Математические задачи из Армении
Всем привет! С вами Георгий Вольфсон. Мы на канале QWERTY. Это рубрика "Реальная математика". Передаем вам привет из солнечной Армении, но математика всегда с нами.
Поэтому сегодня ловите новые задачки и проблемы, которые могут встретиться, когда ты приезжаешь в Армению. Первая задача, которую мы разберем, такая: допустим, в обычное время перелет из Санкт-Петербурга в Ереван стоил 10.000 руб, но Константин прилетел за 320 тысяч.
С другой стороны, рестораны, на которые он в Питере тратил 20 тысяч рублей в месяц, здесь стоят ровно в четыре раза дешевле. Вопрос: за какое время он выйдет в ноль, то есть окупит свой билет? На самом деле задача не очень сложная.
Как и во всех следующих задач, вы можете поставить на паузу, попробовать решить в уме и сравнить свой ответ. Получили? Посчитаем. Для начала, какая была переплата за билет? 320 минус 10 будет 310 тысяч. С другой стороны, рестораны вместо 20 тысяч он будет тратить 5000 в месяц.
Но если он тратит 5000 в месяц, он экономит 15000, тогда не сложно посчитать, что за 20 месяцев он сэкономит 300 тысяч. 21 месяц — чуть меньше двух лет. Другой вопрос, что, конечно, здесь не в четыре раза меньше, поэтому это небольшая фигура – доллар 83 цента.
Что на них купишь в этой стране? Обалденный обменный курс! Рассмотрим такую задачу: допустим, из государства А уехали мужчины, некоторые с женами, некоторые одни. Вопрос: мог ли при этом процент мужчин в государстве А и в государстве Б, куда все приехали, увеличиться? Ответ: безусловно, да.
Это возможно, и построить пример не сложно, особенно если сделать его довольно искусственно. Представьте себе, что в государстве было 99 мужчин и одна женщина. И вот уехали один мужчина и одна женщина. Тогда очевидно, что процент мужчин был 99%, осталось 100 женщин, не осталось.
В государстве Б жили только женщины, в Амазонку. Тогда получаем, что если туда приехал мужчина, то процент был 0, а стал больше. Значит, процент увеличился. И там вы можете возразить, что этот пример весьма искусственный. Где мы найдем государство, в котором вообще нет мужчин?
Это через несколько лет возможно такое появиться, ты никогда мужчин не видела. А как же твой отец? У меня не было отца. Другой пример: здесь самое главное сделать так, чтобы процент мужчин в той группе, который уехал, был меньше, чем процент мужчин в стране, но больше, чем процент мужчин в стране Б.
Скажем, если в стране А процент мужчин был 60%, а в уехавшей группе среди них процент мужчин 55%, например, там будет 55 мужчин, а в стране, куда они приехали, 50 на 50. В этом случае процент везде повышается и в стране А, и в стране Б.
Не менее важная проблема, когда ты попадаешь в другую страну, это перевод денег в местную валюту. Допустим, что у нас есть следующие возможности: во-первых, мы можем перевести напрямую из рублей в местную валюту в Армении, либо мы можем перевести сначала в доллары. Но в каждом случае у нас есть комиссия.
Допустим, что в случае перевода из рублей в драмы комиссия будет 5%, перевод из рублей в доллары — 2%, а из долларов в драмы — 3%. Вот что выгоднее: перевести в драмы через доллары или напрямую? Конечно, вы можете сказать, что 2 + 3 — это же 5, поэтому по идее комиссия одинаковая.
Но давайте на самом деле все немножко по-другому: смотрите, когда комиссия съедает 2% от суммы, это значит, остается 98% этой суммы. То есть надо умножить на 0,98. Если после этого мы потеряем еще 3% на второй комиссии, то это значит, что полученную сумму надо будет умножить на 0,97.
Если умножить число сначала на 0,98, а потом еще на 0,97, общий множитель получится 0,9506, что чуть-чуть больше, чем 0,95. Если же мы сразу потеряли 5% на комиссии перевода из рублей в драмы, то мы с умом умножаем на 0,95. Таким образом, получается, что через доллары делать выгоднее.
У меня исчез на 100 долларов, не дала бабушка. Отец сказал, я должен положить его в банк, чтобы он с годами увеличился. Мы можем положить ваш чек в фонд краткосрочных инвестиций, затем реинвестировать сбережения, считаться на сатаной валютой со сложными процентами — и их нет.
Итак, у нас появились драмы, значит, самое время пойти за покупками и купить на рынке виноград. А значит, вспомнить известную задачу про то, как виноград превращается. Предположим, что у нас было 200 кг винограда, и известно, что процент воды. Дальше его немножко высушили, и процент содержания воды стал 98.
Вот вопрос: сколько килограммов этого самого винограда теперь же изюма осталось? Но вы можете попробовать предположить чисто интуитивно, в комментариях написать, сколько, как вам кажется, а потом проверим. Поставьте на паузу и сами попробуйте посчитать.
На самом деле история следующая: смотрите, если 99% от 200 килограмм — это вода, значит, мы можем сказать, что 1% — это некое сухое чистое вещество, содержится в винограде. Масса этого вещества у нас будет 1% от 200 килограмм — это 2 килограмма. Когда мы высушиваем виноград, испаряется только вода, сухое вещество остается.
И в этом случае у нас вода составляет 98%, сухое вещество составляет 2%. 2 килограмма — это 2%. А сто процентов — это 100 килограммов. И внезапно получается, что этот самый изюм потерял в весе аж в два раза, хотя, казалось бы, процент содержания. Многие говорят, что ответ 200 кг, например 196 или 150, но никак.
Теперь такая древняя армянская задача. Представьте себе, что подножия этой горы находится монастырь, и в этом монастыре живет старец, который в 6 утра поднялся и решил забраться на гору, чтобы там помолиться. Вот поднимается он 12 часов, он поднимается с разной скоростью, иногда делает какие-то перерывы, трапезничает, думает, поднимается, и в 6 вечера он наверху.
Дальше он проводит 12 часов на горе, после этого в 6:00 утра следующего дня он начинает столь же неторопливый спуск, делает перерывы, иногда молится, иногда обдумывает что-то, кушает. И в 6 часов вечера, спустившись по той же самой дороге, по той же самой тропе, он оказывается у себя. Вопрос: докажите, что найдется такое время, в которое он оба дня окажется в одной и той же точке.
Вот поставьте сейчас видео на паузу и попробуйте сами придумать решение. Надеюсь, что все это сделали. Итак, решение следующее: предположим, что у нашего старца есть брат-близнец, который делает все то же самое, что и он, но на сутки раньше.
И вот если на второй день наш старец спускался с горы, то его брат-близнец спускается в первый же день, тогда когда старец поднимается. Ну, понятно, что раз они идут по одной и той же тропе, значит, найдется то место, в котором они встретятся. Будут они там в одно и то же время. Вот именно это время и это место удовлетворяет условия задачи.
Такой достаточно симпатичное решение. Ну что ж, на этом на сегодня, друзья, все. Не забывайте подписываться на наш канал и ждать новые интересные ролики. Возможно, следующий ролик мы с ним из другой страны подберём новые тематические задачки. Ну а я на этом с вами прощаюсь. [музыка]