Как простая формула может упростить жизнь
Опять начинается до когда мы занимаемся теории вероятности какие-то кубики, какие-то шарики, какие-то ящики и коробочки, из которых мы чет там достаем. Все замечательно, только это очень далеко от нашей жизни. Мы выясним, как именно эта теорема может помогать вам, принимая решение практически в любой жизненной ситуации.
[музыка]
Всем привет! Рад снова видеть вас на канале Qwerty. Надеюсь, что вы уже давно подписаны на него, чтобы не пропускать новые интересные лекции. Кто этого не сделал, можно сделать вот здесь. Сегодня мы поговорим о вероятностях и даже затронем такую страшную штуку, как теорема Байеса. Сильно не пугайтесь, ничего совсем уж трудного не будет, но кое-какие вещи освежить нужным.
И начнем с понятия вероятности. Вообще, что такое вероятность наступления некоторого события? А это то, насколько она часто в среднем происходит. То есть, допустим, вероятность того, что в рулетке шарик попадет на красный, мы помним примерно на 2 или 50 процентов. Это же какому дом!
Кроме этого, сегодня мы будем говорить не только про вероятность, но и про шансы. Чем вероятность отличается от шансов? Если, допустим, вероятность красного в рулетке примерно 1 к 2, то шанс выпадения красного — это один к одному. Из как бы один из двух. Да, мы запишем как один к одному: 1 красный, 1 не красный.
То же самое, если вероятность какого-то события, ну скажем, того, что после нового года вы прибавили в весе, составляет 75 процентов на статистически. То мы можем это сделать в виде шансов: 75 процентов — это три четверти, то есть три к одному, что вы поправились, хотя я надеюсь, что это не совсем так.
Кроме этого, сегодня мы будем говорить про так называемую условную вероятность. Эта вероятность того, что некоторое событие произойдет при условии, что какое-то другое уже произошло. То есть, грубо говоря, в одном случае мы говорим, какова вероятность того, что на рулетке выпадет красное, а в другом случае мы говорим, какова вероятность того, что на рулетке выпадет красное при условии, что три раза подряд выпадало красное до этого.
Или другой пример: какова вероятность того, что мой сын получит пятёрку по математике в четверти? Или какова вероятность того, что он получит пятерку по математике при условии, что в прошлой четверти у него уже была пятерка? Понимаем разницу, да? То есть, во втором случае мы считаем вероятность при условии, что что-то уже произошло.
И вот на самом деле в этом и кроется суть использования теоремы Байеса, которой мы поговорим дальнейшем. Потому что представьте себе, что вам нужно в принципе оценить вероятность некоторого события, которое идет в вашей жизни. Это может быть что угодно. Ну и, например, вероятность того, что вы поменяете работу, либо вероятность того, что вам повысят зарплату, или вероятность того, что, не знаю, кто-нибудь выиграет в Atari. Что угодно! У вас есть эта вероятность уже в голове, вы можете и даже оценить интуитивно, а можете узнать там статистически, как угодно.
А дальше происходит что-то, то есть некоторое наблюдение, которое должно откалибровать вашу вероятность и должно сделать это правильно. Потому что, к сожалению, когда что-то происходит, обычно в дело вмешивается наша интуиция, и мы рассуждаем не логически, где математически, а интуитивно. Отсюда мы приходим к неправильному ответу. Вот пример, который в дальнейшем мы разберем. Допустим, вы увидели, что по телевизору произошла авиакатастрофа. Будете ли вы после этого сами бояться лететь? Вот вас вылет завтра. Интуитивно многие скажут «да». Математически и логически мы чуть позже посчитаем.
И мы разберем один пример, чтобы прояснить вообще, что такое условная вероятность. Допустим, у нас с вами есть такое событие: мы хотим посчитать, какова вероятность того, что два кубика, которые мы кинули, в сумме получится 12 очков. Мы посчитаем на самом деле не очень трудно: всего есть 36 вариантов, и ровно один из них нам подойдет. Вероятность в данном случае считается как количество благоприятных исходов, то есть 1 делить на общее количество исходов 36. Значит, вероятность 1 к 36, или, если записать это в виде шансов, один к 35.
Теперь условная вероятность. Какова вероятность того, что в сумме будет 12, если на одном из кубиков мы уже видим 6, а второй, ну, под стол закатился? Мы пока не видим, что-то в этом случае, да. На самом деле мы понимаем, что нам просто важно, чтобы на втором кубике выпала шестерка. Это одна шестая. Как видите, конечно, вероятность того, что наступит 12, да, она сильно увеличилась с 1 к 36 до 1 к 6. Вот это событие, что на одном кубике мы видели шестерку, она откалибровала наше исходное понимание.
Между прочим, интересно, как бы вы интуитивно и во сколько раз увеличится вероятность, если не считать, если вы увидели на одном кубике шестерку. Но вполне возможно, что правильно. Теперь, когда мы примерно поняли, что такое условная вероятность, давайте обратимся к формуле Байеса. Выглядит она вот так. Ее можно прочитать: вероятность некоторого события H при условии наблюдения E равна просто вероятности события A, то есть не условной, умножить на вероятность события A при условии H и делить на вероятность самого по себе E. Выглядит страшновато, но по факту помогает посчитать вот эта вероятность H при условии E.
То есть, еще раз, в чем логика? Мы, допустим, знаем вероятность P от H, а хотим посчитать вероятность P от H при условии E, то есть откалибровать P от H, понять, как она изменилась, если произошло E. И вот этот дробь, на который мы умножаем, да, вот в числителе P от H при условии E, она и есть этот калибровочный коэффициент, если хотите. Да, самое главное его правильно оценить.
И, конечно, если мы говорим про задачу с кубиками, там все легко: каждую из этих вероятностей мы легко можем посчитать. В данном случае событие H — это выпадет 12, событие E — это выпало 6 на одном из кубиков. Тогда мы с вами понимаем P от H это 1 к 36, мы уже поняли, P от E при условии H — то есть, давайте расшифруем, это вероятность того, что на одном кубике будет 6 при условии, что на 2 в сумме 12. Но это единица, правда? Потому что если в сумме 12 на каждом по 6. А в знаменателе у нас просто вероятность P от E — вероятность того, что на одном кубике будет шестерка, это 1 к 6. Если 1 к 36 разделить на 1 к 6, получается 1 к 6.
Что мы посчитали дуэта? Заметьте, что в данном случае теорема Байеса не так сильно нам помогла, мы и без нее можем все посчитать. Но я привел этот пример про, чтобы проиллюстрировать с другой стороны. Вы вполне резонно можете сказать, господи, вот опять начинается. Когда мы занимаемся теорией вероятности, какие-то кубики, какие-то шарики, какие-то ящики и коробочки, из которых мы чет там достаем. Иди сюда, классические задачи на вероятность — это все замечательно, только это очень далеко от нашей жизни.
Правда, в жизни такого не бывает. Ну вот теперь давайте разберем как раз жизненный пример, на котором убедимся, как похожие идеи работают. Для начала я приведу вам ещё одну формулировку теоремы Байеса в так называемой шансы-вай форме. Здесь как видите, чуть-чуть поменялось формулировка. Слева стоит не P от H при условии, а O от H при условии R — P от O — вероятность O от слова «шансы». Соответственно, вот все самые шансы. Помните, мы говорили о том, там один к трем, один к четырем. Так вот шансы O, A при наличии условия равны, опять же, O от H, просто то есть как бы умножить вот на этот вот корректирующую дробь.
Как вы видите, она тоже чуть поменялась. В числителе у нас P от H при условии A — то есть, что это событие случилось при условии, что A произошло. А в знаменателе P от T при условии не A. Вот это с чертой означает, не A, то есть A не произошло. И вот давайте попробуем забрать такой пример. Допустим, что после нового года от вас зашли в гости ваши друзья. Три часа ночи, все, допустим, сидели абсолютно не выпив, и поэтому на машине они спокойно сейчас поедут домой. Но три часа ночи вы их просили: пожалуйста, позвоните, когда вы вернетесь. После этого какое-то время проходит, допустим, час, и звонка нет. Вы набираете их номера телефона, включен, это может быть там для простоты один конкретный друг, чтобы там не считать каверы. На того, что оба телефона сразу отключатся. Ну, например, один друг, который живет в одиночестве, и вот телефону его отключен.
Вопрос стоит: паниковать или нет? Для начала попробуйте интуитивно ответить на этот вопрос. Будете ли вы паниковать? На самом деле здесь будет интересно, если вы можете отметить в комментариях: запаниковали бы, или да. А мы давайте посчитаем. Для начала давайте оценим вероятность того, что человек, допустим, попал в аварию. Если взять статистику по крупным городам, там по Питеру, по Москве, то вероятность примерно одинаково: если взять в виде шансов, это где-то 150 тысяч, что ночью человек попадает в аварию. Хорошо.
Теперь давайте попробуем прикинуть вот калибровочный коэффициент. В отличие от задач с кубиками, мы не можем посчитать здесь точно, но можем попробовать оценить, что такое P от H при условии A — это вероятность того, что человек вам позвонит при условии A, что он попал в аварию. А что такое P от H при условии не A? Это человек вам не позвонил при условии, что он не попал в аварию.
Оцените каждую вероятность, возможно, это слегка интуитивно будет. Да, то есть вот как бы вы прикинули, какова вероятность того, что он вам позвонит, при том, что он в аварию попал? Ведь понятно, что если, например, с кем-то столкнулся, но остался в сознании, скорее всего, позвонит вам. Да, там, может быть, даже попросит помощи. А поэтому это может произойти, что он позвонит, даже если он был в аварии. С другой стороны, если он не попал в аварию, почему он мог не позвонить? Телефон разрядился, забыл и просто уснул. Да, там, ну то есть вариантов тоже довольно много.
Если вы оцените эти вероятности, то сможете вывести, что эта дробь будет близка к единице. Вы можете посчитать для себя. Я пробовал, спрашивал разных знакомых, каждый оценивал для себя: у кого-то дробь равна двум, у кого-то наоборот — 1/2, у кого-то она даже 10 равна. Но осознайте, что потом это число должно умножить на 150 тысяч, и вы получите даже в случае 10 1 из 5 тысяч, что он в аварию. Стоит в этом случае волноваться — скорее всего, нет.
Такое свидетельство, что он не позвонил, называется слабым свидетельством. То есть это слабое свидетельство, особенно если дробь равна единице. Она не сильно калибрует наше исходное ощущение. Если дробь равна 10 — это уже более сильное свидетельство, но за счет того, что исходные шансы были очень-очень малы, то даже такое свидетельство, но не позволяет нам поступать по-другому. То есть рациональнее, конечно, будет в такой ситуации расслабиться, ну и завтра попробовать связаться еще раз. Так спокойно.
Вот примерно как работает теорема Байеса. Вот другой пример. Допустим, вы в новостях узнали, что произошла авиакатастрофа. Стоит ли вам после этого бояться лететь на самолете, если вот на завтра у вас назначен какой-то перелет? Но опять же, какова исходная вероятность того, что самолет попадет в авиакатастрофу? Вы можете посмотреть статистику, насколько я помню, что-то вроде 1 к 10 миллионам, примерно так.
А теперь посмотрим на калибровочный коэффициент. Какова вероятность того, что вот тот самолет, который попал в аварию, он действительно попадет в аварию при условии, что ваш самолет тоже попадет в аварию? На самом деле эти события в данном случае не сильно зависимы, правда же? Действительно, это получится там и там, и там где-то по 1 десятимиллионный.
Соответственно, перемножим, ок. А какова вероятность того, что самолет попадет в аварию при условии, что ваш не попадет? Ну, вы понимаете, что на самом деле все абсолютно независимо. Все то же самое. Отсюда мораль, что вот это ваше калибровочное свидетельство, оно особо не должно повлиять на ваши вычисления, и значит вероятность того, что с вашим самолетом что-то случится, она в общем не изменится.
Это что в нашем сознании, она может быть сильно изменилась — это проблема нашего сознания. Конечно, вы можете мне возразить. Условия бывают разные. Если, допустим, вы не просто считаете вероятность авиакатастрофы, а вероятность авиакатастрофы, если ваш самолет пролетит над страной, в которой сейчас происходят боевые действия, там статистика совершенно другая. Кстати, можете загуглить сайтик, на котором рассчитывается как раз вероятность с учетом авиакомпании, того, сколько служит уже ваш самолет и так далее. Вы можете в этом убедиться более точно, но так или иначе для себя вы должны осознать, в чем он здесь.
Должно получиться, ли мы бояться? Что? Опять же свидетельство, что какой-то самолет попал в авиакатастрофу — это очень слабое свидетельство для вашего самолета, который полетит там завтра. И поэтому менять ничего не надо вообще. Две ключевых ошибки, с которыми позволяет справиться теорема Байеса — это как раз слабые свидетельства и относительно сильные свидетельства при исходно маленькой вероятности. То есть, если исходная вероятность была 1 к 10 миллионам, то даже свидетельства, которое увеличивает вероятность в сто раз, оно не должно сильно менять ваше решение, правда? Было 10 миллионов, стало 100 тысяч. Это все равно очень-очень мало.
В комментариях я жду ваши пожелания. Если хотите, мы можем разобрать какие-то ваши ситуации. То есть попробуйте прописать вероятность чего вы хотели бы оценить при условии некоторого наблюдения. Форма должна быть такая: я хочу оценить вероятность того-то, при том что исходный я считаю эту вероятность вот такой такой, а наблюдение у меня такое. То есть произошло следующее событие: как в этом случае должна измениться вероятность? Вот можем вместе посчитать по формуле Байеса.
А на этом на сегодня все! Не забудьте подписаться на наш канал, потому что если в комментариях наберется достаточное количество интересных ситуаций, мы обязательно запишем ролик, который будем все эти ситуации разбирать, вот персонально ваши, которые вы предложили. Ну а такое нельзя пропустить. Пока-пока! Но всё равно спасибо, что вы мои пингвины.
[музыка]