Лента Мёбиуса — кому вообще нужна топология? [3Blue1Brown]
[музыка] В этом видео будет много интересного. Задача, для которой до сих пор нет решения: красивый способ справиться с её упрощённой версией и краткий рассказ о том, что такое топология и чем она полезна.
Сначала позвольте объяснить, почему мне так нравится тот способ, о котором я буду говорить. Я с детства любил математику и жадно искал всё, что было с ней связано. И, конечно же, посещал лекции и семинары, на которых подростков пытались увлечь математическими вопросами.
В качестве одной из таких увлекательных тем часто выступала топология. Нам показывали ленту Мёбиуса, брали полоску плотной бумаги, а концы перекручивали. Нам говорили, что с точки зрения топологии нет разницы между кружкой с ручкой и бубликом, ведь и там, и там одна дырка. Правда, такие примеры вызывали один вопрос: "А это точно математика? Как всё это поможет?"
Лишь столкнувшись с одной задачей, об интересном подходе к которой я вам сегодня и расскажу, я понял, зачем математикам нужны все эти формы с их странными свойствами. Такая проблема — гипотеза о вписанном квадрате. Возьмём замкнутый контур, то есть непредсказуемо петляющую фигуру, и будем образовывать квадрат.
В случае окружности, например, найти вписанный квадрат довольно легко. Их может быть бесконечно много. Если взять эллипс, то особых проблем не возникает. Но вопрос в том: можно ли вписать хотя бы один квадрат в абсолютно любой замкнутый контур? Задача довольно интересная, особенно учитывая, что у неё всё ещё нет решения.
Современная математика не может ни подтвердить, ни опровергнуть существование контура, в который нельзя было бы вписать квадрат. Если упростить условие задачи и заменить квадрат на любой прямоугольник, проблема всё равно будет не из лёгких, но у неё появится решение. Возможно, моё любимое во всей математике — и именно ему по праву и посвящено это видео.
Суть подхода в том, чтобы работать не с отдельными точками на контуре, а с парами точек. Здесь пригодится одно из свойств прямоугольника. Обозначим вершины фигуры A, B, C и D. Тогда отрезок AB будет иметь кое-что общее с отрезком CD: длина AB равна длине CD, а их точка пересечения — это середина как первого, так и второго отрезка.
Вообще, если вы возьмёте две пары точек, образующих отрезки, скажем, AC и BD, и докажете, что они пересекаются точно посередине, при этом длина AB равна длине CD, вы докажете, что эти точки образуют прямоугольник.
Сейчас мы продемонстрируем, что для любого замкнутого контура всегда можно найти две пары точек, которые образуют отрезки одинаковой длины и пересекаются ровно посередине. Проговорим условие ещё раз: мы ищем две разные пары точек, образующие два отрезка с общим центром и одинаковой длины.
Здесь нам поможет функция двух переменных, которыми будут две точки на контуре, а решением функции будет одна точка в трёхмерном пространстве. Из её координат можно узнать длину отрезка и положение его центра.
По сути, мы построим график. Вот как это сделать: расположим контур на плоскости XY в трёхмерном пространстве, выберем две точки, середину отрезка между ними назовём M. Эта точка также лежит на плоскости XY. Длину отрезка назовём D. Теперь отметим ещё одну точку на расстоянии D от точки M по оси Z.
Проще говоря, с помощью пары точек на плоскости мы рисуем точку в 3D пространстве. Про то же самое со всеми возможными парами точек контура мы получим некую поверхность над плоскостью. Обратите внимание, что она прилегает к самой кривой — это нам ещё пригодится.
Давайте подумаем, почему так происходит. Чем ближе друг к другу выбранные точки на контуре, тем ниже точка на графике, ведь по условию её высота равна длине отрезка между парой выбранных точек. Кстати, центр этого отрезка также становится к ним ближе.
Стоит также учесть, что две точки на контуре могут совпадать, тогда функция выглядит как f(x, x), а решение функции оказывается на контуре в той же точке x. Запомните это — другой важный момент: наша функция непрерывная.
Не хочу вдаваться в детали, но суть в том, что если слегка изменить положение пары точек, значение функции тоже изменится несильно и не будет ни единого разрыва. Наша цель — показать, что у функции есть коллизия, то есть двум разным парам точек на контуре соответствует одна и та же точка в 3D пространстве.
Такое может произойти в единственном случае, если две пары точек образуют отрезки одинаковой длины и с общим центром. Поэтому в нашем случае найти вписанный прямоугольник — значит, доказать, что эта поверхность где-то себя пересекает. Чтобы продвинуться дальше, нам нужно получше понять, что представляет собой пара точек на контуре.
Смотрите: пару вещественных чисел можно выразить одной точкой на двумерной системе координат. Мы же найдём такую двумерную поверхность, которая будет похожим образом представлять все пары точек контура. Когда же мы изучим свойства этой поверхности, нам станет ясно, что построенный подобным образом график просто обязан пересекать сам себя.
Ещё один момент: говоря о паре точек, мы можем иметь в виду упорядоченную пару, где AB не равно BA. В этом случае нам будет важно, какая точка стоит первой или мы можем говорить про неупорядоченную пару, где AB равно BA, то есть важно лишь положение точек, а не их порядок.
Скажу сразу, нас интересуют именно неупорядоченные пары. Но чтобы добраться до них, придётся сперва изучить упорядоченные. Для начала разрежем наш контур в какой-нибудь точке, а затем распрямим — это интервал от нуля до единицы. Теперь каждой точке с контура соответствует определённое число на этом интервале, кроме той, что находится в месте разреза, ведь она одновременно и начало, и конец интервала, но и 1.
Чем хорош такой метод выпрямления, так это тем, что теперь каждой паре точек соответствует определённая пара чисел. Добавим второй такой же интервал — это будет ось Y. Теперь наши пары чисел — это координаты одной точки внутри единичного квадрата, получается, что каждая точка соответствует определённой паре точек на контуре.
Ведь координаты заданы по осям X и Y, которые, как мы помним, представляют собой развернутый контур. Наша основная задача — найти поверхность, которая представляла бы множество всех пар точек на контуре, и наш квадрат — первый шаг на этом пути.
Но есть проблема: что нам делать с краями квадрата? Не забывайте, что точки на интервале одной и той же точке контура, и было бы здорово как-то их соединить. Так что все точки на левой стороне квадрата (0, 1), (0, 0.2) и так далее относятся к тем же парам на контуре, что и точки на правой стороне (1, 0), (1, 0.2) и так далее.
Поэтому, чтобы избежать дублирования, левую и правую стороны квадрата я отмечу стрелками, чтобы запомнить их направление. Точно так же нижнюю сторону мы должны склеить с верхней, так как координаты (0, 0) по оси Y представляют одну и ту же точку B на контуре.
Сначала свернём квадрат так, чтобы склеить правый и левый края — получим цилиндр, а затем соединим его концы, которые были верхней и нижней стороной — получится тор или, более научно, поверхность бублика. Каждая отдельная точка на поверхности тора соответствует какой-то уникальной паре точек на контуре.
Следовательно, каждая уникальная пара точек на контуре соответствует своей конкретной точке на торе. Между тором и контуром такая же связь, что и между плоскостью XY и парами точек на числовой прямой. Главное свойство этого соответствия в том, что она, так сказать, обоюдно непрерывна.
То есть, если чуть-чуть сместить точку на торе, это соответствует столь же небольшому смещению на контуре. И наоборот: если тор — это фигура для упорядоченных пар на контуре, то какая будет у неупорядоченных? Напомню, мы делаем всё это с одной целью — доказать существование двух пар точек, которые образуют равные по длине и пересекающиеся точно по центру отрезки.
Однако если мы считаем, что AB и BA — это разные пары точек, то мы сразу получаем два отрезка с одинаковой длиной и общей серединой, иными словами, в контуре всегда можно найти прямоугольник, если считать любой отрезок прямоугольником.
Что же делать? Надо каким-то образом доработать наш метод под неупорядоченные пары точек. Нам нужно показать, что координаты (0, 2) и (0, 3) представляют то же, что и (0, 3) и (0, 2), или что (0, 5, 7) представляют то же, что и (0, 7, 5). Иными словами, в нашем методе пара XY представляет собой то же самое что и YX.
Нам снова понадобится клей: мы соединим вместе те точки, которым соответствуют одинаковые пары. Для этого просто сложим квадрат по диагонали. Обратите внимание на отмеченную пунктиром диагональ: здесь лежат все пары вида (X, X) — каждая из которых, по сути, просто одна точка, образующая пару с самой собой.
Запомните этот красный пунктир. Положение пар (X, X) нам ещё пригодится. Но сперва разберёмся со стрелочками. Как приклеить нижнюю сторону к правой, да так, чтобы ещё и направление не перепутать?
Начало горизонтального отрезка должно совпадать с началом вертикального, а конец горизонтального — с концом вертикального. Есть идея, как это сделать? Попробуйте поставить на паузу и подумать. Фокус в том, чтобы сделать ещё один разрез по диагонали. Умно, правда? Потом надо будет склеить всё обратно. [музыка]
Обратите внимание на ориентацию стрелок, чтобы склеить то, что мы разрезали. Нельзя просто сложить края, свернув всё в обычный цилиндр. Плоскость надо перекрутить в 3D пространстве — получается лента Мёбиуса.
Здорово, правда? Оказывается, поверхность, представляющая все пары неупорядоченных точек на контуре — это лента Мёбиуса. Обратите внимание на выделенный красным край ленты. На нём лежат все точки с координатами X, то есть пара из одинаковых точек. Между лентой Мёбиуса и неупорядоченными парами на контуре такая же связь, что и между плоскостью XY и парами на числовой прямой.
Когда я впервые это увидел, то был в полном восторге. Держал в голове этот факт, что есть взаимно однозначное соответствие между неупорядоченными парами точек на контуре и отдельными точками на ленте Мёбиуса. Можно решить проблему вписанного прямоугольника.
Помните, мы сделали своеобразный график в трёхмерном пространстве, где контур лежал на плоскости XY? У каждой пары точек на плоскости XY мы искали среднюю точку M и длину отрезка D, а затем брали ещё одну точку на расстоянии D вверх от точки M.
Итак, мы знаем, что для каждой пары точек на контуре есть своя точка на ленте Мёбиуса. А значит, мы можем найти соответствие между каждой точкой ленты Мёбиуса и точкой нашего трёхмерного графика. Просто выбираем точку на ленте, находим соответствующую ей пару на контуре и подставляем её в нашу функцию.
Вот что тут важно: чем ближе друг к другу точки на контуре, тем ближе к контуру точка на графике. В особых случаях, когда пара образуется из одинаковых точек, то есть имеет вид (X, X), решение функции лежит прямо на контуре. Как помните, как раз на красной кайме ленты Мёбиуса были точки, соответствующие парам вида (X, X).
То есть, чтобы отобразить ленту Мёбиуса на эту поверхность, нам надо соединить кайму ленты с контуром. Но если задуматься, то, учитывая специфическую форму ленты Мёбиуса, мы не сможем соединить край ленты с двумерной поверхностью так, чтобы лента не пересекла сама себя.
Мы знаем, что каждой точке на ленте соответствует пара точек на контуре. Если лента пересекает саму себя при отображении, значит, есть по меньшей мере две такие пары точек, которым соответствует одна и та же точка на ленте. А это значит, что эти пары точек образуют отрезки одинаковой длины, которые пересекают друг друга точно по центру.
Иными словами, они образуют прямоугольник, что и требовалось доказать. Если вы согласны, что край ленты Мёбиуса невозможно соединить с плоскостью так, чтобы она себя не пересекала, у нас всё получилось.
В принципе, это кажется интуитивно понятным. Просто взгляните на саму ленту. Но вот строгое доказательство требует куда более глубокого понимания принципов топологии. Кстати, если вам предстоит изучать её всерьёз, поиск строгого доказательства может стать отличной тренировкой и поможет вам лучше понять суть этого предмета.
Я же хочу обратить ваше внимание на кое-что ещё. Мы говорили о Торе и ленте Мёбиуса не ради того, чтобы поиграться с картонными фигурками или понять, как кружка кофе превращается в бублик. Эти объекты появились, когда мы пытались разобраться с парами точек на контуре и решить весьма конкретную задачу.
Переведено и озвучено студией Верт Дайдер.