Как работают "счастливые билетики"? Математический лайфхак Вольфсона на QWERTY
[Музыка] Всем привет! Вот только что я, хуй автор войны, работал. Да-да, все помнят зонтиком, как это было в прошлый раз. Если кто не знает трогательную историю и оставил свой предыдущий за этих в автобусе — можете жить, вот еду слава богу, за них не забыл. И не дает мне контролера билет, а билет у меня получился с номером 14 4009. Ну, я ж математик! Первое, что я делаю, глядя на билет, конечно, считаю сумму первых трех цифр и последних трех.
Многие делают также, и оказывается, до 9 равно 9. Счастливый билет! Суд. Я, правда, не люблю после этого их съедать, как никто это делает там. Один раз я в этом сильно зашёл, контролеры ещё и что он заплатит больше — так не делайте. Но, тем не менее, порадовался — билет счастливый. А потом я вдруг задумался: а когда будет следующий счастливый? Вообще, насколько часто попадаются счастливые билеты? Это может быть из-за не прям совсем часто идут — там cada десятый — такого не такое счастье.
Ну, давайте прикинем. Значит, вот 14 4009. Сумма первых трех будет мне девятка! Да, а дальше, когда я отмотаю, но следующий билет у меня меняется только в конце, добавляю один — будет 14 4010. Да, потом будет 14 4011 и так далее. И следующий будет, как понятно, а 14 4018. Тысячи буквально через девять билетиков с новшествами, а потом ещё через день до 14 4027. А потом 14 4036, потом 14 4040. Скажешь, они будут очень часто.
Вроде как, с другой стороны, представьте себе, что если бы 1 билет, который получил, имел номер 999 000, когда будет ближайший счастливый билет? А понятно, когда это будет 999999 — не раньше, надо-то есть выясняется, что в какой-то момент промежуток между соседними щелевыми билетами. Он радует 9, а в какой-то он, аж трепещу! Так, всё-таки часто они идут или редко?
Сколько же вообще счастливых билетов в офис? Давайте в этом разбираться! Для начала давайте прикинем, сколько вообще существует билетов от 000000 до 999999. Соответственно, всего это будет 10 в шестой степени, или миллион вариантов. Поэтому если я захочу рассчитать вероятность того, что мне попадется счастливый билетик, мне надо посчитать просто количество счастливых билетов и поделить на вот этот миллион. По известной школьной форме: количества благоприятных исходов разделить на общее количество исходов. Осталось понять, сколько же счастливых билетов всего бывает.
Ну, вот 1 типа кинь. Сделаем некоторые грубые оценки сверху и снизу. Чего не больше — это количество, ничего она не меньше. Например, очень легко оценить так. Замечу, что любой билет вида ABC ABC является счастливым, когда первые три цифры совпадают с вами тремя. Такой билет, конечно, счастливый!
Что если цифры одинаковые, их сумма тоже одинаковая. Никто не знает, очень интересно было бы увидеть одного человека, который уже придумал называть такие билеты счастливыми. Вот едет человек в автобусе, ли там трава, смотрит на билет, считает непонятно зачем сумму первых трех цифр и последних, а потом еще убеждает весь мир в том, что вот это и есть счастье. Честно, игра сомнительно!
Ну так вот, сколько же таких прям красивых счастливых билетов? То есть у которых первые три цифры совпадают с последними тремя? Ну, понятное дело, мы можем просто выбрать любые первые три цифры. Это вариантов от 000 до 999, то есть 1000 вариантов и для каждой таких точек мы можем их же продублировать. Будет всего 1000 вариантов.
Обратите внимание, что на самом деле это очень грубая оценка. То есть, во-первых, я не учитываю, что цифры можно менять местами. В этом 123 — это то же самое что 321 — это существенно, а во-вторых, я не учитываю, что одинаковую сумму можно получить из разных цифр. Ну, как у меня был билет до 14 4009, там цифры разные, а вот сумма — девятка — одинаковая. Поэтому такая, очень грубая, тем не менее, мы точно понимаем, что их больше, чем тысячи.
Для того чтобы оценить с другой стороны, то есть понять, чего их точно не больше мне понадобится еще одно важное определение. Вот я очень надеюсь, что этот ролик смотрит не только в моем родном Питере, но и в Москве. Знаете, в Питере есть такое понятие, как билеты "счастливые по-московски". То есть, когда сумма цифр, стоящих через 1, 3, 5 равна сумме цифр 2, 4, 6. Кстати, очень забавно, что в Москве такие билеты называют счастливыми по-питерски. А у нас счастливыми называют, как разум!
Традиционно то, чтобы на меня в Питере должного, я даю счастливы первые три в сумме так же, как последние три. Так вот, я утверждаю, что билетов "счастливой по-питерски", счастливых по-московским — их уровня. Действительно, какая разница? Я беру первые три цифры и последние три или первую, третью, пятую и 2, 4, 6.
Если просто беру, вот 2, 4, 6, а теперь вторую четвертую, передвину в конец — то из "билета счастливо на меня", по-московски, да, как я называю получается просто счастливый билет! Мы сейчас построили что-то вроде такого взаимно однозначного соответствия, которые составляют каждый билет счастливой и каждый билет счастливый по-московски. Я буду говорить своих целей. Таким образом, получается, что их по одной стороне некоторые из вас, возможно, знают такую замечательную признак — признак делимости числа на 11.
Что если сумма цифр на четных местах в числе даёт тот же самый остаток от деления на 11, что и сумму цифр, стоящих на нечетных местах, то такое число делится на 11. Значит, на самом деле из этого следует, что любой билет "счастливой по-московски" должен делиться на 11, потому что там эти суммы цифр на четных и нечетных местах не просто дают одинаково остатки — они вообще совпадают.
Ну, а значит, общее число счастливых по-московски билетов уж точно не превышает количество чисел, делящихся на 11, от 0 до 999920. Если разделить 999999 на 11, то получите, как не трудно понять, 90909. Значит, счастливых билетов уж точно не больше, чем 90909. Грубо говоря, не чаще, чем каждые 11. Они, в среднем, появляются, как мы видели в какой ситуации, они могут получиться чаще, но среднем не чаще, чем каждые.
Но это опять же грубая прикидка. А как же всё-таки посчитать общее количество, реально точное количество? Давайте разбираться. Чтобы решить математическую эту задачу, нужно применить какую-то из следующих идей. Я покажу две идеи, и в каждом случае мы посчитаем.
1 идея такая: ну, смотрите, вот давайте отделим первые три цифры. Что мы можем получить из этих трех цифр? Какую сумму мы можем получить? 0. Ну, это очевидно — только один вариант 0. Мы можем получить 1. Сколько вариантов получить 1? Ну, понятно, что три: либо 100, либо 010, либо 001 и так далее.
Давайте переберём то, какие числа от 0 до 27 — это не так легко делать, что называется "руками", но, в принципе, это делается. Более того, те из вас, кто немножечко дружит с программированием, они, конечно, легко могут написать программку, в которой просто считаются все возможные варианты получения этих сумм, и для каждой суммы считается, сколькими способами та сумма получается.
То есть в конце мы получаем, что можно получить 1 одним способом, 2 — тремя способами и так далее. 27 можно получить одним способом, 30. Ну так, а дальше что делаю я? Говорю, что если первая сумма была 0, 1, 3 и так далее, то вторая должна быть 0. Что? У меня есть один ряд получить 0 на 1 и 1 ряд до 2 — это володи нужды 100000.
Теперь для суммы 1 это первые три цифры, получается в сумме 1 тремя способами, а вторые три цифры ещё тремя — то вместе это дает мне 3 на 3 — 9 способов! Напоминаю, что для каждого из трех способов на первые три цифры есть три способа получить старые триц, и таким образом всего будет 3 на 3 — 9 способов. И так далее.
То есть каждое количество для сборки для тройки и четверки я возведу в квадрат. Вот, пожалуйста, вам табличка, по которой можете посмотреть эти количества и, соответственно, возвести в квадрат каждое число. Вы, естественно, руками это делать не будете. А дальше полученные через он просто складываю, и получаем окончательный ответ. Если всё аккуратно сложили, это вы получите 55 тысяч 252 варианта.
Другая идея, которая лично мне нравится даже чуть больше, такая: давайте вот возьмем наше число, я его запишу так: A B C E X Y Z — шесть цифр, и мне известно, что A + B + C равно их сумма. Пускай плюсы. И давайте каждую цифру X, Y и Z заменим на дополняющую её до девятки. То есть, допустим, если у меня было что на конце 1, 2, 3, я заменяю на 876 на то, что 8 — это 9 минус 1 минус 2 и 6 определен nsstring.
Но тогда смотрите, на конце у меня будут цифры 9 минус X, 9 минус Y, 9 минус Z, а их сумма, в свою очередь, будет 27 минус X минус Y и Z. Но ведь X, Y и Z по сумме дают то же самое, что... боится, правда? Тогда сумма цифр полученного числа вот после этой замены будет ровно 27.
Отсюда мораль: вот если с любым счастливым билетом проделать такую хитрую операцию, получается некоторое число шести цифр, сумма цифр которого 27. А значит, чтобы посчитать количество счастливых билетов, надо просто посчитать количество способов представить 27 в виде суммы 6 цифр. Ну а эту задачу, в свою очередь, можно решить уже либо перебором на компьютере, либо также комбинаторным.
Я покажу ещё одну идею, которая, кстати, применялась бы и в первом решении, когда рассказывал про количество способов представить сумму из 3 цифр. Смотрите. Допустим, я знаю, сколько способов есть представить каждое число в виде суммы одной цифры. Будет понятно, ноль — один способ, собственно, 501 — тоже один способ и так далее до 9. Теперь, допустим, я хочу посчитать сумму для двух цифр, и допустим, я беру, скажем, 4. Сколькими способами могу представить 4 в виде суммы двух цифр? И понятно, смотрите, это либо 0 плюс 4, либо 1 плюс 3, либо 2 плюс 2, либо 3 плюс 1, и того получается 5 способов.
Да, то есть если ассеты запишут в такую табличку, то в ней я могу просто просуммировать те числа, которые идут слева от моего текущего до вверх, но только не до конца, а на 10. Именно на 10, потому что если я буду считать, например, сколькими способами в виде суммы двух чисел я могу получить 12, то 12h не могу получить, как 0 плюс 12, потому что нет такой цифры 12. Я рассматриваю только три — здесь 4, 5, 6, 7 и так далее.
Но и дохожу до 9 плюс 3, и дальше уже не иду. Если это математически были какие-то варианты, прошел бы еще до 0, до 0 барсучий выше, чем туда я не прохожу, то что больше девяти я добавить в предыдущем не могу. Таким образом, вот эту табличку можно заполнять вот так, последовательно по столбцам. Зная первый столбец, я могу заполнить 2. У вас, миру соответствующий 10 человечек, дальше, зная второй столбец и заполню 3. Таким образом, я решу задачу первым способом.
Да, я скажу, сколько способов мне получить каждое из чисел от нуля до двадцати семи с помощью суммы трех цифр. Но дальше я могу заполнять четвертый столбец и 5, 6, и когда заполню 6, то число, которое будет стоять напротив 27, это и есть ответ задачи. Ну, вы удивитесь, там будет те же самые 5202. Как? Хотя, конечно, вручную это делать довольно тяжело. Но, опять же, программка пишется очень легко.
Ну что ж, теперь осталось только посчитать вероятность того, что отчетливо билетика реально попадется. Для этого надо разделить вот эти 55 252 на 1 миллион. Ну, я надеюсь, что все способны поделить. Если очень грубо, но давайте просто оценим до 50000, делить на миллион. Напоминаю, что когда мы сокращаем, то у нас уходит 4 нуля. 50000 разделить на миллион и будет 641, останется примерно 5 соток. То есть выраженно около 5 процентов. Значит, грубо, каждый двадцатый на самом деле билет является счастливым.
Вот такая штука! Ну что же, математическую задачу решили. Мне, конечно, осталось поинтересоваться у вас: как часто вы вычисляете, является ли ваш билет счастливым? Как часто вы съедаете такие билеты? И как насчёт того, насколько счастливым вы чувствуете себя ближайшие три часа после того, как вы это делаете? Не знаю, насколько счастливым вы станете, но уверен, что вы станете чуточку счастливее, если подпишетесь на наш канал и будете смотреть новые ролики по математике и по другим дисциплинам! Они уж точно сделают вас... Есть нечести! Ветру, мне до встречи. [Музыка] [Музыка]