Что такое ПРЕДЕЛЫ. Математика на QWERTY
Всем привет! Рад видеть вас на научно-популярном канале QWERTY. С вами вновь математика.
В комментариях к нашему предыдущему ролику про интегралы мы увидели множество пожеланий рассказать наконец про пределы. Для вас напоминаю также, что кто еще не подписан — разумеется, подписывайтесь на наш канал, чтобы видеть этот и другие наши новые ролики.
Итак, что касается пределов, давайте для начала рассмотрим такую задачу. Про нее, наверное, многие слышали, но будет очень легко показать, что такое предел и зачем он нужен. Это известный древнегреческий парадокс — Ахилл и черепаха.
Куда он делся? Тут есть древнейший герой Ахилл, который довольно быстро бегает, и есть черепашка, которая передвигается гораздо медленней. Мне сейчас не так важно, с какой скоростью кто из них, но важно, что Ахиллес намного быстрее. А вот вопрос: догонит ли Ахиллес черепаху?
Ну, казалось бы, очевидно — да. Но древние греки говорили, что не все так просто. Давайте представим, что черепаха стартовала в какой-то точке, назовем ее A1, и Ахиллес, конечно, рано или поздно до этой точки добежит. Но в этот момент черепаха уже доползет до некоторой точки A2.
Конечно, это расстояние будет сильно menos, чем пробежал Ахиллес, но какое-то будет. Дальше, значит, вот когда Ахиллес в точке A1, черепаха в точке A2. Ахиллес добегает до точки A2, а черепаха в тот момент в точке A3.
То есть каждый раз, когда Ахиллес добегает до очередного нашего стоп-кадра, черепаха успеет чуть-чуть отползти. Узнать, что он ее никогда не догонист. Чтобы разобраться в этом парадоксе, нужно осознать, что мы здесь имеем дело с бесконечностью. Мы говорим «и так далее», подразумевая, что так будет до бесконечности.
Можем до бесконечности делать такие стоп-кадры, но до бесконечности чего? Если он никогда не догонит, это значит, что все это будет продолжаться бесконечно. И время, правда?
А вот давайте посмотрим, насколько бесконечно действительно будет это время. Допустим, для простоты, скорость Ахиллеса в 10 раз больше, чем скорость черепахи. Тогда предположим, что он потратил 10 секунд на то, чтобы добежать до точки A1.
10 секунд — записали. Дальше, его потребуется черепашка — в 10 раз медленнее. Поэтому она прошла столько, сколько Ахиллес уже за одну секунду.