Тестовый вопрос, на который все ответили неверно [Veritasium]
[музыка] В 1982 году на экзамене никто не смог правильно ответить на этот вопрос. Вот условие задачи: радиус окружности A на рисунке равен 1/3 радиуса окружности B.
Окружность A катится по окружности из положения, указанного на рисунке, с какого-то оборота окружности B в исходную точку. Варианты: A) 3/2, B) 3, C) 6, D) 9/2 или E) 9. На весь Академический оценочный тест отводится полчаса, примерно по минуте на каждую из 2π задач.
Можете поставить ролик на паузу и попытаться решить. Ну что? Какой ответ? Скажу сразу, что вариант B) 3 неправильный. Хотя сначала, как только прочёл задачу, я хотел выбрать его. Длина окружности — это 2π радиус. B в три раза больше радиуса A, значит и длина окружности B должна быть в три раза больше, чем у A.
По логике окружности A, чтобы полностью обойти B, нужно совершить три полных оборота. Так бы я и ответил. Но это неверно, впрочем, как и остальные ответы A, C, D и E. На вопрос 17 все экзаменуемые ответили неверно, потому что первыми ошиблись составители теста. По их задумке три — это правильный ответ. А настоящего верного ответа среди вариантов вообще не оказалось. В вопросе не должно быть таких ошибок.
Десятки лет выпускникам, которые собираются в колледж, надо было сдавать этот тест. Многие считали, что от его результатов зависит вся жизнь. Вот старый заголовок: "Завалишь — можешь забыть о светлом будущем". На тебе, сынок, можно ставить крест. Лишь трое из 300 сдавших экзамен сообщили об ошибке.
Которые звали Шинта Б. Тау и Дак Юнс. В школе я решал кучу математических задачек, я бы сказал, буквально тысячи. Когда я прочитал условия, очень удивился тому, как плохо оно прописано. Но ответил три и решил, что этот вариант засчитают как верный.
Трое выпускников были уверены, что среди ответов нет правильного и сумели это подтвердить. Руководитель отдела контроля вспоминал, они не говорили, что нашли другой ответ, не спрашивали, возможна ли ошибка. Они прям текстом заявили: "Вы не правы", и доказали это.
Я рассказал паре человек, что в тесте, похоже, ошибка, но мне ответили, что всем без разницы. Тогда я написал письмо в службу образовательного тестирования. Через некоторое время мне позвонили и сказали, что я был прав. Вот их доказательства.
Максимально просто. Задача: две одинаковые монетки, длина окружности у них. Составители теста, сделав один оборот вокруг своей оси, монетка вернется в исходное положение. Проверим. Так, постойте, пройдена только половина пути, а монетка уже сделала один оборот. Полный путь она пройдет не за один, а за два оборота.
Монетки абсолютно одинакового размера, никаких фокусов. Можете сами проверить. Я повторю всё помедленнее. Один и два — это иногда называют "парадоксом монеты". Он и представлен в вопросе номер 17.
Вот модель в масштабе один к одному. В тестах предупреждают, что масштаб в иллюстрациях не соблюдён. Но обычно всё в порядке. Двигая кружок A по кругу B, мы видим, что он совершает один оборот, [музыка] 2, 3 и того четыре.
Итак, правильный ответ на этот вопрос 4. Получилось на один оборот больше, чем мы думали. Давайте обернем большой круг какой-нибудь ленточкой [музыка]. Получится длина нашей окружности. Разложим ленточку на столе, сделаю бортик, чтобы было почему [музыка] катится.
Итак, 1, 2. Но когда мы превращаем этот отрезок в окружность, кружок A не только проходит длину окружности, но и катится по кругу. Из-за этого на пути к исходному положению он совершает лишний оборот. Итак, вот общее решение задачи: определите соотношение между длинами окружностей B и A, а затем прибавьте один.
Ведь окружность A при движении совершает ещё один оборот. Однако ответ 3 тоже возможен. Возьмём за начало координат центр окружности B. Меньшая окружность совершает один, два, три оборота. То же самое произойдет, если взять центр окружности A. Чтобы прийти в изначальное положение, нужно всего вернуть к монеткам.
С точки зрения той, что вращается, она совершает только один оборот. С точки зрения любой окружности, её длина — это прямая линия. Движение по окружности видит только внешний наблюдатель, и дополнительный оборот происходит только с его точки зрения.
Есть от текста задачи. Естественно, он был на английском. И, спрашивая о количестве оборотов окружности A, использовали слово "революция", которым в астрономии называют полный виток одного объекта вокруг другого, например, Земли вокруг Солнца. Вращение же Земли вокруг своей оси назвали бы.
Так что, с точки зрения астрономии и из текста зада, следует, что окружность A совершает лишь один оборот вокруг окружности B. Да, под словом "рол" можно понимать и, скажем, вращение объекта вокруг своей оси. Так что это скорее неточность, чем ошибка. Но если на задачу можно дать три разных ответа, проблемы явно с самой задачей.
В колледже B. Ознакомились с письмами и несколько недель спустя публично признали свою ошибку. Бал у всех, кто сдавал экзамен, нам сказали, что задачу уберут и предупредили, что это появится в новостях, а значит, возможно, нам будут звонить СМИ.
Я дал несколько интервью, потом ко мне в школу приходили телевизионщики с канала NBC. Они сказали, что я был прав, и задачи в тесте больше не будет, что в общем неплохо. Ну, давайте вернемся к задаче. Понять, каков правильный ответ, не так сложно, а вот доказать его.
Если хотите, я могу продемонстрировать. Да, очень интересно. Думаю, и зрителям любопытно будет посмотреть. У меня есть доска. Я же математик. Сейчас притащу минутку. Вам видно? Видно. Оказалось, что меньший круг проворачивается на то же расстояние, которое проходит его центр.
Как это доказать? Направим камеру на меньший круг. На записи будет казаться, что центр стоит на месте. В реальности же он двигается по окружности. Это движение с некой скоростью. Какая скорость у точки контакта? Нулевая, потому что кружок катится без какого-либо скольжения.
Если бы у этой точки была скорость, это как раз и было бы скольжение. Мне кажется, это стоило обозначить в условии задачи. Даже если мы поменяем точку зрения, соотношение скоростей изменится. Записи скорость центра окружности равна нулю, а скорость точки контакта в этой системе отсчёта отрицательная.
Получается, что скорость, с которой эта точка перемещается по окружности, равна скорости движения центра. Так как скорость постоянна и одинакова, они пройдут одинаковое расстояние. Длина траектории точки контакта та же, что и у траектории пройденной центром.
В задаче центр маленького кружка проходит по окружности с радиусом пройденной центральной точкой. Будет равняться 8π. Сколько вращений совершает маленький кружок? Четыре. А длина окружности 2π. То же самое число. Если кружок катится и не скользит, всё расстояние, которое проходит центральная точка кружка, равно расстоянию, на которое он проворачивается.
Исключений вы не найдёте. Если кружок катится без скольжения, то какую фигуру не возьми, где бы не помести его внутри неё или снаружи, центр круга пройдёт то же расстояние, на которое этот круг поворачивается. Остаётся найти это расстояние, разделить на длину окружности, и мы найдём количество оборотов.
Это ещё одно более общее решение парадокса монеты, в котором мы брали предполагаемый ответ N и прибавляли единицу. В общем решении понятно, откуда всё взялось. Если окружность катится по контуру фигуры, её центр двигается снаружи, что увеличивает пройденное расстояние на одну длину окружности.
Таким образом, расстояние, которое преодолел центр кружка, это периметр фигуры плюс длина окружности. Когда мы делим эту величину на длину окружности, чтобы узнать количество оборотов, у нас получается N π + 1. Если кружок катится внутри фигуры, то его центр преодолевает расстояние на одну длину окружности меньше. Тогда количество оборотов будет...
Если кружок катится по прямой линии, преодолевает его центр равно величине отрезка, поделив её на длину окружности, получаем N. Это правило не просто любопытная закономерность. Без неё не обойтись при измерении времени в астрономии. В году 365 дней и ещё 24, если говорить точнее. Это количество оборотов Земли вокруг своей оси за время е полного витка вокруг солнца.
Но всё не так просто. Считаем, находясь на Земле. А стороннему наблюдателю будет очевидно, что, так как Земля движется по окружности, она совершает дополнительный оборот вокруг своей оси. Так что мы за год насчитываем 365 с лишним дней, а наблюдатель на один больше. Называется это звёздным годом.
Мы смотрим на систему извне, в этом случае с точки зрения звёзд. Но куда же девается этот лишний день? Обычные сутки — это промежуток времени, за который солнце вновь окажется у вас над головой. Однако Земля не только вращается вокруг своей оси, но и перемещается вокруг Солнца.
Поэтому, чтобы оно вновь оказалось точно у вас над головой, Земле нужно повернуться больше, чем на 360°. Но с точки зрения далёкой звезды это перемещение роли не играет. И, чтобы у вас над головой снова оказалась она, достаточно оборота на 360°.
Солнце садится, восходит и снова оказывается над вами за 24 часа. Далёкая звезда проверяет тот же фокус всего за 23 часа, 56 минут и 4 секунды. Это звёздные сутки. То, что они короче, объясняет, куда девается лишний день звёздного года. Если одновременно запустить солнечные и звёздные сутки, наметим разрыв, который ра через полгода.
Звёздные сутки опередят солнечные на 12 часов, и полдень выпадет на полночь. Расхождение будет всё больше, пока звёздный год не обгонит солнечный на целый день, в который начнётся новый год, и Земля выйдет на новый виток. 365 дней по 24 часа - Это то же самое, что 366 дней по 23 часа, 56 минут и 4 секунды на Земле.
Звёздный год использовать глупо. Спустя 6 месяцев день и ночь поменяются местами. Но также бессмысленно оглядываться на земное время, когда мы наблюдаем за объектами в космосе. Смотрим на какой-то участок сегодня в 10 вечера, а завтра в это время его на том же месте уже не будет.
В работе с телескопами астрономы с помощью звёздного времени точно определяют те участки, которые они наблюдали прошлой ночью. Стационарные спутники связи и навигации, ориентируясь по звёздному времени, фиксируют своё положение относительно вращающейся Земли.
Получается, парадокс монетки объясняет разницу между тем, как мы отслеживаем время на нашей планете и за её пределами. Пересчёт баллов за экзамен в 2001 году обрадовались не все. Результаты переоценили без учёта семнадцатого вопроса. У кого-то получилось на 10 баллов из 800 больше, а у кого-то меньше.
Вроде бы немного, но зачастую у университетов и стипендий была высокая планка по баллам. Как сказал один из экспертов приёмной комиссии: «В определённых случаях хоть это и неоправданно, 10 баллов могут повлиять на дальнейшее образование».
Конечно, на юридически вы всё равно пройдёте, но, возможно, не туда, куда могли бы. Ошибка в задании стоила не только баллов. Сообщала на пересчёт результатов уйдет больше 100000 долларов прямиком из кармана сдавших. Это была далеко не последняя ошибка в заданиях экзамена.
Однако сейчас у проводящей его организации есть головная боль посильнее. Этот экзамен понемногу уходит в прошлое. После пандемии коронавируса 8% высших учебных заведений США уже не требуют его для поступления. Реутов [музыка].
Кое-кто даже оказался в выигрыше. Сколько баллов у вас было по математической части? Все 800. Я и до этого знал, что надо идти в математику, участвовал в Олимпиадах, мне это всегда нравилось. А самому приходилось придумывать задачи. Да, я составлял задания для олимпиад, наверное, условие очень тщательно прописывали. Надеюсь, я стася студии Верт Дайдер.