Математика настолок и Аффинная геометрия. #РеальнаяМатематика
Всем привет, друзья! С вами Георгий Вольфсон, и это реальная математика на канале. [Музыка] Кстати, пришло лето, пора отпусков, каникул, а значит, и настольных игр. И вот недавно сижу я со своим сыном, играю в настольную игру, которую, может быть, многие из вас знают, называется она «Доль». У нас вот такое издание, связанное с Гарри Поттером, но тем не менее суть, думаю, многим из вас известна.
История там состоит в том, что есть ряд карточек, на каждой карточке есть картинки, и твоя задача — находить одинаковую картинку между своей карточкой и той, которая выложена в серединке. Ну вот, например, если взять сейчас вот эти две картинки, вы можете приглядеться, поставить видео на паузу, и после этого найти, что там одинаковое. Ну вот я уже вижу, что там одинаковая метла, которую я мастерски исходно закрыл своим пальцем.
А так вот прикол в том, что в этой игре, когда карточки меняются, оказывается, что у любых двух карточек всегда есть ровно один совпадающий элемент. Но всегда ровно одно, то есть ни два, ни три, и не ноль. И мне, конечно, стало интересно, как это работает, почему так происходит, и вот в этом мы сегодня с вами и разберёмся.
Поехали. Начнём с простого. Предположим, я хочу создать свою игру «Доль», и мне нужно придумать такие карточки, чтобы у каждых двух что-то совпадало. Пока давайте уберём вот эту историю, что совпадает ровно один элемент, нужно, чтобы совпадало что-то. Как это можно сделать? Допустим, у меня есть девять разных картинок, вот назовём их A1, A2, и так далее до A9. Это разные наши элементы. Ну, я не буду их рисовать, просто назвал. И предположим, что на карточку я рисую пять картинок, любые пять из этих девяти. Тогда я утверждаю, что на каждых двух карточках что-то совпадёт.
Можете поставить на паузу и попытаться доказать действительно. Предложим против. У меня есть одна карточка, на которой есть пять картинок, есть другая карточка, на которой тоже пять картинок. И предположим, что эти картинки не совпадают. Тогда очевидно, что у нас есть как минимум 10 разных картинок — пять слева, пять справа. Ну, а с другой стороны, по условию я брал всего лишь девять разных картинок. Значит, получили противоречие. Таким образом, на каждых двух карточках совпадут.
А сколько всего таких карточек будет? Но это уже комбинаторная задача. Некоторые из вас знают, да, число способов выбрать пять элементов из девяти — это так называемое число сочетаний из девяти по пять, находится вот по такой формуле: 9 на 8 на 7 на 6 на 5, делённое на 5 на 4 на 3 на 2 на 1. Ну и можно это посчитать, получается 126 вариантов. Вот то есть 126 вот этих карточек я могу сделать.
А правда, вы возможно заметили, что в моей версии игры «Доль» восемь картинок на каждой карточке. Кроме того, не забудем, что мне-то исходно хотелось, чтобы было ровно одно совпадение. А здесь может получиться так, что на первой карточке, допустим, картинки с первой по пятую, а на второй карточке со второй по шестую, тогда совпадение будет четыре — многовато, да? Ну, то есть это будет тогда нечестная игра, что вот на каких-то двух, когда я ищу, допустим, только одно совпадение, а мой партнёр ищет, и у него четыре совпадения, конечно, ему найти проще.
Окей, движемся дальше. Чтобы было ровно одно совпадение — есть банальный способ. Можно просто сказать: давайте на каждой карточке нарисую Гарри Поттера, тогда всегда будет ровно одно совпадение. Но это не очень интересная история. И вот теперь, давайте будем рассуждать более серьёзно: что же мы хотим? Мы хотим реально, чтобы у нас совпадение было всегда ровно одно.
Ну и, допустим, пока давайте начнём с простого: на каждой карточке будет всего по две картинки, только две. Можем ли мы этого добиться? В общем, да. Смотрите, допустим, если у меня картинки вот такие: A1, A2 и A3, то я беру первую карточку A1, A2, вторую карточку A2, A3, и третью карточку A1, A3. Да, не сложно видеть, что у меня всего три карточки возможны, но зато у каждых двух есть ровно один общий элемент. У первой и второй — это A2, у первой и третьей — это A1, и у второй и третьей — это A3.
То есть я, в общем-то, добился своего для такого маленького случая. Если мне захочется сделать так, чтобы было по три картинки, это уже будет немножко сложнее. И вот, чтобы к этому прийти, давайте мы чуть-чуть уйдём в серьёзную математику.
Выясняется, что здесь применяются методы так называемой конечной геометрии. Что это такое? Давайте разберёмся. Когда говорим о геометрии, у нас есть разные объекты: те же самые точки, прямые, отрезки, углы, треугольники. Потом мы что-то такое доказываем про равенство треугольников; иногда там вводим какие-то ещё более сложные фигуры, параллелограммы, ромбы, трапеции — в общем, много-много всего на плоской.
Но начинается всё, ещё раз, с вот этого бесконечного множества точек. Кстати, попробуйте ответить на вопрос: а что такое линия, и что такое изгиб? Я тут же могу спросить, а что такое изгиб, и так далее. И вот если вы попробуете дать подобное аккуратное определение, вы поймёте, что это просто невозможно, потому что на что-то нужно опираться. Если вы скажете: это точка, то я тут же вас спрошу: а что такое точка?
Поэтому в геометрии обычно прямая считается так называемым базовым понятием, то есть не определяемым. Прямая, прямая и плоскость — это три базовых понятия. Но то, что мы понимаем, что на любой прямой точек бесконечно много, точно так же, как и на плоскости. А давайте теперь предположим, что у нас точек всего вообще две, то есть вот я нарисовал, да, у меня есть раз точка A и два точка B, и больше никаких точек нет. То есть между ними никаких точек нет, вокруг никаких точек нет — только две точки.
Я могу провести прямую через них. Заметим, что вот я могу считать прямую. Вот это A мог бы считать прямой, и вот это, в принципе, мы не привыкли к тому, что прямая выглядит вот так. Но какая, собственно, разница? В данном случае мне важно, что на этой прямой лежат мои две точки, то есть точки A и B лежат на данной прямой. Как уж я её изобразил — это на самом деле в данном случае дело десятое. Давайте мы вспомним аксиомы, как у нас были аксиомы в обычной геометрии.
Первая аксиома: через любые две точки проходит единственная прямая. То есть у меня не может быть так, что вот есть одна прямая через точки A и B, и есть вторая прямая через точки A и B. Это плохо. Ну, пока всё точно так же, как у нас в нашей обычной геометрии. То есть действительно, через любые две точки мы можем провести. Вторая аксиома: тоже проходит единственная прямая, не пересекающая данную.
То есть когда мы говорим о плоскости, вот у нас есть прямая, есть точка вне её, и есть так называемая аксиома параллельности, что в этой плоскости существует единственная прямая, которая проходит через эту точку и параллельна нашей исходной прямой. Вот несколько нельзя — это так называемый пятый постулат Евклида. Да, если провести их несколько параллельных, мы придём уже в геометрию нечётких чисел.
Но когда мы говорим о конечном количестве точек, то там начинаются очень интересные штуки. Например, вот возьмём четыре точки и попробуем провести через них прямые. Ну, скажем, вот одна прямая, её в принципе можно дальше и не проводить уже. Вот две прямые. Они у меня не пересекаются, тут всё понятно. А как насчёт вот таких двух прямых? Смотрите: раз и два, а вот они пересекаются. Оказывается, что нет! Они тоже в каком-то смысле параллельны. Если мы назовём параллельными те, которые не пересекаются, то вот эти две зелёные не пересекаются.
Но действительно, у нас же всего четыре точки есть: вот эти там A, B, C и D, и прямые AC и BD (общих точек не имеют). Вот то, что вам кажется, там где-то посерединке — они вот тут вот пересеклись, нет? Там же пустота. У нас точек всего четыре. Ну, правда, это ещё пока не окончательное множество, потому что здесь мы не соединили AB и CD. А вот теперь подобная картинка уже удовлетворяет обеим аксиомам. То есть действительно, у нас любые две точки соединены прямой, притом только одной.
Кроме того, через любую точку можно провести прямую, параллельную данной, если точка не лежит на ней. На самом деле там есть ещё одна аксиома — что существует четыре точки, не лежащие на одной прямой, в том смысле, что не все они на одной прямой. В общем, можно взять, например, углы квадрата. Вот такая вот интересная геометрия, она ещё называется аффинной геометрией. В школе она обычно не проходится, тем не менее у неё есть ряд полезных свойств, которые тоже используются.
Мы с вами сейчас поговорим про другое, потому что нам-то понадобится ещё более хитрая штука. Давайте попробуем построить вот на том же самом множестве точек небольшом, пока точки, попробуем построить такую геометрию. Первая аксиома та же, то есть что через любые две точки можно провести единственную прямую, а вот вторая — что любые две прямые имеют общую точку, притом одну.
На самом деле то, что одну, можно не говорить, потому что если они имеют две общие точки, две разные прямые, то через эти две точки мы смогли провести две прямые, что противоречит первой аксиоме. Ну и вот если мы возьмём три точки, тут всё понятно. Вот, пожалуйста, я провёл три прямые, все три пересекаются попарно, да, то есть любые две имеют общую точку, тут всё ясно.
А что делать, если я хочу побольше? Например, давайте возьмём вот такую вот картинку, более хитрую. Давайте в этом треугольнике я проведу три медианы. Напомню, медиана — это отрезок, который соединяет вершину с серединой противоположной стороны, и нарисую такую вот, типа, окружности, которая проходит через середину сторон.
На этой картинке вы можете, конечно, предположить, сколько прямых я сейчас изобразил. Вот, парадоксально, но факт: прямых здесь семь. То есть три красные, три чёрные и одна оранжевая. Интересно, что в обычной нашей геометрии мы бы сказали, что проведены шесть отрезков: три красные, три чёрные и одна, ну, почти окружность, чуть кривовато, тем не менее если мы говорим о так называемой проективной геометрии, то есть в которой мы сейчас и находимся, да, где вот э... вторая... Помните? Фин.
Вот, у нас, пожалуйста, семь прямых — одна оранжевая, три красные и три чёрные. Точек у нас тоже конечное количество. Видите, их семь. Да, вот назовём их там A, B, C, D, E, F и точка G. А теперь заметим, что вы можете проверить: любые две прямые действительно имеют общую точку, притом ровно одну. Да, то есть, какие прямые не возьми — например, чёрная прямая A C, да? Она имеет общую точку C, с C E — общую точку A, с A E.
То есть чёрная с чёрной, да, всегда имеет общую точку. Чёрная с красной — две медианы выходят из концов AC, то есть AD и CF, значит, у них есть общая точка. B приходит в точку B, которая лежит на AC. Так что опять же с красными есть общая точка. Ну и с оранжевой тоже точка B. То же самое можно доказать и для красной прямой и для оранжевой; у всех у них есть ровно одна общая точка.
Кстати, это чем-то похоже, знаете, на такую карту метро, где мы строим разные ветки, и между ними должны быть станции пересадок. Но теперь, собственно, вспомним, с чего мы начали. А начали мы с «Долли». Вот оказывается, что эта самая диаграмма решает задачу о построении карточек для «Долли» для трёх картинок на одной карточке. Действительно, давайте будем считать, что одна прямая — это одна карточка, а точки — это картинки. Соответственно, вот прямая или первая карточка — это ABC, вторая прямая — CDE, третья прямая — AFE, четвёртая — G, пятая — CGF, шестая — BGE, E и последняя оранжевая — BDF.
Вот несложно убедиться, вы можете проверить это. Невероятно, но факт: у любых двух карточек, какие вы тут не возьмите, будет ровно одна общая картинка. Ну, то есть общая точка — это следует ровно из второй аксиомы, то есть мы же так строили, что любые две прямые имеют ровно одну общую точку. Отдельный вопрос, как до этого догадаться. То есть на самом деле тут существует ряд хитростей, как к этому прийти.
Вот, и тем более насколько сложно будет выглядеть подобная картинка, если на каждой карточке будет не рисунка, а имена — вы можете посмотреть на экранах вот несколько вариантов, вот так они выглядят, да, для соответствующего количества картинок на карточке. Интересно также то, что вот здесь у меня для тройки получилось семь карточек, да, то есть для трёх картинок карточек — семь.
Для каждого количества есть соответствующая общая формула, она тоже сейчас у вас перед глазами. Ну, где N — это соответствующее количество картинок на карточке. По ней можно прикинуть, что для игры «Долли» подходит 57 карточек. 57 — для классического варианта, между прочим. Особенно въедливый могут заметить, что в том же классическом варианте игры 55 карточек в коробке. Почему именно 55? Очень смешная история. Я почитал интервью с разработчиками, они сказали следующее: что исходно правила игры занимали ровно пять карточек.
Вот они правила печатали тоже на карточках, таких же, так как из соображений там экономии места и так далее им удобнее было в коробку класть по 60 карточек ровно. То вот из них пять сделали правило, а остальные, соответственно, с уже картинками. Ну, а сейчас такой необходимости нет, но решили: раз уж классический элемент с P5, то 55 оставим. А так можно делать, конечно, не 57. Вот такая вот история, друзья.
То есть, как видите, высокая математика, на самом деле, да, такая конечная геометрия — аффинная, проективная геометрия помогли нам осознать, как устроены карточки в настольной игре, в которую многие из вас играли, не задумываясь об этом. А, написать, кстати, программку, которая делает несложным перебором набор вот этих карточек, её не так трудно. То есть, если кто увлекается программированием, я думаю, что вот вы сядете и за вечер точно такое напишите — там соответствующая матрица получается, в которой единички соответствуют номеру карточки и картинки, которые на эту карточку попадают.
Вот такие вот дела. Ну а у меня на этом всё. Отдыхайте летом, не забывайте подписываться на канал, чтобы не пропускать наши новые ролики, и до новых встреч. Пока-пока!