Нетривиальные задачки "самой математической" игры
А вы знаете, есть одна игра, которую многие считают самой легкодоступной именно для математиков? Я думаю, многие догадались. Можете в этот момент поставить ролик на паузу и написать в комментариях, какая игра вот для вас самая математическая. Но что-то мне подсказывает, что многие напишут.
Всем привет! С вами Георгий Вольфсон, и это реальная математика на канале QWERTY. Шахматы — действительно шахматы, логическая игра, и многие математики прилично играют в шахматы. А многие шахматисты являются неплохими математиками. Это мне сразу напоминает: был такой гроссмейстер Марк Тайманов, который очень хорошо играл на фортепиано. Его называли лучшим пианистом среди шахматистов и лучшим шахматистом среди пианистов.
Я вряд ли лучше шахматист среди математиков и уж точно не лучший математик среди шахматистов, но тем не менее, попробую сегодня связать две своих любимых области: в шахматы люблю играть, математикой заниматься, и мы с вами порешаем некоторые математические задачи, имеющие отношение к шахматам и шахматной доске. Поехали!
Ну и первое, пожалуй, классическое и очень красивая, на мой взгляд, задача. Мы, по-моему, даже как-то обсуждали с Максимовичем Протусевичем в одном из роликов. Самая любимая задача — это, наверное, про шахматную доску, и допустим, у неё вырезали какие-то варвары два уголка. Ну, скажем, вот левый нижний и правый нижний.
Можно ли оставшуюся часть доски — 62 клеточки — разрезать на доминошки? Ну то есть прямоугольнички 1 на 2, состоящие из двух клеточек. Можете поставить на паузу и проверить, получается у вас или нет. Я надеюсь, что все это сделали. Действительно, разрезать несложно, если вы аккуратненько нарисуете. Вот, например, это можно сделать так — сложности нет.
Ну и самое главное, что многие не понимают, в чем же вопрос. Действительно, было 64 клетки, две убрали, осталось 62. 62 делится на 2, поэтому, конечно, можно. Хорошо, тогда вот для вас второй вопрос: предположим, все то же самое, только варвар вырезал не две нижние клеточки, а левую нижнюю и правую верхнюю.
И вот здесь вопрос: сможем ли мы в этом случае разрезать оставшуюся часть доски на доминошки? Казалось бы, все те же 62 клетки, 62 / 2, все хорошо, 31. 31 доминошка. Попробуйте, что не получилось, и это нормально, потому что на самом деле это невозможно сделать.
Ерунда, знаешь? Ведьмак, зачем я играю в шахматы? Так вот, если мы вырезали клетку A1 и клетку H8, это две чёрные клетки. Значит, чёрных клеток осталось всего 30, а белых — 32. Но с другой стороны поняли, да, что мы должны вырезать 31 доминошку? В каждой доминошке, как её не расположить, одна клетка будет белой и одна чёрной. Значит, если мы сможем разрезать на 31 доминошку, то белых клеток должно быть столько же, сколько чёрных, по 31. А у нас их не столько же, значит, это невозможно.
Игра лишь началась. Задача вторая про расстановку фигур на шахматной доске. Наверняка, многие из вас знают, как именно ходят шахматные фигуры, как они бьют друг друга и так далее. Но давайте начнём с ладей. Только что на этом месте у меня стояла ладья. Теперь её нет, значит, не было. Любая ладья бьёт всю горизонталь, на которой она стоит, и всю вертикаль, на которой она стоит.
Вот вопрос: сколько не бьющих друг друга ладей можно поставить на шахматную доску? На всякий случай, мы будем ставить, например, только белых ладей и будем считать, что белая ладья теоретически может и белую тоже побить, если они находятся в одной горизонтали. Вот вопрос: какое наибольшее количество ладей вы сможете выставить?
Я думаю, что 8 небьющих друг другу ладей поставить не трудно, по диагонали, например, можно или больше. Хороший вопрос! Многие скажут, что очевидно нельзя. А вы докажите сначала, что это нельзя. Можете поставить опять же на паузу и подумать, как же это строго доказать.
А я предложу вам такое доказательство. Давайте заметим, что если ладья бьёт всю горизонталь, то в каждой горизонтали может быть не более одной ладьи. Ну а раз горизонталей 8, значит и один не более чем 8. Попробуйте теперь решить сами.
Чуть более сложные две задачи: какое наибольшее количество слонов можно поставить на доску, чтобы они не били друг друга, и какое наибольшее количество королей можно поставить на доску, чтобы они не били друг друга. Это уже более трудные задачки, поэтому можете написать в комментариях, во-первых, сколько у вас получилось, а во-вторых, почему больше нельзя.
Следующий сюжет: предположим, что у нас был шахматный конь, который, напомню, ходит буквой "Г". Лошади, отвались, допустим, он стоял на некоторых клетке, ну, скажем, 1. Дальше он сделал 15 ходов каких-то. Вот вопрос: мог ли он ровно через 15 ходов вернуться в свою исходную клеточку?
Попробуйте это сделать на доске. Получится ли у вас вот ровно за 15 ходов, не меньше, не больше, вернуться в эту клетку, и посмотрим, получится ли у вас. Может ли это? Получить. Теоретически оказывается, что это невозможно. Это можно тоже доказать на шахматной доске.
Очень часто работает идея чётности. В данном случае давайте посмотрим, что конь, как говорят шахматисты, приходит всегда, меняет свой цвет. Что значит, меняет цвет? Конечно, не перекрашивается, но поле, на которое он становится, оно всегда не того цвета, на котором он был. Чёрное и белое. Чёрное, белое. Чёрное, белое. Чёрное, белое.
Но тогда, если он был исходно на чёрном поле, то первым ходом он прыгнет на белое, вторым на чёрное, третьим на белое, четвёртым на чёрное, пятым на белое, шестым на чёрное. Вы уже поняли, каждый нечётный ход приведёт нас на белое поле, а каждый чётный — на чёрное. Если нам нужно вернуться на чёрное поле, а исходное было чёрным, мы должны сделать чётное число ходов, а число 15 — нечётное. Противоречие!
Некоторые не любят шахматы за то, что это слишком заумная игра, в этой игре слишком много разных правил, их все надо знать и так далее. Поэтому на шахматной доске есть так называемые математические игры, где правила гораздо проще, но играть в них тоже достаточно забавно, особенно придумать их выигрышные стратегии. То есть попытаться придумать такую стратегию, которая приведёт вас к победе независимо от действия вашего оппонента.
А если ты пойдёшь сюда и ты проиграл, давай мне 20 долларов, и мы сэкономим 20 минут. Начнём с такой игры. Вот рассмотрим шахматную доску и предположим, что в клетке A1, в левом нижнем углу, стоит ладья. Ладья может ходить так, как ходит ладья, с одним исключением: она ходит может только либо вверх, вниз, и влево она не ходит. И вот двое ходят этой ладьей по очереди.
То есть первый делает свой ход на любое количество клеток вправо или вверх: можно пойти на C1, можно пойти на A5, куда хотите. Потом второй ходит с той точки, куда привёл; 100 клеток — да, куда привёл её первый. Потом снова уходит первый и так далее. Выигрывает тот, кто ставит ладью на поле H8.
То есть, сами понимаете, что если первый вдруг сделал глупость и поставил одну на H1 своим первым ходом, второй ставит её на H8 и сразу выигрывает. Но первый не дурак, он, конечно, ходить не будет. Поэтому дальше вопрос: как же всё-таки придумать стратегию? Кто выиграет при правильной игре: каким надо ходить, первым или вторым? И если Вы выбрали, каким-то, как надо ходить, чтобы точно выиграть, опять же поставьте ролик на паузу и подумайте, как это сделать.
А можете на время отойти от нашего видео и поиграть с кем-нибудь из своих домочадцев или друзей и посмотреть, кто же кого разорвет в этом не самую трудную игру. Ну что, надеюсь, что все попробовали. А на самом деле выиграет здесь второй, и выигрышная стратегия за него такая: каждым ходом надо возвращать ладью на главную диагональ A1 — H8.
Действительно, вот если, например, исходно первый поставил, скажем, на C1, вы возвращаете в 11.3. Первый поставил, скажем, на C6, а вы переводите на F6 и так далее. Значит, после хода первого ладья всегда будет убираться с главной диагонали, а после хода второго возвращаться на неё. Таким образом, ладья окажется на поле H8, то есть на главной диагонали только после хода второго. Вот и всё!
А по-другому эта стратегия можно описать так: если первый делать сколько-то ходов ладьёй, ну вот, насколько это клеточек в одном направлении, мы делаем столько же, но в другом. То есть, если он двигает на три поля вверх, мы двигаем на три вправо; если он двигает на два вправо, мы на два вверх.
Итак, мы выиграем. Не менее интересными являются подобные же игры, когда ладью мы меняем на какую-то другую фигуру, например, на короля. Можете попробовать подумать, как изменится эта задача, если на поле A1 поставить не ладью, а короля.
И король тоже будет ходить по правилам, только на одну клеточку, но только вправо, вверх или по диагонали вправо-вверх. То есть, из первой клетки, из A1, может пойти либо на A2, либо на B2, либо на B1. Задача, опять же, привести короля на H8. Как видите, здесь стратегия просто доводить его до диагонали не будет работать.
Потому что если вы приведёте короля на поле G7 на диагонали, то соперник сразу пойдёт по диагонали H8 и выиграет. В этом отличие! Но игра похожая. Ещё забавная игра с ферзем. Правда, если ферзя поставить на поле A1 и разрешить ему ходить вверх, вправо и по диагонали, то очевидно, он первым ходом просто встанет на H8.
Поэтому попробуйте поставить ферзя на поле A2, начать с этого поля и рассуждать таким же образом: что он может ходить либо вправо, либо вверх, либо по диагонали вправо-вверх. Задача — поставить его на H8. Кто выиграет при правильной игре?
Ну и напоследок такая вроде простенькая, но слегка хулиганская задачка. Представьте себе, что была шахматная доска, и один юный хулиган на неё пролил зелёнку. И вот после этого, оттирая, значит, зелёнку, он грустно сказал: "Ты знаешь, папа, проблема в том, что клеток, которые покрашены зелёнкой, то есть испорченных, их аж на 15 больше, чем остальных клеток чистых".
После чего папа посмотрел на него с укором и сказал: "Ты знаешь, мало того что ты у меня криворукий, сынок, так ты ещё считать не умеешь!" Как он догадался? А разгадка здесь проста. Заметим, что если количество испорченных клеток отличается от количества не испорченных на 15, то значит, это числа разной чётности. То есть если одно число чётное, другое нечетное.
Но тогда сумма их испорченных и хороших клеток нечетное. Правда? Чётное плюс нечетное будет нечетное. А мы знаем, что общая сумма равна 64, то есть чётному количеству. Противоречие! Значит, папа оказался прав, как и все папы.
Ну что, я надеюсь, что шахматы сегодня стали к вам ещё немножечко ближе, как собственно и математика. Ставьте лайки, потому что я хоть спасибо большое, мы действительно будем очень рады вашим лайкам. А мы пока пойдём поиграем в шахматы. До встречи на новых роликах! [музыка]