Мнимая ошибка, над которой ломали голову 2 000 лет [Veritasium]

[музыка] В одном предложении из древней рукописи математики скрывался ключ к пониманию Вселенной. Начало Евклида по количеству переизданий уступает только Библии. 2000 лет этот труд служил главным текстом по математике. Но была одна единственная строчка, которую, как подозревали, убрали.

В конечном итоге, некоторые из них поняли, что на самом деле Евклид был прав, а ещё казалось, что если эту строчку чуть-чуть изменить, то как будто из ничего возникнут другие вселенные. Шли годы, и однажды мы узнали, что без этих чуждых вселенных мы не сможем понять [музыка] свою. Примерно в 300 году до нашей эры Евклид задался глобальной целью собрать в одной книге всё математическое знание, которое человечество накопило.

Но у Евклида с математикой была небольшая проблема: доказательства приводились, но мыслители часто ходили кругами. Почему сумма углов треугольника 180? Потому что если взять две параллельные. Но что за? Начертить квадрат? Ладно. А откуда взялся этот квадрат? И получается замкнутый круг базовых причин по которым то или иное верно. Как в словаре слова определяются с помощью других слов, но как найти объективную истину?

Евклид воспользовался своеобразным греческим ноу-хау: для начала возьмём несколько утверждений и согласимся, что они верны — это постулаты. Исходя из них можно одну за одной логи выстраивать математику. Так что если постулаты верны, то всё, что из них следует, наверняка соответствует истине.

Довл до совершенства стандарты математических доказательств, на которые до сих пор полагается математика. Тем же методом он пользовался во всех трех томах, которые назвал «Начало», и доказал 465 теорем, охватывающих почти всю известную тогда математику — метри и теорию чисел, и все доказательства держались на нескольких определениях, общих понятиях и пяти аксиомах. Открываем первый же том и видим в самом начале определение: надо же, с чего-то начинать.

Какие там определения? Точка есть то, что не имеет частей. Линия же длина без ширины. Концы же линии точки. Линией он называет кривую, у которой есть концы. Прямая линия есть та, которая равно расположена по отношению к точкам на ней и так далее, и так далее. Определений там 23, а за ними идут пять постулатов.

Первые четыре довольно просты. Первый: от всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию. Второй: прямую линию можно продолжать бесконечно. Третий: имея центр и радиус, можно описать круг. Четвёртый: все прямые углы равны между собой. А вот пятый постулат — не так просто: если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние углы меньшие двух прямых углов, то, продолжая, неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.

Что он такое понаписал!? Остальные постулаты — простенькие, короткие предложения, ясные и понятные. А этот пятый расписан на целый абзац. Что за дела? На этом месте математики и засомневались. Им казалось, что Евклид ошибся. Древнегреческий философ Прокл считал, что пятый постулат вовсе стоит вычеркнуть из списка, потому что это теорема.

Но если так, то должна быть возможность её доказать, опираясь на первые четыре постулата, и многие пытались. Птолемей, Прокл и другие даже считали, что им это удалось, но напрасно. По правде, они лишь переиначили. Вот один пример: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. Из этой формулировки пятый постулат зачастую называют аксиомой параллельных прямых.

Когда стало понятно, что метод прямого доказательства для пятого постулата не подходит, Ибн Хайсам, Омар Хаям и другие математики взялись доказывать от противного. Принцип несложный: первые четыре постулата оставляем как есть, а вот пятый заменяем противоположным. Снова доказываем теоремы, опираясь на новый набор постулатов. И если натыкаемся на противоречия, например, что-то истинное оказывается равно ложному, значит, в постулатах ошибка, и нам останется только признать, что верным был постулат, который на пятое место поставил Евклид.

Что и требовалось доказать. Что ж, давайте проверим, что было бы, если бы пятый постулат был неверен. Согласно Евклиду, через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна параллельная ей прямая. Но представим себе, что через такую точку параллельных линий не проходит вовсе. Пытались зайти с этой стороны, но получалось: прямые должны быть не бесконечны, что неверно. Значит, этот вариант отпадает — он противоречит второму постулату, который гласит, что прямые линии можно продолжать бесконечно.

Теперь предположим, что через точку можно провести больше одной прямой, параллельной данной. Тогда они взяли этот вариант неверного постулата и стали искать противоречия, но ничего найти не смогли. Метод от противного тоже не дал результата. Математики бились над доказательством пятого постулата больше 2000 лет, но ни у кого ничего не получалось.

Примерно в 1820 году за эту проблему взялся семнадцатилетний студент Янош Бояй. Он бился над постулатом днями и ночами. Обеспокоенный отец Яша писал ему: «Тебе не следует посвящать себя загадке параллельных прямых. Я изучил её от начала до конца. Я дожил до рассвета этой беззвёздной ночи, которая пожрала весь свет и радость в моей жизни. Умоляю, оставь параллельные прямые, последуй моему примеру!» Но юный Бояй не послушал отца. Он просто не мог бросить загадку параллельных прямых.

Спустя годы работы он задался вопросом: что если пятый постулат и вовсе можно доказать, исходя из первых четырёх? Может, он сам по себе! По Евклиду, через точку можно провести только одну прямую, параллельную данной. Но Бояй представил мир, где таких параллельных можно провести несколько. Но как? Что ж, никто не говорил, что поверхность должна быть плоской.

На изогнутой поверхности, через точку, лежащую вне данной прямой, проходит несколько параллельных линий. Постой-ка, эти линии не очень-то похожи на прямые! Что определяет прямую? То, что это кратчайший путь между двумя точками. На такой поверхности кратчайший путь выглядит изогнутым, потому что изогнута сама поверхность. Вот более приземлённый пример: обычно самолёты летят по кратчайшему пути между двумя городами. По сути, они летят по прямой, но на карте эта прямая выглядит изогнутой, потому что Земля не плоская.

Кратчайшие пути на криволинейных поверхностях называют геодезическими. По сути, это прямые, просто они кажутся изогнутыми, так как расположены в искривлённом мире, который представлял себе Бояй. Сейчас их изучает гипербола — геометрия или геометрия Лобачевского. Знаете, я представлял себе гиперболические пространства, как нечто похожее на седло. Но оказалось, что всё не совсем так.

На самом деле они больше похожи на эту вязаную розочку. Центральная часть вполне ровная и плоская. Но чем ближе к краю, тем больше становится самой поверхности. Из-за чего линии расходятся по мере удаления от центра, количество поверхности растёт экспоненциально, из-за чего она сминается в такие вот складки. В общем, если не знаете, как представить себе гиперболическое пространство, предлагаю вообразить седло на седле и так далее — бесконечное нагромождение неровных поверхностей.

Конечно, странная вязанная поверхность не совсем точно передаёт, что такое гиперболическое пространство. Чтобы рассмотреть детали, нам придется создать карту, на которой всё это пространство помещается внутри диска. Сейчас мы заполним его треугольниками и поймём, как это работает. В середине всё вполне привычно. Но чем дальше от неё, тем больше у нас пространства, в которое поместится всё больше треугольников.

Кажется, что они становятся меньше, но на самом деле размер тот же. Гиперболическое пространство бесконечно: можно поместить в него сколько угодно треугольников, и все они останутся внутри круга. Удаляясь от центра, они будут становиться меньше и меньше, и так до бесконечности. При этом никогда не коснутся границы. Это так называемая модель Пуанкаре. Прямые линии в ней — это дуги окружностей, которые пересекают границу под прямым углом. Если провести прямую линию через центр, она покажется нам прямой, но прямые по соседству будут изгибаться.

Интересно, что во времена Яноша Бояя гиперболической геометрии ещё не было. Он просто рисовал евклидовы треугольники, предполагая, что древний математик ошибся в пятом постулате. Бояй понял, что линии фигуры иначе ведут себя в гиперболическом пространстве, но математически всё сходилось. В 1823, двадцатилетний Янош писал отцу: «Я открыл такое, что сам поразился! Из ничего я создал новую диковинную Вселенную».

Однако Бояй не только разгадывал древние загадки геометрии. В 20 лишнем летом он поступил в армию, где продолжал заниматься другими своими любимыми делами: играл на скрипке и бился на дуэлях. Он преуспел в обоих занятиях, но во владении клинком сравниться с ним не мог никто. Возможно, из-за этой своей разносторонней одарённости Бояй стал высокомерен и с трудом терпел старших по званию. С ним было тяжело сладить. Дошло до того, что однажды на дуэль Яноша вызвали 13 кавалеристов из его гарнизона.

Бояй принял вызов, но поставил условия: после каждых двух поединков у него будет время поиграть на скрипке. Одна дуэль сменялась другой, и во всех этих дуэлях Бояй одержал победу. Несмотря на любовь к дуэлям, Яша не забывал о математике. В 1832 году его наработки были опубликованы в качестве страничного приложения к учебнику, написанному его отцом. Рш Бояй, гордый достижениями сына, отправил его работу, пожалуй, величайшему математику в истории — Карлу Фридриху Гауссу.

Тот внимательно изучил присланный материал и спустя несколько месяцев ответил: «Хвалить его будет всё равно, что хвалить себя, поскольку его работа полностью совпадает с тем, чем занимаюсь я последние 30 или 35 лет». За годы до этого Гаус тем же путём в 1824 в личном письме поделился с другом тем, что открыл занятную геометрию с парадоксальными и, как показалось бы непосвящённым, абсурдными теоремами. Гаус писал, что три угла треугольника могут быть какими угодно, но площадь треугольника никогда не превзойдёт определённой границы. То есть можно построить треугольник со сторонами бесконечной длины, но площадь его будет конечна.

На модели Пуанкаре хорошо заметно, почему. В маленьком треугольнике нет ничего необычного. Но если начать его растягивать, углы уменьшаются. Рано или поздно они сведутся к нулю, потому что каждая из линий пересекает окружность под прямым углом. Эти линии бесконечны, но из-за геометрии есть ограничение на площадь. В том же письме Гаус признавался: «Мои попытки обнаружить противоречия и несообразности верны в первых постулатах Евклида, но не верен пятый».

Однако Гаус боялся, что его засмеют, и не стал публиковать свои размышления. Такое недоверие к новому виду геометрии кажется немного странным, ведь уже был известен один своеобразный раздел этой науки — сферическая геометрия. В конце концов, мы живём на шаре. Прямые на сфере — это дуги больших окружностей, тех, у которых максимально возможная длина. На Земле это — экватор и окружности по долготе. По ним мы можем судить, как работают прямые на сфере.

Кажется, что эти линии идут в одном и том же направлении. Но если их продолжить, выяснится, что они пересекаются раз на одной стороне и ещё раз на другой. Это верно для любых двух больших окружностей. Только так у каждой из них получится максимально возможная длина, поэтому на сферах параллельных линий не бывает. Гаусса завораживал сферическая геометрия; он занимался геодезией и часто проводил измерения земли. В 1820 он получил заказ делать замеры королевства Гановер для составления карты.

Чтобы выполнить это задание, он забирался на горы близ Гёна и вместе со своими помощниками, которые взбирались на соседние вершины, измерял углы треугольников, что помогало определить расположение объектов относительно друг друга. Чтобы с чего-то начать, а заодно уточнить. Он очень тщательно измерил углы большого треугольника, который формировали три горы. Романтики, когда дело касалось горных вершин и измерения земель, в переписке Гаус той же чувствительностью не отличались. Бояй был раздавлен жёстким ответом своего кумира. Он решил, что Гаус попросту хочет его принизить и присвоить его идеи.

Письмо известного математика вылилось в ещё одно несчастье: он узнал, что вдову геометрию независимо от других создал российский математик Николай Лобачевский. Да ещё и за несколько лет до него. Два его страничных приложения к учебнику Бояй умер в 1860 году, оставив 20 000 страниц неопубликованных рукописей по математике. Он так и не узнал, что действительно сам додумался до неевклидовой геометрии. Агора писал другу: «Полагаю, этот юный геометр Бояй — настоящий гений».

Пусть раздосадованный Бояй сошёл с дистанции, неевклидова геометрия развивалась. Сферическую геометрию к ней не относили вплоть до 1854 года, потому что на сфере прямые невозможно продолжать бесконечно. Математики прошлого, столкнувшись с этой проблемой, читали обходить такую геометрию стороной. Раз для неё не верен второй постулат Евклида, однако в 1854 Риман изменил этот постулат. Вместо бесконечного продолжения прямых стало неограниченным, а второй постулат стал верным и для сферы. После этого сферическая геометрия тоже вписалась в неевклидово пространство, взяв обобщённые четыре постулата.

И для пятого, приняв формулировку, что параллельных линий существует, можно вывести сферическую или эллиптическую геометрию. Так что же: пятый постулат ошибка или нет? Может, лучше было бы, если бы Евклид его вообще не писал? Если бы он его не написал, то у него и геометрия не получилась бы. Он не смог бы доказать многие из своих утверждений. Замечательно, что он это написал. Замечательно, что 2000 лет его пытались опровергнуть, а в итоге выяснили, что он был прав с самого начала.

Но хотя с пятым постулатом поже в порядке, кое в чём Евклид всё же промахнулся. Вот где проблема Евклида: смотрим первое определение: точка есть то, что не имеет частей. В смысле: не имеет частей. Что такое часть? Что означает их не иметь? Или вот: линия же длина без ширины — что это за ширина? Прямая линия та, которая равно расположена по отношению к точкам над ней. Да что это вообще такое? Когда мы читали постулаты, то кивали: да, очевидно, всё так и есть. Но это же чушь! Зачем мне определения, которые составляют нас. Сбегать по кругу.

Даёшь определение с помощью каких-то наименований, так объясняй, что они значат. Определяешь что-то так, в виде сначала то, что используешь в определении. Не стоило вообще давать определения. Именно определения не нужны, нужны неопределённые термины. Не надо объяснять, что такое точка, что такое линия или что такое плоскость. Надо рассказать, каким постулатом они должны удовлетворять, потому что важны отношения между объектами, а не определение этих объектов.

Когда откроете свой разум и примете это, то сразу поймёте, что существует отличный геометрический мир, в котором прямая может быть большая окружность, плоскостью — сфера, а точкой — точка на сфере. И тогда условия удовлетворяют четырём аксиомам, а пятой — нет. Похожим образом работает другая модель — модель Пуанкаре для гиперболического пространства. Плоскость — это диск, под прямыми подразумеваем дуги, перпендикулярные его границам, а точки — это те, что расположены внутри границ этого диска.

Геометрию можно представить себе как игру: первые четыре постулата — это своего рода базовые правила, а пятый нужен для того, чтобы выбрать, в каком мире играть. Если решите, что вам не нужны параллельные прямые, то играть будете в сферической геометрии. Если берите одну параллельную прямую, то в плоской. Если хочется, чтобы параллельных прямых было больше, то будете играть в гиперболической геометрии. Но Риман сделал ещё один шаг вперёд: он не стал выбирать игровой мир, а решил объединить все в один.

В своей речи в 1854 он изложил основы геометрической теории, в которой кривизна плоскости неравномерная — где-то изогнута только слегка, а где-то довольно значительно. Он применил это всё как для мерных плоскостей, но и для трёхмерных и больше. Следующий прорыв был сделан в 1868, и У Дженио Бельтран доказал, что гиперболическая и сферическая геометрии также не противоречивы, как и евклидова. Другими словами, если в гиперболической или сферической геометрии что-то не сходится, те же проблемы должны быть в евклидовом пространстве.

Все эти разделы геометрии ждало отличное будущее. Оказывается, это было только начало. В 1905 году Эйнштейн представил специальную теорию относительности. В её основе всего два постулата: первый — законы физики одинаковы во всех инерциальных системах отчёта; второй — скорость света в вакууме одинакова во всех инерциальных системах отчёта. А значит, пространство и время должны быть относительны.

Но тут ломалась ньютоновая сила притяжения. Согласно притяжения обратно пропорциональна квадрату расстояния между двумя объектами, а согласно специальной теории относительности это расстояние нельзя однозначно измерить — в чьей системе отчёта проводится измерение. Эйнштейну пришлось искать способ примерить относительность. Гравитацию. Через 2 года, в 1907, его наконец-то осенило. Он представил, как человек падает с крыши.

Что же в этом такого? Он не ощущает собственного веса. Если в поте он выпустит из рук какой-то предмет, этот предмет продолжит равномерное движение относительно человека, как и космонавт, вдали от массивных объектов, в корабле, который движется с постоянной скоростью. Его можно назвать инерциальным наблюдателем. И вот самое важное: Эйнштейн понял, что ситуации не просто похожи — они одинаковы, потому что ни один эксперимент не покажет, падаем ли мы в однородном поле или висим в космосе вдали от массивных объектов.

Значит, падающий с крыши человек тоже инерциальный наблюдатель, который не ускоряется и не испытывает действия силы притяжения. Но если гравитация — это не сила, то почему вокруг Земли спокойно летает космическая станция? Разве она не улетела бы от нас по прямой? Космонавты на МКС тоже не ощущают своего веса. В том-то и дело: они как будто летят по прямой с постоянной скоростью. Впрочем, именно это с ними и происходит: они движутся по прямой.

Почему же со стороны кажется, что это не прямая? Потому что пространство-время, в которых расположена эта прямая, искривлено. Массивные объекты способны искривлять ее: движутся по самому короткому пути в доступной геометрии. По геодезическим космонавты на космической станции летят по прямой, но издалека она будет выглядеть изогнутой, потому что Земля искривляется. Если не разобраться в том, как ведут себя прямые в изогнутом пространстве, мы не поймём собственную Вселенную.

Уже больше 100 лет со времён её публикации в этом нам невероятно помогает общая теория относительности. В 2014 году астрономам удалось засечь сверхновую. Невероятно! Смерть звезды, один и тот же взрыв они наблюдали в четырёх местах. Как дело в том, что между сверхновой и Землёй расположилась массивная галактика? Искривляются, но могут перенаправлять и другие галактики в кластере с разной массой и разным гравитационным потенциалом.

А значит, свет будет доходить до Земли в разное время. Тщательно прострой в модели, они высчитали увидеть ту же сверхновую через год. 11 декабря 2015. Как и ожидалось, астрономы снова её наблюдали. Кстати, мы можем не только видеть последствия искривления пространства-времени, мы умеем измерять его колебания, фиксируя гравитационные волны от космических событий в глубинах Вселенной, например, от слияния чёрных дыр.

Согласно недавнему исследованию, нагрев ткань пространства-времени бурлит остаточными волнами от подобных событий. За сотню лет со времени публикации общей теории относительности её предсказания подтверждали массой открытий и наблюдений. А в самом её сердце — изогнутая геометрия Римана. Однако до сих пор мы наблюдали только локальные искажения пространства-времени. А какой формы наша Вселенная? Это можно определить.

Если учесть некоторые особенности каждой из форм. В плоской геометрии мы ожидаем, что в сумме углы треугольника без осечек дадут 180°. Но в сферической геометрии в сумме три угла дадут больше, гиперболической — напротив, если сложить все углы, мы получим меньше 180°. Чтобы определить форму Вселенной, надо просто измерить углы треугольника, то есть повторить то, чем 200 лет назад занимался Гаус.

Кстати, некоторые подозревают, что в горах Ганновера он измерял искривление пространства на обозримой площади. Сумма углов у него получилась примерно 180°. В этом нет ничего удивительного. Посмотрите на этот шарик, представим, что это сфера. Здесь небольшой треугольник: он оказался практически на плоской поверхности, и сумма его углов составит грубо говоря 180 градусов.

Только если я нарисую очень большой треугольник, сумма углов поменяется из-за искривления поверхности, и мы измерив их, получим больше 180. Потому у Гауса ничего не получилось, даже если он действительно пытался измерить кривизну пространства. Чему, впрочем, нет никаких доказательств. Треугольник, который он измерял, по сравнению со Вселенной. Чтобы не столкнуться с той же проблемой, что и Гаус, нам нужны треугольники поистине вселенских масштабов.

Вглядываться в пространство — это то же самое, что смотреть в прошлое. А значит, нам надо заглянуть как можно дальше. Поймать самый старый свет — реликтовое излучение. Это он, когда ей было всего 380 лет. Реликтовое излучение почти однородно, но на нём различимы чуть более горячие или холодные области. Мы знаем, насколько от нас удалено реликтовое излучение. А значит, если понять, какого размера эти пятна, то можно начертить космический треугольник.

Считается, что первые неоднородности в плотности и температуре появились из-за квантовых флуктуаций во время зарождения Вселенной. Потом, когда Вселенная расширялась, было стремительное и между некоторыми областями не было каузальной связи. Опираясь на знания о жизни Вселенной, астрономы рассчитали частоту, с которой в реликтовом излучении должны встречаться пятна различного размера. Это спектр мощности реликтового излучения. В каком-то смысле он показывает, как часто встречаются пятна разных размеров.

Если Вселенная ровная плоскость, теперь нам есть с чем сравнить измерения. Если вселен ставляет собой плоскость, то сумма углов должна совпадать с ожидаемой 180°. Если Вселенная — это сфера, мы должны получить больше 180°, а углы при измерении окажутся больше, чем ожидалось, и эта вершина сместится влево. Если же Вселенная — это гиперболическое пространство, то пятна должны оказаться меньше, чем говорили прогнозы, и вершина сместится вправо.

Каков же результат измерений? Вот данные космической обсерватории план. Они практически однозначно указывают на то, что Вселенная плоская. Эти наблюдения дали нам самые точные на сегодня оценки плотности и кривизны Вселенной. Она равна 0,007 п ± 0,009 в пределах погрешности — по сути ноль. Можно почти с уверенностью сказать, что мы живём в плоской Вселенной.

Однако похоже оказаться в плоской Вселенной — это дело случая. Средняя плотность массы энергии составляет около атомов водорода на кубический метр. Будь она на один атом больше, Вселенная была бы более сферической. На один атом водорода меньше, и мы бы оказались в гиперболическом мире. И пока мы толком не знаем, почему у Вселенной именно такая плотность массы энергии, зато мы знаем, что общая относительность — одна из лучших теорий реальности в нашем распоряжении.

А в самой её основе лежат парадоксальные и, казалось бы, абсурдные геометрические построения. Те самые, которые достались нам благодаря тому, что люди 2000 лет ломали голову над одним единственным предложением из самой известной книги о математике.