Мнимые числа реальны: #10 Функции комплексных переменных [Welch Labs]
Вот сайт с шаурмой. Likes. [Музыка].
Так что же это такое? 9 серий назад я сказал, что без этого не решить одно квадратное уравнение. С тех пор больше про него не упоминал. Многие, наверное, подумали, что этот простенький спецэффект добавлен в видео ради наукообразности и привлечения аудитории. Не делайте поспешных выводов.
Давайте вспомним, как мы получили этот график. Мы взяли уравнение, которое на первый взгляд не имеет корней: x квадрат плюс 1 равно нулю. Но теперь, в 10 серии, мы научились решать подобные задачи алгебраически. Вычитаем единицу из обеих частей уравнения, извлекаем из них квадратный корень, получаем 2 ответа: плюс и минус мнимую единицу. Отлично, но как из этого получается вот такой график?
Что ж, пора познакомиться с функциями комплексных переменных. Большинство из вас, думаю, знакомы с функциями вещественных чисел. Это те, в которых аргументы функции, то есть x, и значения функции, то есть y, выражаются вещественными числами. Это значит, оба лежат на обычной числовой прямой. Чтобы нагляднее показать зависимость значений от аргумента, будет удобно расположить прямую для x, например, горизонтально, а прямую для y вертикально, сменив их нули.
И вот у нас получилось так называемая декартова система координат. Считается, что в 16 веке её придумал Рене Декарт, наблюдая за ползающими мухами. Получившаяся система отлично показывает взаимосвязь между двумя переменными. Мы можем взять какую-нибудь странную абстрактную форму, луи, представить её в наглядной и понятной графической форме в виде графика, придумав, как задавать точкам координаты.
Декарт связал вместе две крупнейших на тот момент области математики: алгебру и геометрию. Современникам Ньютона это помогло классифицировать функции. Даже новейшие проблемы не реже решаются этим довольно старым инструментом, например, выявление закономерностей в наборе данных. И все бы здорово, но есть у декартовых координат некоторые ограничения. Они работают только в двух измерениях, и это очень существенный недостаток.
Если нам нужны функции комплексных чисел, в них аргумент — это комплексное число, и значение функции, как правило, тоже такие. Значения x и y уже нельзя отложить на одномерной числовой прямой. Нам нужны двумерные комплексной плоскости для аргумента и для значения функции. Возникает вопрос: как нам показать зависимость y от x, если для каждого числа вам понадобится два измерения? Как показать две плоскости одновременно?
Первое, что приходит в голову: сделать что-то вроде декартовых координат, только оси расположить похитрее. И вот тут мы сталкиваемся с проблемой. Возможно, вы замечали, что в нашей вселенной всего три пространственных измерения, а для задачи нужно четыре. Построить четырехмерную структуру в трехмерном пространстве никак не получится. [Музыка]
Но знаете, оказывается, можно решить эту задачу и по-другому. Для этого математикам понадобилось получше изучить комплексные функции. Пусть первая идея казалась не такой удачной, но это не повод полностью отказываться от двух отдельных плоскостей. Снова вернемся к исходной функции: f от x равно x квадрат плюс один. В дальнейшем нам будет проще, если мы её немного переделаем. Обозначим аргумент не как x, а как z, а y значение функции — w.
Мы знаем, что у z и у w есть вещественные и мнимые части. Давайте их тоже как-нибудь обозначим. Пусть z равно x плюс и на y. x — вещественная часть, а y — мнимая. w равно y плюс и на v. Мы уже пользовались табличкой, чтобы записывать аргументы и значения функции. Правда, тогда у нас были функции с вещественными переменными, сейчас же нам понадобится таблица побольше. В ней будут переменные x, y, у и в.
Что же мы теперь можем сделать? Функция f от z равно z квадрат плюс один. Можно поставить функцию — комплексное число, скажем, z равно 1 плюс i, и с помощью алгебры посчитать, что w будет равно 1 плюс 2i. И отметим полученные точки на соответствующих плоскостях. Смотрите: 1 плюс i на плоскость z стало 1 плюс 2i на плоскости w.
Возьмем побольше точек и поищем закономерности. Оказывается, если мы нарисуем из точек линию, то на второй плоскости она превращается в дугу. Любопытно, но подставлять точки вот так по одной довольно утомительно. Так что, пусть вместо нас расчетами займется компьютер.
Раз он такой быстрый, пусть прочитает смещение вообще всех точек. Для компьютера изображения на экране монитора — это по сути куча пикселей на координатной сетке, а видео — это последовательность изображений. У меня есть немного кода на Python, который перенесет каждый пиксель исходного видео в заданную формулу и положение. То есть, она сначала задаст каждому пикселю координаты в виде комплексного числа на комплексной плоскости, а затем подставит это число в функцию z квадрат плюс один в качестве аргумента z и принесет на плоскость w.
Программа автоматизирует то, что мы делали вручную. Если у нас на входе был синий пиксель в точке 1 плюс i, то функция переместит его в точку 1 плюс 2i на выходе. Ведь как мы знаем, при аргументе 1 плюс i функция равна 1 плюс 2i. Будет любопытно взглянуть, что получится в итоге, если простую линию так изогнула. Что же случится с целым видео?
Я добавлю кое-какие отметки, чтобы было проще ориентироваться в пространстве, но цвет пикселей трогать не буду. Все готовы? Начнём с чего-нибудь попроще. Горизонтальная стрелка вдоль оси x на входе практически не отличается от стрелки на выходе. Теперь пройдем в положительном направлении мнимой оси. На выходе стрелка смотрит в другую сторону. Добавим еще линии, чтобы найти закономерности.
Смотрите: семейства прямых линий превращается в семейство кривых. Круто, да? Однако закономерность есть, но как она связана с функцией z квадрат плюс 1? А главное, как это всё расширяет наше понимание комплексных чисел? И чего бы ещё такого интересного и познавательного нам нарисовать? Может, у вас есть идеи? В следующий раз обязательно попробуем что-нибудь новое. До скорого!
Переведено и озвучено студией Art Dai Dar.