Математика в жизни. Свойство эллипса
Всем привет! Рад видеть вас на канале Qwerty. С вами Георги. Эволюционные — это реальная математика. Как вы, наверное, уже знаете, мне доставляет просто неземное удовольствие, когда я в нашей обыкновенной жизни вижу какие-то практические сюжеты, связанные с математикой. И вот сегодня мы как раз о таком поговорим.
Скажите, пожалуйста, знаете ли вы, что такое эллипс? Ну, наверное, само понятие знакомо всем присутствующим. Кто-то его знает под именем "овал", кто-то даже знает про него старый анекдот про то, что овал — это круг, вписанный в квадрат размерами 2 на 4. Но речь сейчас пойдет немножко не об этом, а о том, что, оказывается, свойства эллипса, ну точнее, совсем подробно — это эллипсоид вращения. Но по сути, свойства гипса используются в медицине, когда нужно побороться, например, с камнями в почках.
Как именно это используется и при чем здесь геометрия? Вот об этом сейчас и узнаем. Сперва давайте остановимся на определении, что вообще такое эллипс. Представьте себе, что мы ткнули в две какие-то точки на плоскости и в этих точках вбили гвоздики. Дальше мы протянули между ними веревочку, но такую с запасом, веревочку. После этого карандашиком взяли вот эту веревочку и провели, вот как нам веревочка позволяет, провели некую линию. Собственно, вот то, что получилось, если мы натянули карандаш и вот так вот провели, и есть эллипс.
Фактически, это геометрическое место точек на плоскости, у которых сумма расстояний до двух данных точек постоянна. Если у нас были точки A и B, то эллипса принадлежат все такие точки P, что MA + MB = некая фиксированная константа. Вот то, что получилось, и есть эллипс. Вроде достаточно просто.
Выясняется, что у эллипса есть такая штука, как оптическое свойство. Представьте себе, вот у вас цель из какого-то материала, мир из отражающего зеркала, и вы в один фокус помещаете источник света. Соответственно, свет может распространиться в любую сторону из-за этого фокуса, правильно? Тогда он отражается от стенок нашего эллипса и куда-то дальше идет. Вот я утверждаю, что он отразится именно во второй фокус.
То есть, если мы поместили в одну точку A, собственность с точки — называются с фокусами — наш источник света, то от любой стенки он отразится ровно в 2-й фокус. Там фактически соберутся все эти лучи света. Почему? Мы скоро это докажем.
Но пока давайте осознаем, как же это работает в медицине. На самом деле, вот представьте себе, что есть некий камень, который надо разбить. Я, к сожалению, не медик и даже не биолог, поэтому я не могу вам в точности описать этот процесс. Но видимо, суть в том, что вот с помощью лучей, которые концентрируются в некоторые точки, можно как-то повлиять на камень, и дальше он будет потихоньку распадаться на месте.
У вас ко мне в бочках. Другие варианты есть эти камни в почках. А как же сделать так, чтобы лучи собрались в одной точке? А вот как раз с помощью аппарата, который представляет себя эллипс в пространстве, то есть эллипсоид вращения. И вот фокус этого самого эллипсоида, Вадим, помещается источник нашего излучения. После этого, я утверждаю, лучи отражаются от всех стенок и собираются во втором фокусе.
А что помещают во втором фокусе? Вы уже понимаете: этот самый эллипсоид размещают так, чтобы во втором фокусе как раз и оказался камень. Но и тогда получается, что все лучи собираются именно там и воздействуют больше всего именно на эту точку, именно благодаря свойствам эллипса.
Откуда же берется такое волшебное свойство? Давайте разберемся. Как вы знаете, угол падения должен быть равен углу отражения. То есть вот этот уголочек, да? Проблема в том, что это не угол между прямыми. Мы привыкли с вами, что вот есть прямая, есть уголочек такой. А когда кривая, так устроен угол. На самом деле, это же по достаточно простой схеме.
А мы берем просто в этой точке касательную к эллипсу. И вот угол между лучом, как он парит, и касательной должен быть равен углу отражения по отношению к касательной. Так что, надо доказать, что если мы упустим луч в эту точку, то по отношению к касательной углы будут одинаковыми.
Чтобы это сделать, надо вспомнить одну достаточно простую задачку, которую предлагают часто в четвертом-пятом классах. Звучит она так: представьте себе, что есть некая речка, и вот два домика — домик A и домик B. Требуется прийти из A в B, зайдя по пути к реке. Но при этом пройденный путь можно сделать меньшим.
Можно пойти вот так, как-то, можно пойти вот так, а можно вообще вот так. Вроде глупо, так далеко заходить, но формально тоже можно. Давайте мы мысленно вот эту точку B отразим относительно нашей речки, о чем некую точку B1.
Вот в этом случае мы же легко можем построить оптимальную траекторию между точками A и B1, даже по ходу речки. Достаточно просто соединить A. Дальше я утверждаю, что какую бы траекторию мы ни придумали, мы всегда можем, ну, допустим, возьмем вот эту. Да, мы можем вот этот вот кусочек MB отразить вниз. Подавайте специально синим нарисую этот кусочек M1. И тогда получается, что путь из A в B, да, мы можем провести как AМ + MB.
Это ведь ничто иное как AМ + МB1. Но действительно, так в точку B мы отразили, то тогда отрезок BM просто отразился в отрезок MB. Они равны, можно доказать через свойства треугольника, то есть масса вариантов.
Ну а AM + MB1 достигается у минимума, конечно, если точка M будет вот здесь, то есть как раз на отрезке AP1. Значит, оптимальная траектория выглядит, у нас старт — вот мы отразили, и дальше пошли по этой точке, такую пушку кран, например, и отсюда уже идем в точку B. Причем, разумеется, так как вот эти углы равны, как вертикальные, то и вот эти углы будут равны.
Кратчайшее расстояние будет, когда углы одинаковые. Теперь вернемся к нашей задаче с целью. Вот у нас были точки, назовем их A и B, у нас фокусы. И вот, как мы знаем, отражается у нас луч по правилу, когда угол падения равен углу отражения. Да, то есть вот эти уголочки равны.
Но с другой стороны, я утверждаю, что вот этот путь из A в B, как мы только что выяснили, тогда будет кратчайшим возможным путем с заходом касательно. Ну то есть если я хочу пройти через вот эту прямую, кратчайший путь — это будет именно AB. Мы только что это доказали.
При этом я также утверждаю, что кратчайший путь всегда будет именно через точку касания. Потому что если мы возьмем какой-то другой вот такой вот путь, то понятно, что он дольше, чем если бы мы отразились сразу. А вот для этой точки земли T, A + T = M + MB просто по определению эллипса. Помните, да? Это множество точек, которые дают одинаковую сумму расстояний до фокусов.
То есть AT + B = M + B. Таким образом, кратчайшее расстояние достигается именно для точки касания, и значит, мы показали, что там угол падения равен углу отражения.
Ну а тогда вы действительно прошли через фокус. Вот то, что требовалось показать. Вот такой вот фокус, связанный с фокусами эллипса. А я надеюсь, что сегодняшнее видео вам понравилось. И теперь вы еще лучше сможете ответить на вопрос: зачем в школе и в институте заниматься математикой? Потому что как выясняется, в таких вроде бы совершенно не близких математике областях что-то такое периодически вылезает.
Следите за нашими новостями! Скоро вас ждут новые ролики. Не забывайте подписываться, чтобы их не пропустить! И пока-пока.
[музыка]
Арка
[музыка]