Мнимые числа реальны: #9 Замыкание [Welch Labs]

Вот сайт с шаурмой. Likes. Совсем скоро мы перейдем к решению уравнений из первого видео. Но есть ещё один вопрос: откуда мы знаем, что алгебра неполноценна без мнимого измерения?

Я рассказывал, что в самом начале из всех чисел люди знали только натуральное. Египтяне столкнулись с не решаемыми задачами и поняли, что одними натуральными числами не обойтись. Однако понять, что вам чего-то не хватает, иногда бывает непросто.

Благая математики придумали, как можно проверить, все ли необходимые разновидности чисел вы нашли. Сегодня поговорим о замыкании. Давайте-ка поиграем: у вас есть множество чисел и какой-нибудь алгебраический оператор. Будем брать два случайных числа из набора и проводить над ними какую-нибудь операцию. Получим ли мы число, не принадлежащее к множеству?

Начнем с натуральных чисел и сложения. Итак, можно ли, сложив два натуральных числа, получить не натуральное число? [музыка]. Перебрав несколько вариантов, справедливо заключить, что суммой натуральных чисел всегда будет натуральное число. На языке математиков это значит, что множество натуральных чисел замкнуто относительно сложения.

Теперь посмотрим, как у натуральных чисел с вычитанием: с некоторыми комбинациями все нормально. Скажем, 6 - 4, их разность равна двум, а это натуральное число. Но что, если взять 4 - 6? Тогда мы получаем число, не принадлежащее к натуральным числам. Значит, это множество не замкнуто относительно вычитания. Нам надо расширить набор чисел, чтобы в него входили ноль и отрицательные числа. Множество натуральных чисел не замкнуто относительно вычитания.

То ли дело множество целых чисел! Мы расширили числовую систему, теперь можем вычитать что угодно из чего угодно. Думаю, вы догадались, что для других операций нам понадобится числовая система побольше. Для деления, например, нужны дроби, а это уже множество рациональных чисел. Здесь рация означает соотношение, то есть рациональное число можно выразить как соотношение двух целых чисел.

Чтобы наглядно показать, как логически связаны между собой различные множества, часто используют диаграммы Венна. Это удобно: целые числа всегда рациональны, поскольку могут быть выражены как соотношение двух целых чисел, но не все рациональные числа являются целыми.

Итак, мы дошли до множества рациональных чисел. В него входят 0 и 1, минус 5 и даже минус две трети. Относительно каких операций замкнуто это множество? Сумма двух рациональных чисел также рациональна, так что смело записываем сложение. То же справедливо для вычитания, умножения и деления.

А как насчет степеней и корней? Если возвести рациональное число в рациональную степень, получим ли мы рациональный результат? Иногда да, например, если возвести в квадрат 2/9. Но если нам нужно 2 в степени 1/2, начинаются проблемы. Дробная степень — это альтернативный способ записи корня, то есть нас интересует квадратный корень из 2.

Ни одно целое число, как его ни пытайся, не даст квадратного корня из 2. Доказательства есть, но это тема для отдельного видео. Поскольку подобные числа не являются рациональными, их назвали ирациональными. И сразу скажу, есть кое-что позабористее — а именно трансцендентные числа, вроде π или e. О них тоже в другой раз.

Нам надо снова расширить числовую систему и включить в нее все эти числа, и тогда мы получим множество вещественных чисел. Давайте сыграем ещё разок: у нас есть множество вещественных чисел, а в качестве оператора выступает корень. Это множество замкнуто? Можем ли мы взять корень из вещественного числа и получить не вещественное число? Хоть мы уже столько всего добавили в наше множество, кое-чего все равно не хватает.

Мы ограничены множеством вещественных чисел. В этом множестве нет числа, которое было бы квадратным корнем из -9. Решение появляется, когда мы добавляем еще мнимые числа, а точнее, берем все известные нам вещественные числа, добавляем к ним мнимую составляющую и получаем самое полное множество чисел — комплексные числа.

Первое время математики сомневались: а что если для каких-то задач нужны более сложные числа, например, чему равен квадратный корень из минус мнимой единицы? Не перейдем ли мы из двух измерений в три? К счастью, оказалось, что нет. Найти квадратный корень из минус i нам поможет старая добрая комплексная плоскость.

И это число с модулем 1 и углом -90 градусов. Значит, наш корень — это число с модулем 1 и углом -45 градусов. Единичный круг подсказывает, что это корень из 2 на 2 минус корень из 2 на 2, умножить на i. Корень из минус i остается комплексным числом, и фантастические числа, обитающие в трёх измерениях, нам не нужны.

Нет такой задачи, включающей сложения, вычитания, умножения и деления, возведения в степень или взятия корня, которую нельзя решить с помощью комплексных чисел. Мнимые числа — последний кусочек, которого не хватало в пазле под названием алгебра. [музыка]. Переведено и озвучено студией "Вверх Гайдар".