Мнимые числа реальны: #13 Поверхности Римана [Welch Labs]
[музыка] Перед вами поверхность Римана, наше окно в четвёртое измерение. По сути, мы разрезали плоскости в местах разрыва функции и склеили их таким образом, чтобы график не обрывал. Теперь он непрерывен и переходит с одной плоскости на другую. Риман предположил, что обычная двумерная плоскость не может быть областью определения аргумента нашей многозначной функции. Областью определения должна быть искривлённая поверхность, существующая в многомерном пространстве. Геометрия поверхности Римана позволяет, если мы будем откладывать аргумент многозначной функции на поверхности Римана, то все проблемы из прошлой серии исчезнут сами собой.
Функция окажется непрерывной: каждой точке на входе будет соответствовать только одна точка на выходе, а странное поведение кривых обретёт смысл. Сейчас всё объясню. Риман представлял себе поверхности, которые будто лежат непосредственно над плоскостью W. Сама поверхность состоит из двух копий комплексной плоскости. Суть в том, что аргумент функции на плоскости W и соответствующая ему точка на поверхности Римана оказываются одна под другой, проведя линию строго вверх из точки на плоскости, например, из 2.
И мы найдём нужные нам точки на комплексных плоскостях. Если помните, в прошлой серии нам пришлось разводить значение функции, которые мы откладывали на W. Поверхность делает то же самое для многозначной функции. Когда знание W, в принципе, можно воспользоваться и двумя плоскостями W, но этот метод лучше, ведь теперь график многозначной функции остаётся неразрывным. В прошлом видео мы как раз увидели, что если откладывать аргумент на W1 и W2, то может возникнуть разрыв функции, а поверхность Римана позволяет цветной линии идти непрерывно.
Правда, теперь у нас график пересекает сам себя. Здесь есть что обуть по использованию поверхности Римана в качестве области определения: делает жизнь проще и почему откладывать аргументы для многозначной функции лучше именно на ней, а не на плоскости W. Правда, рисовать от руки на трёхмерных поверхностях несколько неудобно. К счастью, спустя век после смерти Римана у нас появились компьютеры. Для начала оцифруем, а прямо над ней — поверхность Римана.
Ну, пока мы тут ВС нери совали, давайте быстро вспомним, что мы сейчас вообще ищем и зачем мы исследуем комплексную функцию W = Z к а также обратную ей функцию Z равен плюс или минус квадратный корень из W. Отношение между W и Z тоже. Разница в том, что мы знаем, а что ищем. Проблема заключается в том, что для визуализации понадобится четыре измерения, так как и W, и мнимая часть, в данной серии мы называли их X, Y, U и V. Перед нами визуализация поверхности Римана, двухмерная поверхность в трёхмерном пространстве. Мы разместили её над плоскостью W таким образом, чтобы двум из трёх измерений соответствовали вещественные и мнимые оси плоскости W.
Именно их мы обозначили как U и V. Я хотел использовать третье измерение, чтобы визуализировать переменную Z. Вот только Z тоже комплексное число и тоже состоит из двух частей, так что одной оси для него недостаточно. Поэтому обычно при визуализации таких поверхностей третье измерение или высота служит для отображения одной из частей числа Z — вещественной или мнимой. Так мы и сделаем: у нас это будет X — вещественная часть от Z. Теперь в нашей визуализации каждая точка поверхности живет в мерном пространстве, и её положение определяется значениями переменных U и X.
Итак, каждая точка на этой поверхности отображает одно из решений нашего уравнения; три из четырёх чисел, определяющих решение, выражены через координаты точки в трёхмерном пространстве. Неплохой результат, но пока что картина у нас не полная. На этой визуализации не хватает мнимой части кото, а без неё мы обойтись не можем, ведь в противном случае у нас опять возникнет проблема с непрерывностью функции. Если мы начнём изучать одну из ветвей многозначной функции, то, дойдя до точки самопересечения поверхности, мы не будем знать, куда именно нам дальше идти — вверх или вниз.
Чтобы это понять, нужно выяснить, почему поверхность пересекает себя и как такое вообще возможно. Ние проходит плоскости W. Рассмотрим точку на этой оси, скажем W равен -1. Подставим это число и посчитаем Z. Получим два решения: плюс и минус, и это разные числа. Но на графике они выглядят одинаково, поскольку вещественная часть у обоих равна нулю. Нам просто-напросто не видно, что это разные точки, поскольку в визуализации присутствует только вещественная часть Z.
Перед вами типичная проблема визуализации многомерных математических концепций: мы видим только проекцию. Грубо говоря, это такая тень от настоящих четырёхмерных объектов. В реальности никакого самопересечения нет. Всё точь в точь как с двумерными тенями от трёхмерных объектов: объекты не пересекаются, но нам кажется иначе. Такое же искажение возникает, когда мы пытаемся визуализировать многомерный объект в трёхмерном пространстве. Для загадки и к нему есть свои подходы. Например, можно выразить его в иной форме, понятной человеческому восприятию.
С помощью цвета раскрасим каждую точку поверхности так, чтобы её цвет отображал значение, скрытое от нас переменной — в данном случае это мнимая часть, то есть значение по I. Надо только договориться, какому числу соответствует какой цвет. Если задать цветовую шкалу, мы получаем представление о загадочном четвёртом измерении. Как видите, на проблемном участке поверхности пересекаются совершенно разные цвета. Следовательно, на самом деле наша четырёхмерная функция себя не пересекает. Иллюзия пересечения — всего лишь дефект метода визуализации.
Отсюда следует, что если мы встречаем подобные пересечения на поверхности Римана, то мы имеем полное право их игнорировать. Проследив за графиком на поверхности Римана, мы видим, что абсолютно неры, несмотря на это чудное пересечение. С непрерывностью разобрались, но вопросы ещё остались. Помните, в одиннадцатом видео мы рисовали и преобразовывали кривые, тогда маркер то возвращался в начало рисунка, то убегал на другую половину.
Давайте я напомню, как всё выглядело на плоскостях W и Z. А теперь давайте посмотрим, что будет, если провести такое же преобразование. Чтобы избежать путаницы, будем рисовать кривые по очереди, одну за другой. Все готовы? Я нарисую те же линии на плоскости W, а вы следите, как они выглядят на поверхности Римана и преобразуются на плоскости Z. [музыка] [музыка]
Так почему же зелёная линия не вернулась в ту точку, из которой началась на плоскости Z? Потому что зелёная линия ушла на другой лист поверхности Римана. Если мы посмотрим на плоскость W сверху, то кажется, что она вернулась в начало. Но это не так. На плоскости W мы видим только проекцию, тень от линии. В реальности линия ушла в другую ветвь функции с двумя значениями Z. Напомню, что это не полная картина, так как для каждого значения W существует два решения Z.
Поэтому в одиннадцатом видео наша кривая превращалась в две на поверхности Римана. Второе решение — зеркальная копия первого. Из наших примеров видно, что некоторые линии с плоскости W в результате преобразований уходят в другую ветвь функции, а некоторые — нет. При линии, которые прошли рядом с центром поверхности Римана, такие места называют точками ветвления. Эти точки возникают, когда функции принимают одно и то же значение в двух разных ветвях.
Они дают массу информации о поведении комплексной функции. В данном случае такая точка находится в нуле. Поверхность Римана не только решила ряд описанных выше проблем, но и объяснила поведение замкнутых кривых в современной математике. Применению поверхности Римана масса, но у нас сейчас нет времени обсуждать их все. Давайте лучше наконец разберёмся, что же это такое.
На протяжении единадцати серий мы искали нули функции f от Z = Z к п 1. За это время мы пришли к визуализации функции с помощью поверхности Римана, где ТМ из четырёх переменных соответствуют координаты в трёхмерном пространстве. Мы начали программы двухмерного графика, но он показывает только вещественные части переменных Z и W. Мы добавили ещё одну размерность и представили на ней мнимую часть Z. В нашу визуализацию добавилась высота, и мы получили вот такую поверхность.
После того видео у многих возник очень правильный вопрос: если согласно основной теореме алгебры функция должна иметь ровно два корня, почему точек пересечения нулевой плоскости и исследуемой поверхности значительно больше? Подобная двусмысленность вызвана упомянутыми ранее недостатками нашего восприятия, привыкшего к трёхмерном пространству. Не забывайте: всякий раз, когда мы визуализируем четырёхмерный объект в трёхмерном пространстве, нашему взору предстаёт лишь проекция этого объекта, а не его истинная форма. Мы видим только тень.
Рассмотрим поверхность повнимательнее. В первом видео половина поверхности была как бы скрыта листом бумаги. А цвета выбраны так, чтобы условно отразить изменение высоты поверхности. Теперь, когда мы узнали кое-что о функциях комплексных переменных, имеет смысл раскрасить поверхность по-другому. Пусть цвет соответствует значению переменной V, которой не хватило места в наших трёх измерениях. Теперь мы видим, как ведут себя все переменные. Осталось найти предсказанные Гауссом корни.
Нам нужны такие точки, в которых значение функции равно нулю, то есть нулю должны равняться координаты U и V, которые являются вещественной и мнимой частями переменной W. Координата U будет равна нулю там, где поверхность пересекает плоскость Z. Судя по цветовой шкале, мнимая часть переменной W, обозначенная буквой φ, равна нулю там, где поверхность окрашена в зелёный. Правда, у нас тут много разных оттенков зелёного, поэтому давайте для удобства проведём синюю линию там, где находится непосредственно ноль. Теперь на графике видно, что точек, где нулю равны и вещественное, и мнимая составляющие W, пересекающие комплексную плоскость Z, ровно две: плюс и минус. И как и было предсказано в теореме.
Наконец-то мы узнали, где были эти корни. Старинный Гаусс не ошибся — всё, как он и говорил: корни у функции есть, и их ровно два. Поиск этих корней обернулся длинным путешествием. Математике пришлось задуматься о природе чисел и о том, зачем они нужны. Оказалось, что для алгебры гораздо лучше подходят двумерные комплексные числа. Но мы пошли дальше и добрались до четырёхмерных поверхностей. Увиденное позволило взглянуть на школьную алгебру как на бледную тень гармоничной, могущественной многомерной математики, немыслимой без чисел, полу названных мнимыми. Спасибо за внимание. Переведено и озвучено студией Верт Дайдер.