Почему самолет летит по дуге? Математика на QWERTY
Всем привет! С вами Георгий Вольфсон. Это реальная математика на канале Qwerty. Но я надеюсь, что вы все были оповещены об этом выпуске, потому что уже давно подписаны на наш канал и поражали колокольчики. Но если вдруг этого не сделали, можете это сделать сейчас.
О чем мы сегодня поговорим? Не так давно мне, волею случая, пришлось летать из Санкт-Петербурга во Владивосток. Я в очередной раз удивился, почему на карте траектория моего полета выглядит не как прямая линия, а как дуга. Потому что, казалось бы, для самолета все-таки важнее пролететь как можно по более короткому пути.
Чтобы помечтать, конечно, это вопрос не самый трудный, потому что очевидно, что карта, которая нам кажется плоской, земля на самом деле имеет форму то почти шарика диаметров. Но неважно, факт в том, что, когда мы движемся по поверхности Земли, конечно, по прямой у нас двигаться не получится. Но тогда вопрос: почему, например, если два города находятся на одной и той же широте — подольск и Санкт-Петербург, то мы все равно будем лететь не по этой широте, а по вот такой вот выпуклой дуге? Давайте в этом попробуем разобраться.
Итак, вот у нас наш земной шарик. Будем считать для простоты, что Земля имеет все-таки форму шара. И вот есть, допустим, две некоторые точки. Какое же будет кратчайшее расстояние между ними по поверхности вот этой вот сферы? Напомним, что сфера отличается от шара тем, что сфера — это то, что снаружи, а шар — это еще и то, что внутри. Но в данном случае мы летим по поверхности сферы, будем считать.
И вот какой же путь кратчайший? То есть, если бы речь шла о плоском рисунке, тут все понятно — вводим кратчайший путь. Если же мы говорим про сферу, и допустим эти точки находятся как раз на одной широте, то вот широта у нас выглядит как-то вот так, по такой вот дуге. По идее должен полететь самолет, но по факту он почему-то летит вот по такой дуге. Почему же так происходит? Идея вот в чем.
Давайте рассмотрим наш отрезочек AB и заметим, что, когда мы летим по поверхности сферы, на самом деле мы летим по дуге какой-то окружности. И весь вопрос, какой? То есть, если вы растянете сферу любой плоскостью, то в сечении как раз получится окружность. А вот эти вот точки A и B будут лежать на этой окружности, и соответственно отрезок AB будет являться хордой этой окружности.
А дальше вопрос: вот допустим у вас есть фиксированная хорда AB и есть несколько окружностей, которые можем провести через эту хорд? Ну, например, вот такая вот окружность и, допустим, вот такая вот окружность радиуса побольше. Как видите, обе они проходят через точки A и B. По какой окружности путь будет меньше? То есть, какой путь лучше: вот этот или вот этот — до точки A в точку B?
Ну, наглядно более менее очевидно, что путь будет меньше, когда радиус будет больше. Конечно, помимо того, что это наглядно, желательно это как-то доказать. Давайте попробуем это сделать. Если мы рассмотрим произвольную окружность, вот у нас точки A и B, и вот это расстояние у нас зафиксировано, длина вот этой хорды нас фиксирована, есть центр окружности O, а предположим, что радиус окружности, то есть отрезок, проведенный из точки O в точку A и точку B равен, допустим, R.
Угол AOB обозначим через α. Тогда, если вспомнить школьную форму, во-первых, дуга AB имеет длину R умножить на α, где α — это угол в радианах, а не в градусах. Ну а отрезок AB мы можем посчитать вот из такого прямоугольного треугольника. Но ведь если опустить высоту, кто-то наверняка еще помнит, что в равнобедренном треугольнике высота совпадает с медианой. Значит, вот этот отрезок равен этому, и тогда получится что-то. Если это еще биссектриса угла пополам, значит, отрезочек к B равен радиус, умножить на синус α пополам. И так вот эта величина у нас фиксирована — отрезок AB фиксирован.
Далее я говорю о том, что радиус я могу менять, то есть окружность брать чуть большего радиуса, чуть меньшего радиуса. Очевидно, что если я возьму радиус побольше, то вот этот вот множитель у меня увеличится. А тогда вот этот множитель должен уменьшиться, чтобы произведение осталось с таким же вид. Длина отрезка AB у нас фиксирована, правда? Но если уменьшается соответствующий синус, то уменьшается и угол.
Опять же, это легко видеть на верхней картинке: посмотрите, здесь вот угол был такой, а станет угол вот какой-то такой. Но меня-то интересует, на самом деле, не конкретно радиуса, не конкретно угол, а вот такая величина. Мне нужно понять, где большие, где меньше дуга AB. Если меняю радиус, меняя угол, что происходит с моей дугой?
Но давайте заметим, что из вот этого второго равенства можно просто выразить радиус. Радиус — это AB, разделить на 2 синуса α пополам. И тогда, если подставить это выражение для дуги AB, то дуга AB равна отрезку AB, умножить на α, разделить на 2 синус α пополам. Или, если для простоты угол α пополам обозначить через β, то у нас получится, что дуга AB — это отрезок AB, умножить на β и разделить на синус β.
Правда, вот он α пополам равен β. И соответственно, дальше вопрос: вот если я уменьшаю угол β, то у меня эта величина уменьшится или увеличится? Чтобы это понять, достаточно просто исследовать данную функцию. Давайте этому все-таки оставим за скобками. Надо просто взять производную, и там нужно будет сравнить сам угол β. Это достаточно известное неравенство. Так или иначе, получится следующее, что если мы угол β уменьшаем, то длина дуги уменьшится.
А это как раз то, что нам и надо. То есть это значит, что вот здесь, чем больше мы возьмем радиус, тем меньше получается длина дуги. То есть вот эта длина для нас как раз оптимальна. Но если вернуться на исходную картинку с шариком, действительно дуга получается вот такая выпуклая, потому что мы проводим сечение через точки A и B и центр нашей Земли, то есть центр вот этой самой сферы.
Ну а тогда мы можем сделать следующий вывод, что если наши города оба находятся в верхнем полушарии, то дуга всегда и будет выпуклой вот такой вверх. Попробуйте тогда в комментариях догадаться, как будет выглядеть траектория, если города находятся в нижнем южном полушарии. Также замечу, что очень интересной была бы задача, если бы Земля имела форму не шара, а, например, куба. Понятно, что если ваши города находятся на одной грани куба, тогда кратчайшее расстояние между ними — просто отрезок, который идет по этой грани. Тут все понятно, а если на соседних или на противоположных гранях, и летать вы можете только по поверхности этого куба — вот про это можете тоже порассуждать в комментариях.
Если вам это интересно, то пишите! Мы обязательно снимем отдельный ролик, где поразбираем разные фигуры. Это может быть куб, пирамида или конус, и посмотрим, как на них определяется кратчайшее расстояние. Ну а на сегодня это всё. Не забывайте подписываться на наш канал, чтобы не пропускать новые интересные видео, и до новых встреч! Пока-пока.
Мы знаем, что выборы вас не было, но все равно спасибо, что вы выбрали Пингвина. [Музыка] Диваны.