммиака, серной кислоты и соли. При постукивании по полотенцу, натянутому в задней части коробок, через круглые отверстия спереди ровными кольцами вырывался дым. Кевин, зачарованный, разглядывал эти кольца. Сам он ломал голову над строением, которое в то время занимало Великий Уммы. И вдруг, будто увидел ответ. Кельвин объявил, что атомы, должно быть, состоят из вихревых колец эфира — невидимой среды, заполняющей пространство. Зацепление, а водород мог бы выглядеть как тривиальный узел. Треть в этом усомнился, но вихревая модель Кельвина вскоре заняла лидирующие позиции, и Тейт всерьез принялся изучать узлы.

Он начал составлять периодическую систему элементов, которую вносил каждый новый узел. Довольно легко классифицировать их по количеству самопересечений. Берем узел без лишних перекручиваний и считаем количество перекрестков. Эйд открыл узел с тремя самопересечениями, трилистник с четырьмя, восьмерку, пять узлов с пятью самопересечениями, 3/6 и 7 — семью перекрестками. К слову, узлы можно складывать. То есть можно сложить несколько и получить новый. Например, 2-3 лесника можно превратить в узел с шестью самопересечениями — получается составной узел.

Однако не все узлы можно разложить на какие-то составляющие, и тогда их называют простыми, поскольку все составные узлы состоят из простых. Последним и достается больше внимания. К сожалению, для Тейта над вихревыми атомами Лорда Кельвина сгущались тучи. В 1869 году появилась первая публикация периодической таблицы Менделеева. В восемьдесят седьмом опыт Майкльсона-Морли посеял сомнения в существовании эфира, открытие Томсоном электронов в 1897 нанесло и вовсе сокрушительный удар. Оказалось, что внутри атома есть еще более мелкие частицы.

Но Тейт зашел слишком далеко, чтобы останавливаться, он даже втянул работу своего соперника по изысканиям и близкого друга Джеймса Клерка Максвелла, известного своими уравнениями. Благодаря смерти от рака желудка он написал стихотворение, которое начиналось со слов "моя душа затянута..." [музыка] В 1877 году опубликовал список узлов, которых было до семи перекрестков. Первая статья по математике со словом "пересечений". [музыка] Втроем, к 1899, они нашли 21 узел с восемью перекрестками, все 49 с девятью и все 166 узлов с десятью самопересечениями.

Через два года Тейта не стало. Всю эту невероятно кропотливую работу они проделывали вручную. Статья Тейт говорила: "Я не могу утверждать, что все эти группы в своей сути отличаются друг от друга". В процессе составления таблиц он ощупал фундаментальную проблему, как различать узлы. Удивительно, что Тейт, Киркман и Литтл составили таблицы практически идеальны. За следующие 75 лет в их список не вносили никаких изменений. А затем в 1973 появилась единственная правка: десятки лет после смерти узлов не было никаких сдвигов. Но в 1927 доказал важную теорему: чтобы превратить... Ему необходимы только третий под действием с одной стороны. [музыка]

И то мы докажем, что они одинаковые. Но все еще непонятно, как доказать, что два узла действительно разные, потому что можно долго проделывать эти действия и так и не получить два одинаково выглядящих узла. Может, это и правда разные узлы. А может, мы просто проделываем действие не в том порядке и не смогли показать их идентичность. Возможно, именно это имел в виду Тьюринг, когда говорил, что проблема эквивалентности узлов может так и не найти решение. Но в 1961 году математик Вольфганг Хакинг создал алгоритм, способный решить проблемы эквивалентности для одного случая: отличить любой узел от тривиального. При этом статья его заняла больше 130 страниц, и в особо запутанных случаях алгоритм высчитывал бы ответ дольше, чем существует Вселенная. В 2001 году математики придумали, как отличить любой узел от тривиального, установив лимит на необходимое для этого число. Если повторять их до достижения лимита, можно однозначно сказать, тривиальный перед нами или нет.

Но есть один нюанс: этот лимит составлял два в степени 100 миллиардов N. На сегодняшний день действий требуется гораздо меньше — всего 236n в 11 степени. Прогресс налицо. Но перебрать все необходимые комбинации действий Рейдимейстера до сих пор кажется невероятным делом. Для узла с одним самопересечением это число будет больше, чем звезд в обозримой вселенной. В 2011 году рассчитали максимальное количество действий, чтобы сравнить два любых узла или зацепления, что решает проблему эквивалентности. Получилось вот что: возводим два во вторую степень, результат снова во вторую степень. Это называется тетрадь, и число справа растет быстро. Продолжаем, пока не возведем два во вторую степень 10 в миллионной N-степени, раз в конце добавляем N.

Кажется, в наших видео еще не было таких огромных чисел, но хотя бы просто иметь решение уже удивительно, учитывая, что Тьюринг всего 60 лет назад считал, что мы можем никогда его не получить. Если так сложно просто отличить два узла друг от друга, как мы умудрились составить таблицу из 350 миллионов разных узлов? Оказывается, у них есть неизменяемые свойства. Как бы хитро и загадочно они не выглядели, такие свойства называют инварианты. У разных узлов могут отличаться благодаря этому, по ним можно ориентироваться как по меткам. У некоторых вариантах все же будут совпадать. Но если у двух узлов они разные, то можно утверждать, что и узлы разные. Один из вариантов — это количество самопересечений. Узлы не могут быть одинаковыми, если у них разное количество самопересечений.

Но оказывается, что его очень сложно посчитать. В любой узел можно добавить лишних перекрестков, просто пару раз перекрутить какую-нибудь часть. Разные варианты одного и того же узла называют проекциями узла. Число самопересечений обозначает минимальное количество, которое может быть узла. Однако для этого нужна его самая простая проекция, известная как усеченная форма. Установить, что узел усечен до предела, довольно сложно. Благо, существуют другие варианты, которые не зависят от того, какая у нас проекция, имеют одно и то же значение как для запутанного трилистника, так и для его усеченной формы.

Первый такой вариант — трехцветная раскраска. Иными словами, можно ли раскрасить узлы тремя цветами? Возьмем диаграмму узла и раскрасим каждый его сегмент между перекрестками, где они оказываются внизу, там, где приходится отрывать карандаш от бумаги. При трехцветной раскраске соблюдают два правила. Во-первых, должны использоваться минимум два цвета, потому что одним можно закрасить полностью любой узел. Во-вторых, на самопересечениях сегменты должны быть либо все одного цвета, либо двух разных. То есть вместе самопересечения не может быть только двух цветов. У этого инварианта всего две категории: узел либо можно раскрасить тремя цветами, либо нет.

Идентичные узлы в этом смысле должны совпасть. Если один узел так раскрасить можно, а другой нет — тогда перед нами разные узлы. Не верится, что возможность трехцветной раскраски постоянная характеристика для всех проекций одного и того же узла. Но поскольку одну проекцию можно превратить в другую с помощью действий Рейдимейстера, можно показать, что схема рас не будет меняться при этом процессе. Переворот — это легко; здесь, как был один цвет, так и остается. При перекрытии образуется самопересечение, а значит, должен появиться еще один цвет в этом месте. Как мы знаем, их должно быть три.

При сдвиге окраска всегда остается трехцветной: сначала было три самопересечения и три цвета, а потом на одном из них раскраска получается одинаковая. Итак, узел или можно раскрасить в три цвета, или нет. Какие бы действия Рейдимейстера мы не выполняли. Сейчас самое время отметить, что мы так и не доказали, что трилистник и тривиальный узел — это разные узлы. Займемся этим прямо сейчас с помощью трехцветной раскраски. Тривиальный узел по нашим правилам раскрасить невозможно, потому что нам негде использовать два цвета. Трилистник так раскрасить довольно легко. Берем и окрашиваем сегменты в разные цвета на каждом перекрестке. Три цвета — значит, всё сошлось.

Мы знаем, что любая проекция трилистника легко поддается трехцветной раскраске, любая проекция тривиального узла, наоборот, не поддается. Делая вывод, перед нами два разных узла. Этот инвариант довольно общий; он делит узлы на две большие группы. Следующий узел после трилистника — узел восьмерка. Трехцветные раскраски не поддаются: на одном перекрестке всегда получается два цвета. Но как тогда доказать, что это нетривиальный узел? Ведь у них этот инвариант совпадает. Из трехцветной раскраски вытекает гораздо более интересный вариант — p-раскраска. Поймут любое простое число, кроме двух.

Не будем полагаться на цвет, пронумеруем сегменты от 0 до P-1. При P-раскраске действуют два правила: 1. Нужно использовать не меньше двух цветов. 2. На перекрестках сумма нижних фрагментов, делённая на P, должна дать тот же остаток, что верхний фрагмент, умноженный на 2 и деленный на P. Трехцветная раскраска, если взять узел восьмерку и перейти на раскраску в 5 цветов, можно присвоить им номера 0, 1. Вот этот фрагмент должен в остатке дать 4, значит, 3 здесь подходит — пятицветная раскраска. Так что это нетривиальный узел.

По раскраска — очень удобный инструмент, тривиальный узел вообще не раскрашивается и ни один узел, который можно раскрасить, ему не идентичен. Но P-раскраска тоже не универсальна. Самые мощные методы, которые помогают различать наиболее интересные узлы, — это многочлены. Первым еще в 1923 году до действий Рейдимейстера нашли многочлен Александра. Как и при P-раскраске, здесь важны два момента: 1. Многочлен Александра для тривиального узла равен единице. 2. Нужно выбрать один из перекрестков узды и преобразовать его в разные типы: нет сверху, нет снизу и без пересечения между получившимися в результате узлами.

Разберем на примере. Вот многочлен Александра для тривиального зацепления. Здесь перекресток без пересечения. Преобразуем нить сверху и нить снизу: дают тривиальные узлы. А значит, для них можем подставить единицу и получим, что многочлен Александра для тривиального зацепления равен нулю. Повторим то же самое для зацепления Хобфа: вот тут у нас нить сверху, нить снизу. Это дает тривиальное зацепление. А без пересечения тривиальный узел подставляем и получается: минус t в степени 1/2 + t в степени минус 1/2.

Переходим к трилистнику: у него нить сверху, нить снизу — это тривиальный узел без пересечения, зацепления Хогва. Подставляем, считаем и получается t минус 1 + t минус 1. Многочлен Александра дает уникальный результат для неограниченного количества узлов, и их удобно вычислять, постепенно переходя от более простых ко все более сложным, хоть до бесконечности. Более 60 лет многочлен Александра устраивал всех как самый удобный инвариант, но в 1984 неожиданное открытие отодвинуло его на второй план.

Математик Вон Джонс, во время работы над алгебраическими вычислениями для статистической механики, это область физики, вдруг понял, что его результаты напоминают цепочку уравнений из теории узлов. Он поехал в Нью-Йорк в университет Колумбии, чтобы пообщаться с Джон Бирман, которая как раз занималась этой темой. Она смогла доработать уравнение нужным образом, и через неделю, когда они встретились снова и проверили их на диаграммах, которые оказались... Он рассказал об этой работе в письме на 15 страниц. Его многочлен похож на многочлен Александра, но включает более четкое равенство для второго правила и позволяет различать гораздо большее число узлов. За свое открытие в 90-м Джонс получил Филдсовскую медаль.

Первый новый многочленный вариант дал новый толчок теории узлов. Через пару месяцев после работы Джонса шесть математиков, независимо друг от друга, открыли усовершенствованную версию того же многочлена с двумя переменными вместо одной. Редакторы журнала Американского математического общества опубликовали их статьи вместе под названием "Полином Хоумфли". Два польских математика, не следивших за новостями, открыли его заново. Спустя всего пару месяцев после чего превратился в полином Хоумфли. Отдельно ни один из этих полиномов не работает.

Если бы мы искали человека, мы бы сначала выяснили полное имя, потом дату рождения и так далее. Так мы смогли бы сузить поиски и найти именно того, кто нам нужен. С узлами примерно так же: у каждого десятки инвариантов, которые если взять их все вместе описывают отдельно взятый узел. Инварианты помогают доказать, что узлы отличаются. Действия Рейдимейстера показывают, что узлы одинаковые, а значит, можно подойти к вопросу с разных сторон и взяться за сложнейшее задание — определить каждый отдельный узел.

Но тут есть несовершенство: эти два узла 75 лет располагались по соседству в таблице Тейта. Хотя, судя по всем инвариантам, они идентичны, вероятно не смогли превратить один в другой, поэтому записали как разные узлы. Кеннет Пирко, юрист, увлеченный теорией узлов, просматривая таблицы Литлов 1973, обратил на них внимание. Ему показалось, что они подозрительно похожи. Ярко открыл блокнот и набросал разные действия Рейдимейстера и вскоре обнаружил, что один узел преобразуется в другой. Диаграмма, известная теперь как пара Пирка, действительно представляет собой проекции одного и того же.

Так в таблицах узлов, составленных Тейтом, Киркманом и Литлом, появилась единственное исправление: вместо 166 узлов с десятком самопересечений осталось 165. Десятки лет ушли на то, чтобы найти 249 узлов с количеством перекрестков до 10. За узлы с одиннадцати перекрестками браться не рисковал никто. До Джона Конвея он открыл все 552 и заявил, что справился за один день. Это была последняя таблица, составленная от руки.

В восьмидесятых написали алгоритм, который помог найти все узлы с 12:00 пересечениями, которых рассказали в статье. Первые миллион семьсот 1.936 узлов. Они пользовались методом, который до сих пор в ходу: компьютеры [музыка] избавляются от повторов. Исследователи, за исключением четырех случаев, результат. В 2020 математик Бэн Бертон в одиночку составил таблицу узлов 17-18 и 19 самопересечениями. И общее число известных простых узлов достигла 300 миллионов 152 тысячи 252. Проект оказался настолько насыщен вычислениями, что на них ушли несколько месяцев работы нескольких сотен компьютеров.

Сложность процесса заключается в том, что сначала нужно было просчитать все узлы, а затем исключить дубликаты. Но если вы решите просто сгенерировать огромное число разных узлов, можно сделать альтернирующие узлы, такие, в которых на перекрестках нить идет то сверху, то снизу. Эти вычисления гораздо проще, хотя при этом большую часть узлов вы не найдете. В 2007, попробовали найти альтернирующие узлы аж двадцатью четырьмя пересечениями. И теперь нам известны 159 миллиардов 965 миллионов 97353 узла. На самом деле гораздо больше. Теория узлов долгое время была чистой математикой. Все эти алгоритмы, инварианты и таблицы являлись собой знания ради знания.

Но в 1989 химик Джан Пьер Саваше обвязал молекулами ион и меди и впервые создал синтетическую узловую молекулу. Узел трилистник не дает атомам разбежаться и удерживает их в состоянии с большей энергией, за счет чего молекулы обретают новые свойства. Любой узел в молекуле меняет ее характеристики. Нам известно больше 159 млрд узлов. Если завязать молекулу каждым из них, мы получим 159 миллиардов новых уникальных материалов из одной единственной молекулы. Хотя после трилистника до сегодняшнего дня ученым удалось завязать молекулы лишь пятью типами узлов. Это сложно! Нельзя просто поставить отдельные ионы на нужное место.

Приходится строить молекулу так, чтобы она завязывалась в узел сама. Теория помогает обнаружить узлы, которые наиболее подходят молекулярным структурам. Кстати, симметричными узлами всё проще. А еще подсказывает, как расположить самый сложный на сегодняшний день узел. 19: в нем вокруг центрального иона хлорида расположены 192. Эта молекула внесена в книгу рекордов Гиннеса как самый тугой узел, известный в мире. В ней больше всего самопересечений на единицу длины: 8 на 20 нанометров. Поскольку узел завязан вокруг иона хлорида, как только его убирают, молекула становится одним из лучших способов связать хлорид.

Практическое применение этой области пока не развито. Химики заняты тем, чтобы создать молекулярные узлы и только потом задумываются о создании новых материалов. Однако они надеются, что однажды создадут материал прочнее кевлара. Узлы играют важную роль в биологических процессах, которые уже спасли миллионы жизни. Бактериальная ДНК состоит из единственного кольца двуспиральной молекулы. Это значит, что при делении она образует своеобразное зацепление. Пока ДНК в таком состоянии бактерии не могут размножаться. При помощи белка под названием топоизомераза второго типа ДНК бактерии разрезается, а потом соединяется снова. В результате получается тривиальное зацепление и бактерия делится.

Если подавить этот белок, бактерии не смогут размножаться, и более того, умрут. Это и есть принцип работы одних из самых распространенных антибиотиков в мире — хинолонов. Человеческая ДНК, пусть и не имеет кольцевой структуры, довольно длинны и вполне способна запутываться. Каждой клетке нашего тела содержится 2 метра ДНК. Это примерно как засунуть в баскетбольный мяч 200 километров лески. Когда все это неизбежно перепутывается, дело вмешивается человеческое, справляется самопересечение, и антибиотики это останавливают, деление клеток и убивают их. Обычно речь идет о быстро размножающихся раковых клетках. Это распространенный вид химиотерапии. Биологиям теории узлов пригодилась сначала для того, чтобы понять принцип работы топоизомеразы второго типа, заметив, что этот белок снижает число самопересечений в узлах ДНК по два за раз.

Ученые поняли, что он наверняка разрезает и соединяет сразу двойную спираль. Известны и другие причудливые топоизомеразы, воздействующие на ДНК. Теория узлов помогает анализировать, какие узлы они развязывают и завязывают, и в итоге — как они работают. Но узлы образуются не только в ДНК, их находят в базовой структуре одного процента всех белков. Если с узлами что-то идет не так, то белок не работает. Поэтому возможность точно определять тот или иной узел помогает разобраться, как работают белки, как при необходимости их починить или уничтожить.

Вернемся к шнуркам. Оба способа их завязывать сводятся к тому, чтобы сделать два-трилистника один поверх другого. Сейчас завяжу на ноге веревку — так будет нагляднее. Если завязывать против часовой стрелки, то получается два одинаковых трилистника, так называемый Баби узел. Но если завязывать по часовой, то получаются 2-3 листника, как бы в зеркальном отражении. Это называют прямым узлом, и он не так легко развязывается. В общем, так и стоит завязывать шнурки, оборачивая один вокруг другого по часовой стрелке. Большинство так не делает. Я вот обычно не делаю, я обычно так завязываю. Всем знакомые просто узел — это трилист, беседочный узел. Его часто используют, чтобы привязать лодку или что-нибудь еще. Это просто узел 6.2, а любой узел, завязанный без использования концов веревки, это тривиальный узел. Пример: удавка или скользящий узел.

В 2007 году исследователи у них получилось 120 разных типов. В некоторых было целых 11 самопересечений. Оказалось, что, чем дольше крутишь, тем больше вероятность появления узла. Длина веревки тоже её увеличивала, но узлы образовывались с меньшей вероятностью, если уменьшить контейнер. Это ограничивало движение. В общем, чтобы у вас перестали путаться наушники, длину которых не поменять и приходится носить в кармане, лучше упаковать их поплотнее. Реймеры Смит представили модель образования узлов в реальном мире: при помещении нити в контейнер сначала формируются петли. При тряске концы веревки попадают в эти петли и проскальзывают дальше, образуя узлы.

Посмотрим, выходит, сматывание наушников делает только хуже, потому что так мы сразу складываем петли, которые могут легко попасть конец провода. Лучше ограничить его подвижность, положить в коробочку или сделать его плотнее. Плотность ДНК, например, повышается за счет скручивания. Тоже можно сделать с наушниками. Складываю вдвое, беру за петлю и скручиваю, так провод уплотняется по всей длине. После этого он как будто сматывается сам и кажется, как будто он запутался. Но если взяться за противоположные концы и потянуть в стороны, то не останется никаких узлов. За это исследование вручили шнобелевскую премию. Статью цитировали в работах о хирургических катетрах, а кое-какие следы можно найти и в патенте Apple на провода для наушников.

Теория узлов родилась из краха теории всего. В следующие 100 лет она стояла особняком, вдали от остальной математики, и развивалась на силе чистого любопытства. Но в последние годы теория узлов вновь заявила о себе. Сейчас это в каком-то смысле есть теория всего — от спутанных в кармане проводов и новых материалов до химиотерапии. В 1889 году лорд Кельвин произносил речь в Британском институте инженеров-электриков, посвященную провалу его атомной теории. Узлы... Боюсь, в завершении мне придется сказать, что сложности на пути к формулировке полновесной теории всего таковы, что мы не можем даже представить себе указатель, который бы направил нас в сторону объяснения. Но в этот день, через год, я нисколько не сомневаюсь в том, что кажется нам столь загадочным с наших глаз, что сейчас вызывает трудности, впишется в рамки.