ЗАЧЕМ НУЖЕН ЭТОТ ... Бином Ньютона. Математика на QWERTY
Всем привет! С вами Георгий Вольфсон, и это реальная математика на канале Квертин.
А мы сегодня продолжим рубрику, которая многим уже полюбилась. Если говорить культурно, называется она «А зачем нам нужны эти...». Ну а чуть менее культурно – «А собственно, нахрена?». Бином Ньютона, её кстати, чаще называют биномом Ньютона, и в частности в литературе, там в «Мастере и Маргарите».
Может, вы помните реплику Коровьева: «Вы когда умрёте – это никому неизвестно». Ну да уж, неизвестно тоже мне, Бином Ньютона.
Давайте разложим по косточкам, что называется само название. Ну, Ньютон, он же всё-таки Ньютон. Если чуть более правильно, это достаточно известный британский учёный, которого, я думаю, многие знают.
А вот что за Бином такой? Бином происходит от слова «Бис» – ну, два, да? Двойное удвоение с латинского и «номен» – это имя. А если перевести его на такой русский язык, то обычно называют двучлен.
Что там были всякие многочлены, над которыми ржала половина класса, вот если этих самых членов немного, а два, то получается двучлен. Ну, например, x² + 5 или а² + 2b. Вот это примеры двучленов. Вот такие двучлены называются бинома.
Вид бинома Ньютона заключается в том, что Ньютон объясняет нам, как вот этот самый Бином, то есть двучлен, возвести в натуральную степень. Итак, допустим, у нас есть (А + B) в степени N. То есть вот он, тот самый Бином, который мы возводим в степень N.
Некоторые из вас, возможно, со школьной скамьи помнят такую формулу квадрат суммы: A² + 2ab + B². Чуть меньшее количество наших зрителей помнят формулу куба суммы, то есть когда N равно 3. Ну и совсем уж немногие помнят формулу для четвёртой степени суммы.
Но что будет, если, например, степень у нас десятая или, не дай Бог, сотая? Вот Ньютон, собственно, и предложил формулу. Правда, кто там и как предложил, про это мы ещё поговорим.
Формула позволяет возвести в любую натуральную степень, которая вам нравится. Формула эта выглядит так: сумма по i от нуля до N C(n, i) * A^i * B^(n-i). Ну вот этот вот значок, вот эта Сигма, если вдруг вам означает сумму, то есть мы суммируем подобные слагаемые при всех i от нуля до n.
Сначала мы подставляем сюда i равно нулю: C(n, 0) * A^0 * B^n + C(n, 1) * A^1 * B^(n-1) + и так далее, плюс последнее, да? C(n, N) * A^N * B^0. Здесь, правда, осталась куча всего непонятного. Понятно, что за цешки такие, C(n, 0), C(n, 1)? Но терпение, всему своё время.
Сейчас разберёмся. Прежде чем поехать дальше, давайте мы уйдём немножечко в сторону и поговорим про связанную с биномом Ньютона понятие, как треугольник Паскаля. В первую строчку мы записываем одну единичку. В следующей строчке у нас будут уже две единички.
Следующая строчка, запомните правило: начинаем мы всегда с единицы, немножко сдвигаем её влево. А дальше мы ставим такое число, которое равно сумме двух чисел, находящихся над ним слева и справа. То есть вот сюда я ставлю 1 + 1 – они вместе дают мне два. Ну а заканчиваю тоже всегда единицей.
Следующая строка: начинаем с единицы, дальше 1 + 2 = 3, 2 + 1 = 3. И дальше единиц заканчиваем. Следующая строка: 1, 3, 3, 1. Понятно, что так можно дописать абсолютно любой строки, которой вы хотите.
Вот этот получающий треугольник и называется треугольником Паскаля, в честь достаточно известного математика Блеза Паскаля, который активно этим треугольником пользовался. Так вот, оказывается, что вот те самые цешки или биномиальные коэффициенты – это числовые множители при соответствующих буквенных выражениях.
А так вот эти биномиальные коэффициенты, вот эти непонятные цешки, они просто берутся из очередной строки треугольника Паскаля. То есть, если, например, я захочу записать, чему равно A^5 * B^3, то я беру первый коэффициент: вот он. Будем считать, что вот это была нулевая строчка, да? Это первая, вторая, третья, четвёртая, пятая номер строки – он очень легко видите совпадает вот с этим вот числом.
Так вот, берём первый коэффициент – единицу, это и есть C(n, 0), и умножаем мы на A^5. Дальше берём следующий коэффициент – пятёрку, это у нас C(n, 1) на A^4 * B^1. Ну или просто на степень U, на единичку увеличивается.
Дальше 10 на A^3 * B^2. 10A^2B^3, и 1B^5. Ну, можно пропустить. Вот и всё. То есть, если мы дописали до нужного момента строчку из треугольника Паскаля, сразу получили разложение бинома Ньютона.
Заметьте, что вот формула (A + B)^n. Вот они, коэффициенты 1, 2, 1, которые есть в соответствующей строке треугольника Паскаля. Для куба суммы: A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3 – они есть в соответствующей строке треугольника Паскаля.
Отдельно про биномиальные коэффициенты можно говорить довольно много, потому что это понятие связано с комбинаторикой. Но мы сегодня давайте вот этим пока ограничимся, чтобы не совсем взорвать вам мозг.
Так или иначе, заметим, что вот с помощью треугольника Паскаля и с помощью соответствующего правила, как именно мы раскрываем скобки, мы можем записать формулу бинома Ньютона для любого конкретного N.
Ну, теперь остаётся ещё несколько вопросов. И первый из них всё же таки: А зачем? То есть, зачем нам уметь раскрывать эти скобки? Ну, во-первых, действительно, иногда бывает полезно в разных алгебраических задачах привести подобные. Или, там, допустим, у вас есть что-нибудь типа выражения (A + B)^n – B^n, вам надо это как-то упростить. Для этого надо вот эти скобки раскрыть.
Ну, а чтобы их раскрыть, вы пользуетесь биномом. Вот это может понадобиться многому где, в частности для вычисления производных, для вычисления пределов – много-много где. Потом ещё один момент: оказывается, что Бином Ньютона вполне себе применим для так называемой длинной арифметики.
То есть, представьте себе, что вам нужно посчитать число, ну, скажем, 3 в степени 1000. Но проблема в том, что вот у вас умножение так далеко не работает. То есть, ну, не хватает вам, например, оперативной памяти, чтобы перемножить 10 троек. А вот 10^2, допустим, можете перемножить.
Тогда вы можете расписать это как (1+2) в степени 1000 и дальше раскрыть всё по биномовому разложению. Получите 1001 слагаемое. А вот сложить их вы уже можете. Там есть специальная длинная арифметика, да, которая позволяет складывать соответствующие цифры, как будто вы складываете два массива данных.
Вот то есть не как числа отдельные операции сложения делается, а отдельно для двух строчек, что называется. Вот и с помощью этого вы можете обойти это самое ограничение по памяти вашей. Так что на самом деле Бином Ньютона, конечно, применяется и в программировании.
Более того, он безусловно очень нужен в принципе при работе с матрицами. А без них нету даже искусственного интеллекта, которым мы вот сейчас активно все занимаемся. Да, то есть нейросети, они во многом построены на подобных идеях.
Теперь давайте немножечко вернёмся назад, и прежде чем поговорить про происхождение вот этого понятия, да, Бином Ньютона, я хотел бы вспомнить такой шутливый принцип – принцип Арнольда. Так называемый: что ни один факт не назван в честь того, кто этот факт придумал.
Отдельный вопрос к вам: А кто тогда автор принципа Арнольда? Если следовать принципу Арнольда. Но фишка в том, что Бином Ньютона был известен задолго до того, как Исаак Ньютон появился на свет. И в работах восточных математиков, в частности китайских математиков ещё в X веке видно, что они знали соответствующую формулу. Просто Ньютон некоторые вещи обобщил, записал их чуть покрасивее, и вот в честь него, соответственно, всё и назвали.
Для тех, кто дожил до этого момента нашего видеоролика, я хотел бы всё-таки показать, откуда же берётся доказательство этой формулы. Потому что, ну да, вроде работает для конкретных чисел, но надо бы доказать, что это будет работать всегда.
Да, идея здесь примерно следующая: надо просто раскрыть скобки. То есть, в частности, если у вас была формула квадрата суммы, да, то есть это (A + B) * (A + B). Ну и кто помнит, как раскрываются скобки в таких выражениях? Мы каждый элемент первой скобки должны умножить на каждый элемент второй скобки.
А то есть A * A будет A^2, A * B так и будет AB, B * A то же самое, что A * B, и B * B будет B^2. Итого получается A^2 + 2AB + B^2 – просто раскрытие скобок.
Ну а что тогда такое (A + B)^n? Это, собственно, (A + B) * (A + B) и так далее на (A + B) – всё это n раз. Как раскрывать такие скобочки? Мы должны взять одно слагаемое из первой скобочки, одно слагаемое из второй скобочки и так далее, одно из последней и все их перемножить.
Потом взять следующую комбинацию. То есть, например, мы взяли сначала все первые слагаемые, потом из всех скобок первые слагаемые. А из последней – второе слагаемое и так далее. Вот все-все возможные варианты мы должны пробежать.
Так вот тогда понятно, что если из всех скобочек мы взяли по A, то у нас будет, собственно, A^n. Просто раз взято A, если мы взяли из одной скобочки B, а из остальных скобочек A, тогда у нас должно получиться A^(n-1) * B^1.
Но проблема в том, что мы это можем сделать большим количеством способов. Мы можем взять один B из первой скобки, а A из остальных, B из второй скобки, A из остальных и так далее. Мы можем взять B из последней скобки, A из остальных. Итого получается много разных вариантов.
А много – это сколько? Вот оказывается, что их как раз C(n, k) вариантов, где что такое C(n, k)? Вообще, C(n, k) – это количество сочетаний из n элементов по k, то есть количество способов, иначе говоря, выбрать k элементов из n возможных.
Ну вот мы и выбираем один элемент из n возможных. Это и называется C(n, k). Найти это можно по специальной формуле: C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!). Но чтобы в такие дебри не пускаться, вы, конечно, можете ещё раз повторяю, брать значение C(n, k) просто из строчки треугольника Паскаля.
Дальше, если мы из двух скобочек взяли B, мы уже знаем, что сначала надо выбрать эти две скобочки. Количество способов это сделать – это C(n, 2). А из оставшихся n-2 скобочек мы берём A.
Ну и так далее. В конце у нас будет просто 1. Если вы помните, по формуле будет ещё такой множитель, да, как C(n, n) – количество способов выбрать n элементов из n возможных. Это он. Поэтому можно писать этот коэффициент, а можно и не писать.
Вот такая вот формула получается. Вот если бы одного моего очень опытного, очень уважаемого коллегу спросили: «А зачем нужен вообще Бином Ньютона?» – он бы ответил, я думаю, словами из старого, правда, очень приличного анекдота.
Ну, во-первых, это красиво. Надеюсь, что и вам сегодня было красиво. Вы посмотрели на треугольник Паскаля, вы увидели, как быстро и достаточно симпатично раскрываются скобки, если мы должны какой-то двучлен возвести в натуральную степень.
И не забывайте подписываться на наш канал и конкретно на эту рубрику, чтобы не пропустить следующие ролики. Пока-пока! [музыка]