Ю.И. Зайцева. Алгебраические моноиды. Семинар 1

23m read

·Nov 1, 2024

Сначала я скажу что-нибудь такое общефилософское, водное. Вот давайте я нарисую вертикальную прямую, горизонтальную прямую, параболу y = x ква, синусоиду. Ну как-то так, модуль и квадрат. Вот вопрос такой: это одинаковые объекты или разные? Разные, разные.

Ну так да, смотря с какой-то точки зрения. В принципе, конечно, разные. Да, но с другой стороны, смотря с какой точки зрения посмотреть. Вот например, если посмотреть на эти две прямые, то можно так вот голову наклонить, и они станут одинаковые. Да. Вот, но так, ну в целом, если у какого-то произвольного человека спросить, то я думаю, он считает, что это всё разные объекты.

Но если вы случайно встретите какого-то человека, который занимается теорией множеств, то он скажет, наверное, что это всё одинаковые объекты. Да, потому что это всё множество мощности континуума. А, но вот если вы не знаете, найдёте человека, который занимается гладкими многообразиями, то как вы думаете, что он вам скажет? Ну он скажет, что тут два вида объекта. Да, есть два вида объекта: вот это — всё это одно и то же, такая гладкая кривулька, да, а вот это — это ерунда какая-то, такого вообще не бывает.

Вот, ну непонятно, что это такое, он скажет, что там четыре объекта. А почему четыре? Фигня, это не объект. А, ну вот это мне кажется тоже не объект, тут вот есть не гладкая точка, не гладкое разбиение. Ну да, ну понятно. Вот, а я попробую что-то рассказать про аффинную алгебраическую геометрию. А это такие ребята, которые считают, что вот эти три объекта — это одинаковые, а всех остальных — это ерунда какая-то, вот не существует такого.

А, ну вот мой курс будет посвящён алгебре моноидов, это аффинная алгебраическая многообразия с некоторой дополнительной структурой. Но сначала я хочу какое-то время потратить на то, чтобы объяснить что-то про аффинную алгебраическую геометрию. Возможно, это займёт значительную часть первой лекции.

А можно я проведу соцопрос? А кто из вас ещё только закончил десятый-одиннадцатый класс? Ага, а кто из вас уже знает, ну, какой-то курс слушал про аффинную алгебраическую геометрию? К счастью, таких людей не очень много. Хорошо, если вам будет скучно на первой лекции, вы можете подумать, почему множество обратимых элементов в аффинной алгебре моноидов открыто в этом моноиде. А я тогда начну вот с каких-то основ аффинной алгебраической геометрии.

Если я буду произносить случайно какие-то слова непонятные, то вы меня, пожалуйста, спрашивайте, задавайте вопросы. Я буду стараться не забывать слова определять, но могу. А, ну вот основное определение: это один... Пусть X — это подмножество в векторном пространстве. Но я не буду думать, что это векторное пространство, это вот просто множество из N чисел, каждое число будет у меня комплексным. Вот оно называется замкнутым в топологии Зари.

Я пока не буду это писать: подмногообразие у нас никакой другой топологии не будет, если оно просто задано полиномиальной системой уравнений. Если X — это множество решений полиномиальной системы уравнений f1, f2 и так далее, fk, многочленные от нескольких переменных, вот от N переменных от x1, xn, и приравнивают на такие точечки x1, xn, которые являются решениями этой системы.

Ну какие вот примеры можно привести? Во-первых, всё C^N является алгебраически замкнутым подмногообразием, потому что можно не написать никаких уравнений или написать уравнение 0 и будет удовлетворять условиям. Ещё точка является замкнута подмногообразием. Какие уравнения нужно написать, чтобы получилась точка как корня? Да просто написать: вот первая координата такая-то, вторая координата такая-то и так далее.

Ну ещё из каких-то родных вещей есть окружность. Да, она задается уравнением x^2 + y^2 = 1. Ещё есть парабола, например, x^2 - y = 0. А ну давайте что-нибудь трёхмерное нарисую, конус, например. Так, я пыталась понять, как мне его нарисовать. Вот конус можно задать уравнением xz - y^2 = 0, он будет как-то так выглядеть, понятно? Да, какой? Ну в две стороны такой конус бесконечный, и сюда, и туда.

Ладно, хорошо. Я думаю, что понятно. Ну ещё пустое множество, напишу, как получить пустое множество. Ну, синусоиду моду получить нельзя, да, вот синусоиду и модуль такими уравнениями получить не выйдет, это, конечно, можно ещё попробовать доказать. Да, может быть, мы просто плохо старались. А как-нибудь, ну и что, может быть, вот, можно так поднапрячься и написать какие-нибудь много-много многочленов от xy и задать синус — это, кстати, хорошее упражнение!

Подумайте, почему так не получится. Система в любом случае будет алгебраической, то есть если у нас система, если мы хотим получать сисо на плоскости. Да, сисо на плоскости, наверное, мы хотим задать от x, y сколько многочленов получили на лу. Ние, ну пересечение множеств нулей отдельных многочленов. Ну и может быть, они как-то так вот раз и пересекаются по синусоиде.

Ну, подумайте. У меня есть довольно простой ответ на этот вопрос. Но давайте потом. Ну да, что можно с этого, может быть чуть позже. Понятно, давайте вот я скажу что-нибудь такое понятное про эти замкнутые многообразия. Вот, например, какие тут у них есть свойства. Вот я хочу сказать, что если пересечь любое количество замкнутых подмногообразий, то получится снова замкнутое подмногообразие. Это звучит на первый взгляд понятно, да, вот как задать система пересечения штук, которые уже заданы системой.

Да, ну вот там есть проблемы с конечностью. Но если про них не думать, то нужно просто взять системы, которые задают x1, системы, которые задают x2, системы, которые задают x3, их друг под дружкой писать. У вас получится система, которая задаёт пересечение. Но проблема может быть с бесконечностью, как верно подметили.

На самом деле тут нет проблем с бесконечностью, но это сложная теорема. Есть такая теорема Гильберта об Алисе, а я не хочу туда углубляться. Но в общем, скажу, что из любой бесконечной системы можно сделать конечную. Для тех, кто понимает, нужно взять идеал, порождённый этими многочленами, и вот теорема Гильберта утверждает, что любой идеал конечно порождён. Поэтому вы можете из бесконечного множества многочленов потом выбрать конечный, которые порождают тот же идеал.

А так, это было свойство. А свойство Б: что если у вас есть два замкнутых многообразия, то их объединение тоже замкнуто. А давайте это будет задача, чтобы мы не тратили сейчас время. Это задача один. А если у меня есть два замкнутых подмногообразия, то я могу взять их прямое произведение. Вот у меня есть какой-то X в C^N и y в C^N, тогда их прямое произведение замкнуто в C^N × N.

Ну это очевидно, да? Как задать их прямое произведение? Ну нужно взять и эти уравнения от первых N буквы и эти уравнения от последних N букв написать их вместе. Будет прямое произведение. А вопрос: какие подмногообразия замкнуты в C^1? На прямой у меня есть одна переменная x и я пишу какие-то многочлены от этой буквы x. Вот какое множество решения я могу получить? Точку одну. Каким? Всё одноточечное множество можно получить? Да, можно написать уравнение ra. Ну а не знаю, а двухточечные множества можно получить? Да, можно получить любое конечное число точек.

Можно много, который равен. В любом данном, но можно "ть" всю прямую. Да, C^1 есть такой пример. А ещё дополнение. А как задать дополнение к конечному множеству точек? Каким-нибудь уравнением? Тут не получится, как только вы пишете какое-нибудь одно уравнение, да их вы можете много написать. Но как только вы напишете одно, у вас уже станет только конечное число решения, многочат мыслить бесконечное число решений.

Так что вот замкнуты в C^1 - это только конечное множество точек. И всё C. Вот если вы уже изучали в университете какую-нибудь топологию или матанализ, то у вас должно быть какое-то другое представление о замкнутости. Там отрезок, например, на прямой замкнут. Ну вот у нас будет другая топология, которая подходит для работы с многочленами и в ней вот довольно бедное множество: видим только по пересекать можно сколько угодно, а обнять только по два. Если вы знаете определение топологии, то там так и устроено: только там обычно определение топологии именно для открытых, поэтому там наоборот, бесконечное объединение — конечное пересечение. Вот, но здесь, да, будет важно, что здесь конечное множество объединяются конечным количеством множеств.

Хорошо, а пока, наверное, всё понятно, да? Так это мы поговорили про объекты, с которыми мы будем работать. А ещё, что с ними работать нужно, между ними иметь какие-то отображения. Ну вот, люди, которые работают с теорией множеств, занимаются произвольными отображениями между этими множествами. Если вы работаете с гладкими многообразиями, то обычно рассматривают какие-то гладкие отображения. Если вы занимаетесь линейной алгеброй, то вы обычно рассматривали отображение.

И вот я с иде отображение, которое равняется в счисленной метрике. Они называются морфизмами. Пусть у меня есть два таких замкнутых подмногообразия: X1 в C^N и X2 в C^N. Тогда отображение φ из X1 в X2 называется морфизмом, если координаты образа каждой точки являются многочленами от координат той точки, которая была в X1. Если координаты от x — это многочлены от координат X. Ну то есть довольно глупо было бы задавать наше подмножество многочленами, а потом между ними рассматривать отображение синуса.

Как-то новато рассматриваем отображение, которые тоже заданы многочленами. А изоморфизм — это когда и туда морфизм, и есть ещё обратный морфизм. Если φ морфизм и существует φ-1, тоже морфизм. А что там написано? K Tит координаты, а сокращают, так говорят, что если есть изоморфизм между X1 и X2, то тогда X1 и X2 изоморфны, пишут как-нибудь так.

Давайте, например, разберёмся с прямой и параболой, как мы там. X^2 - Y. Можно ли придумать какой-то изоморфизм между ними? Вот давайте мы возьмём здесь точку T, куда её отправить? Какие-то должны быть X и Y. Ну нужно две координаты. Да, T T K, эта точка будет лежать направля. Да, и TK — это многочлены от T. Да, а какой будет φ-1? Он вот берёт точку XY и куда её отправляет? В X в X. Да, это тоже многочлен.

Ну то есть мы как бы параболу вот на прямую. Так что то, что я рисовала на левой доске, прямые, параболы — это всё у нас будет одно и то же. Так, давайте я теперь чуть-чуть разнообразия. x^2 - Y в множестве условия многочлен x^2 - Y = 0. Давайте я нарисую тоже, чтобы она таким клювиком выглядела. А X... Ну я рисую вещественную картинку, да, но просто C^N тяжело рисовать на двумерной доске, поэтому что-то такое. Так, ну давайте попытаемся M. Пример, у нас же, ну не все точки там как бы не все точки получились в образе.

Точки, которых... А нет, всё OK. Ну вроде туда обратно придумаю. Да нет, с комплексными просто там мы ничего плохого не делали, даже корни не извлекали. Вроде всё хорошо, тут и T комплексно, и XY комплекс.

Так, давайте придумаем какое-нибудь отображение. Вот как из C^1 получить какую-нибудь точку на Y. Теперь, может быть, тяжелее пото. В общем, тут кому как удобнее думать: кому-то алгебраически, кому-то геометрически. Но вот по-моему точка TK сюда подходит, правильно? Если я вот это заведу в куб, то получится то же самое, что если я куб заведу в квадрат.

А, ну и все точки на Y так вроде получаются. Так, а это φ, а φ-1 вот я беру XY и помимо, да хочется по написать что-то типа x, но так нельзя, это корень, корень — это не многочлен. Корень — это многозначная, да? Да, да, это ещё и не функция, к тому же можно ещё написать Y = f(X) в принципе, но это тоже не очень многочлен.

Ну и в общем видно, что у нас, кажется, проблемы. По крайней мере непонятно с ходу, что здесь написать. А вот это такой пример объективного морфизма. К нему обратный морфизм не является. То есть вот про, не знаю, про группу вы, наверное, знаете определение изоморфизма. Это объективный гомоморфизм. Вот, а здесь неспроста такое хитрое определение, потому что бывают объективные морфизмы, но обратный к ним — это не морфизм.

Да, но с другой стороны, может быть, мы просто плохо старались. Может быть, так вот можно напрячься и написать какой-то многочлен XY, который на этом множестве будет всё время равен T. Надо просто доказать, что у нас типа отображение обратное есть. Надо доказать, что оно не многочленное. Э, да. То есть нужно доказать, что вот это обратное отображение нельзя представить в виде некоторого многочлена от XY так, чтобы если вот так вот сходить или вот так вот сходить — получается одно и то же. Это несложно доказать, что φ-1 не морфизм.

Этого легко сделать. А хотя вообще обратное — это... Легко не обязательно должно быть именно вот φ. Должно быть, но обратное должно быть. Ну обратное — биекция, единственное обратное отображение. А вот, а задача 2Б — это доказать, что они, в принципе, не изоморфны. То есть это не только мы неудачно придумали такое φ, T отправили в TK, но и в принципе никакого другого φ нельзя придумать, к которому было бы обратное, который тоже морфизм. Вот, ну вот получается, что у нас вот прямая и парабола не изоморфны, а прямая и вот такая вот кривая не изоморфны.

И какие-то замкнутые многообразия изоморфны, какие-то нет. И если поделить их на класс изоморфности, то вот аффинные алгебраические многообразия называются классом изоморфизма. Офи алгебраические многообразия — это класс изоморфизма замкнутых многообразий. Вот тихо так. Если есть какие-то вопросы, задавайте. Давайте я дам определение аффинных алгебрыческих моноидов, тех объектов, которым посвящён курс. Почему — по многообразиям?

Ну потому что определение даётся в таких вот, как бы, терминах объёма пространства. Ну поэтому. А я вернусь к вашему вопросу чуть позже. А так, а аффинная алгебраическая моноид — это аффинное алгебраическое многообразие с умножением. Давайте назову умножение. М — это умножение, бинарная операция. То есть я беру две точки и хочу получать ещё одну точку. А, и оно должно быть не совсем аы, какое я хочу от него каких-то свойств, а именно я хочу, чтобы он, вот как моноид классический, был ассоциативным, чтобы умножение было ассоциативным.

Операции я обозначаю умножением. Лёз. А, ещё я хочу, чтобы у меня была единица. Существует такой элемент, я его нарисую один толстенькой в X, такое что для любого X из X, о толстенькая на X ра X толстенькая равно X. Это обычное определение моноида. Да, вот если только одно условие, это называется полугруппа. Если добавлять нейтральный элемент, то это называется моноид. Если ещё потребовать, чтобы у каждого элемента было обратное, то это будет группа. А, но опять же, если я занимаюсь аффинной алгебраической геометрией, это немного странно задавать это м какими-то странными функциями типа синусов.

Я поэтому хочу, чтобы у меня не было морфизмов про группы чуть позже, скажу, потому что они нам тут пригодятся. Прямое произведение по задаче 1. Ну в общем, вот этому свойству является аффинное многообразие. И я смотрю такой морфизм между вот этим левым и правым. Другими словами, вот это произведение членами от координат первой точки и многочленами от координат второй точки.

А, ну и цель — это как-то попытаться описать все структуры аффинных алгебраических моноидов. Такая глобальная цель, не в смысле цели нашего курса, а как бы вопрос, который себе можно задать в этой науке — классифицировать все структуры аффинных алгебраических моноидов, с точностью до изоморфизма. Если вы можете сделать какой-то изоморфизм из X в X, так что умножение как-то переедет в какое-то другое, то мы будем считать, что это одно и то же умножение.

Давайте какие-нибудь примеры приведём. Ну давайте для начала не будем мучиться и возьмём просто X равно C^N. Что может быть проще? Мы берём одну ку чисел, другую ку чисел; хотим получить три числа так, чтобы третье нка чисел выражалось как многочлен от первых двух. Ну хотим, чтобы это было ассоциативно и был нейтральный элемент. Как в школе. А, ну какие тут есть простые операции? Вот можно взять, во, кажется не сказали, что такое изоморфизм.

Ну да, я попыталась так вслух сказать. То есть могу написать формальную коммутативность: если у вас есть одно умножение и другое умножение, М2, то М1 и М2 изоморфны, если можно между X1 и... Ну между X нарисовать так стрелочку, чтобы всё было согласовано. Ну в общем, вы делаете замену в X, и умножение, естественно, как-то после этой замены меняется — вот мы будем считать, что это одно и то же.

А так давайте какие-нибудь простые примеры приведём: пусть у меня есть одна энка чисел и другая энка чисел, X1, Y1, тогда, мне кажется, что самые очевидные варианты — это взять по координатное сложение и по координатным умножению. И то и другое — это ассоциативная операция, у первого нейтральный элемент 0, последний — нейтральный. Вот эти все выражения. Что такое сложение? Вот это сложение комплексных чисел. А просто это сейчас мы комплекс.

То есть да, мы берём в качестве множества нашего мерного пространства и складываем умираем... А, ну ещё из классических примеров есть матрицы. А можно для статистики. А кто умеет умножать матрицы? Все умеют умножать матрицы. Подрезаю. А даже школьники. Вот я в школе не умею умножать матрицы, по-моему. А, ладно, в общем, умножение в матрицах тоже все в курсе; задаются многочленами, а там сумма.

А, вот это всё. Так, ну давайте я что-нибудь более хитрое напишу. Давайте я возьму X1 X2 умножу на Y1 Y2. Вот X1 Y1 X2 Y1 в степени А плюс Y2 X1 в степени А штрих, где А — это отрицательные числа. Я писала эту формулу, кажется, в анонсе, и вот утверждаю, что можно проверить руками, что это ассоциативно. Ну я напишу это как упражнение, но не настаиваю на том, чтобы вы это делали. Возможно, это не очень весело, но можно хотя бы найти нейтральный элемент.

А вот и А. Да, давайте я сразу анонсирую известный результат на текущий момент. А вот на C^N есть такие классификации алгебраических моноидов в плане, в зависимости от A и A штрих задаётся операция. Вся, да, то есть операция, она зависит от того, как мы выберем A и A штрих, и бесконечно много разных операций в зависимости от того, какие вы выберете числа.

Но при любом фиксированном A штрих получается умножение — это просто пример какого-то почвы. Алгебраически, потому что вот когда вы умножаете одну матрицу, у которой координаты A и G, другую матрицу, у которой координаты B и G, то у вас у этой матрицы получаются координаты C и G, а которые сумма A K BK. В общем, это много... Почему это многообразие? Да, вот, хороший вопрос, почему это многообразие? Ну потому что это C^N, ква, это просто плоскость такая, на которой не нужно никаких уровней.

Вот и вот в этом смысле, я имею в виду координаты правильно. Всё сходится. Хо. А, да, я не сказала, почему это многообразие. Это стоило сказать как раз. Понятно, но, ну что-то как только мы перешли к моноидам, мы стали рассматривать одинаковое многообразие просто в C и всё. А, ну да, мы начинаем с чего-нибудь такого простого. Я потом приведу пример не на C, а, но как бы даже на C сложно.

Вот, а параболу как раскладывать — точку? Не, ну парабола — это прямая. Ну да. А поэтому я буду писать на прямой вместо параболы. Зачем мне её изгибать? А так вот известно, что на это я сейчас попытаюсь сформулировать теорему. Это некоторая сбор из разных работ там сотрудников нашей лаборатории. А я их так вместе напишу, вышки на ФКМ, лаборатории гибче.

Групп преобразований. Приходите, если хотите, если учитесь на матке или на ФК, нам нужны так Аржан, Авдеев, Брагин, Белич. В разных работах вот на C^1 есть только вот эта операция. Давайте я обозначу плюс в кружочке, умножить в кружочке — по координатного сложения и по координатном умножению. Это на самом деле на C^1 можно сделать руками. Простое упражнение, давайте я назову это задачей. Какой там? По номеру четыре, по-моему.

На C^2, на плоскости. Вот только те, которые я перечислила: по координатное сложение, по координатное умножение и вот эта вот операция. Раз. Ну вот если вы поменяете местами A и A штрих, то получится то же самое. А так разные. Так, на C^3 жизнь становится интереснее. Ну сложение, по координатное умножение, по координатное и вот эта вот смесь умножения со сложением.

Под кахи — моноид на C^2 с точностью до полиномиальных замен. Вот так вот выглядит с точностью до изоморфизма. А задача Четыре — это что? Задача Четыре — это вот на C^1 можно сделать это руками. Ну то есть мы это делали каким-то из каких-то умных соображений. Но C^1 выглядит вот так.

Не C, или именно операция такая. Э, не очила ал — теорема классификации алгебраических моноидов. Запись следующая. Можно совести заменами операцию к такому виду, а само многообразие никак. Своё.

Ну да, я беру C1. Вот вы взяли C1 и дальше на C1 пытаетесь найти все умножения. Вот какие можно придумать. Оказывается, только сложение и умножение. Вот чему нас в школе учили. А на C2 — вот бывают по координатное сложение, по координатное умножение и ещё такая штука, которую нас в школе не учили. А, и давайте ещё напишу ответ на C3, наверное, тут потребуется какое-то место.

Ну там есть, опять же, сложение, умножение. Дальше есть штука, похожая на вот это. Я буду сразу писать, чему равно произведение. Умножаю точку X1, X2, X3 на точку Y1, Y2, Y3. Будет X1, Y1, X2, Y2, X3. Умножаю на какой-то момчик от первых Y1 в степени Y2 и Y3 на какой-то моном от первых X1, в степени A, Y1, в степени A штрих.

Где А — это отрицательные числа, я писала эту формулу, кажется, в анонсе. И вот утверждаю, что можно проверить руками, что это ассоциативно. Ну я напишу это как упражнение, но не настаиваю на том, чтобы вы это делали. Возможно, это не очень весело, но можно хотя бы найти нейтральный элемент.

А вот и А. Да, давайте я сразу анонсирую известные результаты на текущий момент. А вот на C^N есть такие классификации алгебраически.сий моноидов в плане, в зависимости от A и A штрих. Задается операция вся. Да, то есть операция — она зависит от того, как мы выберем A и A штрих. И бесконечно много разных операций в зависимости от того, какие вы выберете числа.

Но при любом фиксированном а штрих покл. получается умножение — это просто пример какого-то. Почему? Ну алгебраически потому что вот когда вы умножаете одну матрицу, у которой координаты A и G, другую матрицу, у которой координаты B и G, то у вас у этой матрицы получаются координаты C и G, а которые сумма — AK BK.

В общем это много. Почему это многообразие? Да, вот, хороший вопрос, почему это многообразие? Ну потому что это C^N — ква, это просто плоскость такая. На которой не нужно никаких уровней. Вот и вот в этом смысле, я имею в виду координаты. Поэтому всё сходится материально.

А, да, я не сказала, почему это многообразие. Это стоило сказать, как раз. Понятно, но, ну что-то, как только мы перешли к моноидам, мы стали рассматривать одинаковое многообразие просто C и всё. А, ну да, мы начинаем с чего-нибудь такого простого. Я потом приведу пример не на C, а, но как бы даже на C сложно.

Под кахи — моноид на C^2 с точностью до полиномиальных замен. Вот так вот выглядит с точки зрения изоморфизма. А задача Четыре — это что? Задача Четыре — это вот на C^1 можно сделать это руками. Ну то есть мы это делали каким-то из каких-то умных соображений. Но C^1 выглядит вот так.

А вот и А. Да, давайте я сразу анонсирую известные результаты на текущий момент. А вот на C^N есть такие классификации алгебраических моноидов. В плане, в зависимости от A и A штрих. Задается операция вся. Да, то есть операция — она зависит от того, как мы выберем A и A штрих. И бесконечно много разных операций в зависимости от того, какие вы выберете числа.

Но при любом фиксированном а штрих получится умножение — это просто пример какого-то. Почему? Ну алгебраически потому что вот когда вы умножаете одну матрицу, у которой координаты A и G, другую матрицу, у которой координаты B и G, то у вас у этой матрицы получаются координаты C и G, а которые сумма — AK BK.

А вот и А. Да, давайте я сразу анонсирую известные результаты на текущий момент. А вот на C^N есть такие классификации алгебраические моноидов в плане, в зависимости от A и A штрих. Задается операция вся. Да, то есть операция — она зависит от того, как мы выберем A и A штрих и бесконечно много разных операций в зависимости от того, какие вы выберете числа.

Но при любом фиксированном A штрих получится умножение — это просто пример какого-то. Почему? Ну алгебраически потому что вот когда вы умножаете одну матрицу, у которой координаты A и G, другую матрицу, у которой координаты B и G, то у вас у этой матрицы получаются координаты C и G, а которые сумма — AK BK.

А вот и А. Да, давайте я сразу анонсирую известные результаты на текущий момент. А вот на C^N есть такие классификации алгебраически.сий моноидов в плане, в зависимости от A и A штрих задаётся операция. Вся, да, то есть операция, она зависит от того, как мы выберем A и A штрих и бесконечно много разных операций в зависимости от того, какие вы выберете числа.

Но при любом фиксированном а штрих букву нужно взять a^2.

Ю.И. Зайцева. Алгебраические моноиды. Семинар 1

More Articles