Уравнение, которое меняет взгляд на мир [Veritasium]

Вот сайт с шаурмой.

Что общего у поющего крана, множества Мандельброта, популяции кроликов, тепловой конвекции в жидкости и срабатывания нейронов в мозге? И с вот это несложное уравнение.

Скажем, нам нужно смоделировать изменение популяции кроликов. В этом году у вас x животных. Сколько будет в следующем? Разложим, и самый простой способ - умножить начальное количество на коэффициент роста r. И возьмем, например, 2.

Значит, каждый год популяция будет удваиваться. Получается, что количество кроликов продолжит расти экспоненциально до бесконечности. И нам придется добавить сомножитель один минус x, который отразит ограничение окружающей среды.

Тогда x – это доля от теоретического максимума популяции, и значение переменной от 0 до 1. Если x достигнет единицы, это выражение в скобках даст ноль. Так мы ограничиваем численность. Это называется логистическим отображением: x_n + 1 = r * x_n * (1 - x_n).

Популяция следующего года равна популяции этого года. Если составить график зависимости количества животных в следующем году от количества в этом, получится обычная перевернутая парабола. Это самое простое уравнение с отрицательной обратной связью.

Если популяция слишком сильно разрастется, то в следующем году она пойдет на спад. Давайте посчитаем: предположим, у нас очень любвеобильные кролики и коэффициент роста 2,6. Начальная популяция 40 процентов от максимума – это 0,4. Умножаем на 1 минус 0,4. Результат - 0,624.

Это больше начального значения. За год популяция выросла. Но нас больше интересует долгосрочные изменения и тенденции. Для этого возьмем новый результат и подставим его в уравнение. Чтобы процесс шел быстрее, набираем 2,6 умножить на ответ и на 1 минус ответ. Получаем 0,601.

По оценке стало чуть меньше. Повторяем: 0,619, 0,613, 0,617, 0,615, 0,616, 0,615. Сколько бы я ни нажимал "равно", результат, как видите, практически не меняется. Это стационарное значение.

Также все происходит в реальном мире: популяции остаются неизменными благодаря балансу рождаемости и смертности. Теперь давайте взглянем на график этой функции. Четко видно, что значение стабилизировалось на отметке 0,615.

Что же получится, если изменить начальный размер популяции и передвинем заданное значение? Как видите, за первые несколько лет результат сходится к одной и той же точке равновесия. То есть количество животных, с которого мы начинаем, почти не играет роли.

Поэтому гораздо интереснее посмотреть, как будет меняться баланс в зависимости от коэффициента роста r. Как видите, с уменьшением коэффициента уменьшается и стационарное значение популяции. В принципе, логично.

Если пойти дальше и опустить r ниже единицы, то со временем популяция сокращается и просто вымирает. Сейчас давайте составим еще один график. В оси x будет r - коэффициент роста, а по оси y - стационарное значение численности популяции, которая сохраняется на протяжении многих поколений.

Итак, для r меньше единицы любая популяция вымирает, стационарное значение 0. Стоит коэффициенту r пересечь единицу - популяция растет, пока не достигнет равновесного значения. И чем выше r, тем оно будет больше.

Какое-то время все стабильно, а потом начинается кое-что любопытное. При r больше трех график делится на 2. Почему? Что происходит? Сколько бы вы ни прогоняли это уравнение, вы никогда не вернетесь к одному стабильному ответу.

Численность популяции продолжит колебаться между двумя значениями: в один год она будет выше, следующее - ниже, затем выше и снова ниже. Такая цикличность в количестве особей наблюдается и в дикой природе. Кроликов становится больше, затем меньше, а через год снова больше.

Продолжим увеличивать r, и стационарные значения будут расходиться все дальше, а затем снова разделяться. Теперь цикл состоит уже не из двух чередующихся значений, а из 4. Длина цикла, иначе говоря, период удваивается. Это называется бифуркации.

Период удваивается. r продолжает расти, и подобные бифуркации происходят снова и снова, все быстрее и быстрее, создавая циклы с периодом 8, 16, 32, 64. А когда r доходит до 3,50, хаос. Стационарного значения популяции просто нет. Численность скачет как будто по чистой случайности.

Кстати, потому это уравнение легло в основу одного из первых генераторов случайных чисел. Позвали его детерминистским компьютером выдавать непредсказуемый результат. Никакой видимой закономерности или повторов.

Конечно, если известны абсолютно точно начальные условия, можно рассчитать любое значение. Так что эти числа считаются лишь псевдослучайными. Логично было бы предположить, что случайными будут и все последующие значения. Но если r продолжит расти, система вернется к порядку.

Периодически посреди хаоса возникают небольшие периоды стабильности. Например, r 3,83 дает цикл с периодом в три года. По мере того как растет периодичность, будет меняться: 6 лет, 12, 24 и так далее, пока все вновь не обратится в хаос.

Рано или поздно график пройдет через циклы любой периодичности: 3,751, 10,52. Правильно подобрав значение r, можно получить что угодно. Возможно, вы заметили, что эти бифуркации и диаграмма напоминают фрактал.

Ее общий вид очень похож на отдельные элементы. Когда их приближаешь, можно бесконечно увеличивать изображение, и рисунок будет повторяться. Да, это фрактал, один из наиболее известных примеров фрактала - множество Мандельброта.

Деформационная диаграмма - это часть множества Мандельброта. Такой вот поворот. Давайте разбираться, что это за множество. В его основе вот это рекуррентное уравнение.

Для начала нам нужно выбрать какое-то значение для c, и это может быть любое число из комплексной плоскости, и начать z равным нулю. Теперь прогоняем уравнение снова и снова. Если z убегает на бесконечность, то мы знаем, что выбранное значение c не является частью множества.

Но если z остается конечным, сколько бы раз мы не повторили уравнения, значит значение c входит в множество Мандельброта. Давайте попробуем: c равное единице. 0 в квадрате плюс 1 равно 1. 1 в квадрате плюс 1 - это 2, 2 в квадрате плюс 1 - 5, 5 в квадрате плюс 1 - 26.

В принципе, этого достаточно. Однозначно ясно, что если продолжать вычисления, результат убегает на бесконечность, а значит единица не входит в множество Мандельброта. Давайте попробуем c, равном минус 1.

-1 в квадрате минус 1 равно -1. -1 в квадрате минус 10, и это возвращает нас к 0 в квадрате минус 1. Выясним значение функции: продолжит прыгать между -1 и 1, а значит останется конечным. Поэтому c = минус 1 принадлежит множеству Мандельброта.

Визуализации вроде этой, по сути, показывают лишь границы, отделяющие значение c, при которых значение z будет конечным, и на тех, при которых она уходит на бесконечность. Но они не показывают, что это за значение.

Допустим, мы пошли дальше и решили уравнение тысячу раз, а затем добавили к графику оси, это c, где отметили собственно получившиеся решения. Если теперь взглянуть на новый график со стороны, мы увидим уже знакомую нам бифуркационную диаграмму. Она является частью множества Мандельброта.

Так, а что в этом особенного? Дело в том, что для каждого значения c из основной кардиоиды уравнение будет иметь одно стабильное решение. При значениях из основного лепестка будет два чередующихся решения. Идем чуть дальше: уже 4 решения, это лепестки периода 4.

Затем 8, 16, 32 и так далее, пока все не превратится в хаос. Эта часть диаграммы соответствует самому большому участку из тех, что называют антенной множества Мандельброта. Сам у него довольно мало значений.

Дальше появляется еще один лепесток, который в приближении выглядит один в один как все множество. Он соотносится со стабильным участком диаграммы, где период равен трем. Сама деформационная диаграмма располагается на оси действительных и вещественных чисел, так как в уравнении, которое ее описывает, мы подставляли только такие числа.

Но любой ли из лепестков множества вокруг основной кардиоиды имеет собственный цикл со своей периодичностью, скажем, в три, четыре или пять? Отсюда и появляются эти странные призрачные лепестки, расположенные по оси z. Для этих значений c решения также будут чередоваться.

Мне кажется, это просто невероятно красиво. На случай, если красоты вам мало, можем подумать, помогает ли все это рассчитывать численность популяций. Как ни странно, да, особенно удачно в контролируемых лабораторных условиях.

Признаюсь, меня просто восхищает, когда одно несложное уравнение внезапно находит применение во многих не связанных друг с другом областях науки. Первое экспериментальное подтверждение пришло из гидродинамики благодаря ученому по фамилии Хабер.

Он наполнил небольшой прямоугольный контейнер ртутью и, используя небольшую разницу температур, запустил в нем процесс конвекции. Таким образом, в контейнере образовались два вращающихся цилиндра жидкости. Для большего не хватило места снять крышку и заглянуть внутрь.

Он не мог, поэтому погрузил туда датчик и стал следить за температурой. По началу ничего необычного: данные показывали стабильные периодические колебания температуры. Логистическое отображение показало бы схождение к одному значению.

Разница температур постепенно росла, и внезапно данные с датчика изменились. На цилиндрах появились заметные колебания. Пик сигнала теперь приходился не на одно, а на два разных значения, которые чередовались между собой, и это был цикл с периодичностью 2.

Когда температура поднялась, и еще период снова удвоился, жидкость поочередно нагревалась до четырех разных значений. А затем цикл повторялся. Еще одно удвоение - до восьми. Отличное подтверждение теории с помощью прекрасно поставленного эксперимента.

Но это было лишь начало. Ученые, которые исследовали реакцию глаз человека и саламандры на мерцающий свет, также столкнулись с феноменом удвоения периода. Начиная с определенной частоты мелькания, наш глаз начинает реагировать только на каждую вторую вспышку.

Что поразительно. На графике представлены и в их статьях. Это бифуркации на их диаграммах хоть и не такие аккуратные, ведь они основаны на дальности, и они на моделях.

Еще в одном исследовании ученые специально вызывали у кроликов фибрилляцию сердца. Видимо, решили, что популяция окончательно вышла из-под контроля. Для тех, кто не знает, фибрилляция - это когда сердце начинает биться хаотично, теряет возможность полноценно качать кровь, и без оказания помощи наступает смерть.

Так вот, и результаты показали, что перед началом фибрилляции сердечный ритм проходит через уже знакомые нам стадии удвоения, а потом становится хаотичным. Сначала пульс был ровным. Потом начинался цикл с периодом 2, затем с периодом 4, 4 ритмичных ударов, а потом повтор. Затем наступала полная аритмия.

Занятно, что в этом случае исследователи следили за сердцебиением в реальном времени. С помощью теории хаоса пытались рассчитать, когда именно стоит применять электрические разряды, чтобы вернуть пульс в прежнее русло. Им это удалось. То есть сначала они сбивали сердечный ритм с помощью хаоса, а затем искали способ наиболее эффективно использовать дефибриллятор, чтобы привести пульс в норму.

Затейливо, правда? Но и наконец, пора бы вспомнить о протекающем экране. Почти наверняка большинству из вас кажется, что капли падают с определенной периодичностью. Но благодаря большому количеству экспериментов теперь мы знаем, что, если экран начинает протекать сильнее, происходит удвоение периода, и капли начинают падать парами: кап-кап-кап-кап-кап.

Рано или поздно кран становится примером хаотической системы. Главное, чтобы вода правильно подтекала. Несмотря на то что в водопроводных трубах более или менее стабильное давление. Но при нужных условиях, и если вы не будете чинить кран, можно получить хаотичное подтекание.

Если захотите, можете сколько угодно экспериментировать с этой простой и доступной хаотической системой. Идите на кухню, покрутите экран и пусть вода из него капает как никогда хаотично. Деформационная диаграмма встречается повсюду. Настолько часто, что становится жутковато.

И вот что я вам еще расскажу, только не пугайтесь. Один физик, Мечел Фейгинбаум, хотел понять, когда именно происходят бифуркации. Он разделил длину участка до одной точки бифуркации на длину участка до следующей и получил постоянное значение 4,669.

Теперь это называется постоянной Хейденбаума. При изменении параметра бифуркации происходят все чаще, а отношения между интервалами остается постоянным. Никто не знает, откуда взялась эта постоянная. Идей, похоже, не связано с какой-либо другой известной нам физической константой.

Это одна из фундаментальных постоянных природы. Еще невероятнее, что само уравнение не обязательно должно иметь ту форму, которую я показывал в начале видео. Подойдет любая функция с одним максимумом. Если уравнение просчитывать тем же образом, пусть это будет x плюс 1 равно синус x.

Про решите уравнение снова и снова, и вы неизменно увидите каскад бифуркаций с соотношением между участками равным все той же постоянной 4,669. Любая функция с одним максимумом при многократном прогоне приходит к одной и той же постоянной.

Почему так происходит? Этот феномен называется универсальностью. Есть какая-то фундаментальная и универсальная связь между уравнениями такого типа и значением этой постоянной.

В 1976 году биолог Роберт опубликовал в журнале Nature статью об этом уравнении и совершил настоящую революцию в своей области. Статью цитировали тысячу раз. Помимо прочего, в ней он говорит о том, что это простое уравнение должно войти в учебную программу.

Ведь она позволяет понять, как что-то простое вроде небольшого уравнения может породить сложнейшие системы. И вот, к сожалению, и сейчас далеко не все его изучают. Мы ограничиваемся простыми уравнениями с простым результатом, ведь они легки и всем понятны.

Никто не хочет пугать учеников хаосом. И возможно, зря. Может, все-таки стоит хоть как-то познакомить. Я пришел в дикий восторг от идеи хаоса и от этого уравнения и все никак не могу понять, почему я только сейчас в 37 лет узнаю про постоянную Фейгинбаума.

Я думал о том, чтобы снять это видео с тех самых пор, как прочел книгу Джеймса Глейка "Хаос". И вот, наконец-то, у меня дошли до этого руки. Надеюсь, получилось достойно, потому что меня эта тема привела в восторг. Надеюсь, у вас тоже.

Переведено и озвучено студией "Вверх".