ЗАЧЕМ НУЖНЫ ЭТИ... интегралы! Математика на QWERTY
Всем привет! Вы ждали? Мы вернулись на научно-популярном канале Qwerty. С вами снова популярная математика, рубрика «Зачем нужны эти интегралы».
Сегодня будем говорить об интегралах. Напомню для тех, кто все пропустил: мы уже поговорили про производные, про тригонометрию, про графики. Смотрите, узнавайте, надеюсь, что что-то интересное для себя вы знаете. Но сегодня интегралом, конечно, бытует мнение, и все наверняка знают эту старую шутку: зачем вообще нужны интегралы? Что, если вдруг шляпа пойдет в лужу, то можно проволоку согнуть в виде интеграла и достать эту шляпу?
Сегодня я попробую поговорить о чуть менее тривиальных применениях интеграла. Но, как всегда, сразу оговорюсь, что если вы ждете, что я сегодня отвечу на вопрос: «Зачем, например, нужен интеграл продавцу в магазине?» — он не зачем мне нужен, можете заканчивать смотреть это видео. А если вы хотите все-таки узнать, где он реально применяется на практике, тогда добро пожаловать!
Многие говорят слово «интеграл», но не очень понимают, как такового понятия просто «интеграл» нет. Есть понятие неопределенный интеграл, есть понятие определенный интеграл. Помимо этого, еще бывают там интегралы по поверхности, двойные интегралы, кратные интегралы и так далее. Но вот если брать так совсем простые объекты, бывают неопределенные интегралы и определенные интегралы.
Начнем с неопределенного интеграла. Что такое неопределенный интеграл? Вы, некоторые из вас, по крайней мере, я уверен, знаете, что такое производная. Это была как эта функция, а мы у нее меряем скорость роста в каждой точке, и вот получаем некую новую функцию, которая показывает, насколько быстро исходная функция росла. Теперь же мы делаем все наоборот. То есть по производной находим ту функцию, которая была. Вообще говорят, этих функций несколько, потому что некоторые из вас знают, что производная константы — это ноль. Поэтому я могу любую константу дописать к исходной, которую хочу получить, и от этого производная не поменяется.
Но вот это действие нахождения функции по ее производной, точнее, обратное действие по отношению к дифференцированию, и называется интегрирование. И вот то, что мы находим, это и есть неопределенный интеграл. То есть множество функций, производные от которых равны данной.
Кому и зачем это надо? Ну, понятно кому и понятно зачем! Еще раз напоминаю: посмотрите наш ролик про производные, и вы вспомните, что есть куча моделей, которые описываются с помощью функций и их производных. Стало быть, если мы хотим найти эту функцию, нам надо уметь иногда по производной функцию находить — вот этим и занимаются интегралы, по сути!
Да, то есть если вам дано, насколько быстро меняется какая-то функция, благодаря интегралу вы можете найти саму функцию. Исходным переведу совсем на пальцах: представьте себе, что у вас есть машина, и в каждый момент можете оценить скорость этой машины. Вам же полезно было бы узнать, какой путь она проехала за некоторое время. Так вот, оказывается, что если вы можете записать скорость в виде функции и взять от него интеграл, то таким образом вы найдете функцию, которая описывает перемещение вашей машины.
Аналогично, если у вас есть ускорение... Вы, наверное, знаете, что такое интегралы. Умея интегрировать, вы можете найти скорость. Вот фактически зачем нужен интеграл!
Кроме этого, есть понятие определенного интеграла. Определенный интеграл сильно связан с неопределенным, но сейчас не будем лезть в глубокую теорию. Поговорим опять же о несложной практике, которую может быть даже некоторые знают.
Вот представьте себе произвольную функцию, то есть какая-то загогулина — линия на плоскости, которая описывает график некоторой функции. Если я возьму определенный интеграл на этом промежутке от вот этой самой функции, то, таким образом, значение определенного интеграла будет равно площади под графиком этой функции. И тут мы понимаем с вами, что если вдруг фигура была бы простой, например, это была бы прямая, это будет просто трапеция. То площадь трапеции считается легко — есть формула.
Но если это такая вот загогулина, то как посчитать площадь? Примерно никак! А вот с помощью интеграла можно. Вот эта идея нахождения площади под графиком или, если мы перейдем от одномерных интегралов к двумерным, от площади перейдем к объему. Представьте себе, что у вас есть какая-нибудь труба, у которой сечение неоднородное. То есть оно может быть чем угодно — не обязательно круглым.
И вот надо понять, какой у этой трубы объем, как его померить. Как вариант, взять интеграл от вот этой вот площади сечения. Если мы можем посчитать в каждом случае данную площадь, посчитать чуть проще, чем объем, и получить результат. Кстати, многие машины, которые анализируют содержание какого-то газа, они часто так примерно и делают. То есть вот входит какое-то количество газа, там исходно, потом чуть больше, больше, больше, потом поменьше — и вот берется интеграл от этой функции. В каждую секунду отслеживается, сколько там, например, газа содержалось в том объеме воздуха, который поступил, и дальше анализируется.
В общем, языке очень часто можно посчитать массу объекта, зная его плотность. Если представить себе, что объект имеет одинаковую плотность — все вы, наверное, знаете, да, что масса это плотность умножить на объем. Это известная формула. Но а что делать, если плотность разная? То есть представьте себе, что объект неоднородный. А в этом случае опять же нужно взять интеграл от соответствующей функции плотности.
Как она меняется? Функцией плотности — групповой. Точно так же все вы прекрасно знаете, ну те, кто знает физику, как связаны сила и работа. Опять же, интеграл от силы дает нам работу. Подобные вещи, я думаю, встречаются в большом количестве математических моделей. Поэтому про них глупо было бы не поговорить.
Аналогичные интегралы используются и когда мы должны найти электрический заряд, зная, соответственно, силу тока. Да, тоже интегрируем эту функцию, получаем... Обращая также ваше внимание, что если мы говорим про переменную плотность, многие из вас знают, есть такая известная задача про Архимеда, который пытался понять, корона она сделана из чистого золота или из золота и серебра. Когда нужно было просто померить объем, но там все знают, в Эврика, когда он там вам... воду вытесняется и так далее.
В общем, он научился объем считать через объем вытесненной воды. Но с точки зрения массы этот подход не сильно работает, да, потому что раз плотность переменная, это как он массу найдет, зная объем? А вот если мы, допустим, можем с помощью какого-то там сканера и так далее только читать вот эту переменную плотность, то таким образом мы сможем найти и массу.
Так что я очень надеюсь, что после сегодняшнего ролика, да, в соответствующей шутке, когда говорят зубных петель, у нас, да, как найти площадь ленивца? На некоторые ответ шутят: «На длину ленивца умножить на ширину ленивца». Вы уже будете чуть более грамотно и скажите, что нет, ничего подобного! Чтобы найти площадь ленивца, надо, конечно, брать интеграл по поверхности.
Я надеюсь, что вам понравилось сегодняшнее видео, и если это так, то пожалуйста, ставьте лайки или дизлайки, если не понравилось. Не забывайте подписываться на наш канал. Ну и хочется верить, что интегралы сегодня стали к вам немножко ближе. Пока-пока!