Мнимые числа реальны: #3 Проблема Кардано [Welch Labs]
Вот сайт с шаурмой.
Как помните, формула кардана ломалась при решении некоторых кубических уравнений. Кардано знал, что эта проблема должна иметь решение, но квадратные корни отрицательных чисел сбивали его с толку. Он шел по правильному пути, однако все попытки доработать формулу или привести уравнение к другому виду просто водили его по кругу. Только следующее поколение математиков смогло продвинуться дальше.
Рафаэль Бомбелли, ученик Кардано, нашел очень оригинальное решение для этой проблемы. Напомню, в чем суть: нам нужно умножить некое число на себя, то есть возвести в квадрат и получить отрицательное число. Вот только положительные и неотрицательные числа тут не подходят. Бомбели задумался: если задачу нельзя решить не с помощью положительных или неотрицательных чисел, возможно, существуют какие-то еще? А если так, то стоило бы подумать, как эти новые неизведанные числа назвать и как их обозначить.
Бомбели подошел к вопросу практично. Не стал ничего выдумывать, оставил квадратные корни из отрицательных чисел квадратными корнями из отрицательных чисел. Так что теперь, если кто-то говорил, что у задачи нет решений, он мог спокойно сказать, что они есть, просто допустив, что квадратные корни из отрицательных чисел существуют.
Рассмотрим самый простой пример: корень квадратный из минус единицы. Возможно, мы ждали нечто более впечатляющее от принципиально нового числа. На первый взгляд, и правда, ничего примечательного, но у него есть особое нужное нам свойство: его квадрат дает -1. Такого не могут ни положительные, ни неотрицательные числа. Значит, перед нами нечто принципиально новое.
Может показаться, что здесь есть какой-то подвох, будто кто-то подгоняет решение под ответ, что уж так часто бывает при первом знакомстве с мнимыми числами. Но как-то иначе объяснить, вряд ли получится. Поначалу кажется, что подобные корни придумали для того, чтобы студентам жизнь медом не казалась.
Давайте пока подытожим вышесказанное: Кардано и Бомбели знали, что их проблема имеет решение, но не могли его найти. Бомбели понял, что чтобы продвинуться дальше, нужно расширить числовую систему, тем более что идея не новая. Так было и с дробями, и с нулем, и с отрицательными числами. Все они появлялись только тогда, когда в них возникала необходимость. Настало время и для квадратного корня из минус единицы.
Но сперва надо разобраться, как этим числом пользоваться. Если это новое число является открытием, а не изобретением, то оно должно обладать такими же свойствами, какие есть уже у известных нам чисел, а точнее, подчиняться тем же законам алгебры и арифметики.
Сразу скажу: есть нюансы, но в целом тут все в порядке. Например, мы можем разложить квадратный корень на множители независимо от того, является ли число под ним положительным или отрицательным. Корень из минус 25 равен корню из 25, умноженному на корень из минус единицы.
Это свойство позволяет выразить корень из отрицательного числа с помощью квадратного корня из минус единицы. Корень из минус 25 сокращается до 5 корней из минус единицы. То есть квадратный корень из любого отрицательного числа можно выразить как корень из положительного числа, помноженный на корень из минус единицы.
Давайте пройдемся по некоторым другим алгебраическим свойствам. Например, дистрибутивный закон работает одинаково в обоих случаях: 2x + 3x равно 5x. Но 2 + 3x уже никак не упрощается. Аналогично, 2 корни из минус 1 плюс 3 корня из минус 1 — это 5 корней из -1, но 2 плюс 3 корня из минус 1 — это 2 плюс 3 корня из -1.
Как и в случае с переменными: то, что нельзя сложить, можно перемножить. 5 умножить на x — это 5x, опять умножить на корень из минус 1 — это 5 корней из -1. Правда, некоторые операции требуют особого подхода. В подобных случаях можно вынести за скобку все корни из минус единицы.
Итак, с основами разобрались. Что нам это дает? Как помните, в прошлом видео мы пытались найти квадратный корень из минус 9. Разложим -9 на множители, возьмем корни и получим три квадратных корня из -1. Отлично, но мы ещё не решили проблему Кардано, ведь в его вычислениях появляется кубический корень из квадратного корня отрицательного числа. Бомбели смог разобраться и с этим, но это тема для отдельного видео.
Переведено и озвучено студией "Вверх", Гайдар.