Мнимые числа реальны: #11 Четыре измерения [Welch Labs]

Вот сайт с шаурмой.

Ну что, придумали какое-нибудь интересное изображение, которое помогло бы нам лучше понять функцию f(z) равно z² плюс один.

Смотрите, у нас есть z в квадрате, то есть комплексное число z умножается на себя. Значит, поведение функции как-то связано с комплексным умножением.

Этой теме была посвящена 7 серия. Напомню, что подобное умножение можно представить с помощью векторов на комплексной плоскости. При умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а углы складываются. То есть вот эта часть функции z² возводит в квадрат длину вектора, а его угол удваивает.

С той частью функции, где мы прибавляем единицу, всё проще: добавление вещественного числа просто сдвинет график функции в соответствующем направлении, в данном случае на 1 вправо. Поскольку сдвиг не меняет общий вид функции, для удобства с ним можно пренебречь.

Давайте проверим гипотезу, что наша функция удваивает угол входящего значения.

Чего бы нам такого нарисовать для наглядности? Нам нужно изображение, все точки которого находятся под одинаковым углом к оси, чтобы можно было сказать наверняка, что они меняются одинаково.

Какой объект в полярной системе координат подходит под описание? Да, любая прямая, проходящая через ноль. Нарисуем такую линию.

После преобразования у нас получилось, в принципе, то же самое, но с удвоенным углом. Добавим еще пару линий, чтобы всё перепроверить. Как видите, угол и правда удваивается после преобразования.

А что происходит с модулем? Как помните, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются. В нашем случае модуль, то есть расстояние от нуля до точки, возводится в квадрат при преобразовании.

Чтобы нам нарисовать, чтобы это проверить, нас интересует именно расстояние, поэтому нам нужен объект, все точки которого имеют одинаковый модуль. Если такая фигура, у которой все точки равноудалены от центра, есть, эта фигура называется круг. Нам понадобится несколько окружностей, но рисовать мы их будем по частям.

Как видите, единственное отличие на выходе — расстояние до 0. Как и ожидалось, форма сохраняется, изменяется лишь радиус. Кажется, путем грамотного подбора входных данных мы смогли понять, что именно делает наша функция с комплексными числами.

Отлично, но есть еще над чем подумать. Рано радоваться. Во-первых, мы разобрали только очень простую функцию. Во-вторых, даже эта простая функция способна вырваться за пределы двух комплексных плоскостей.

Смотрите, мы знаем, что наша функция на выходе удваивает угол. Что же будет, если мы решим до рисовать фигуры на оригинальном изображении? Я не просто так не стал рисовать круги целиком.

Как только мы доходим до 180 градусов, возникает проблема: мы использовали только половину пространства на плоскости z, а на w места уже не осталось. Поэтому, если мы продолжим двигаться по окружности, новым точкам ничего не останется, кроме как забраться поверх старых.

Все согласуется с алгебраическим возведением в степень, ведь квадрат (1 + i) равен квадрату (-1 - i), то есть оба дают два и, следовательно, проблемы не функции, а в том, что наш подход к визуализации не позволяет адекватно сопоставить две разных точки на входе с одной точкой на выходе.

Ведь как решить, какой пиксель показывать — отсюда или отсюда? Это лишь полбеды. Настоящие проблемы начинаются, когда нам нужно сделать обратное преобразование.

Если взять какую-то функцию и поменять местами аргументы значения, мы получим обратную функцию. Нетрудно догадаться, как будет выглядеть функция, обратная нашей, выразим из исходного уравнения z.

И здесь возникает проблема: обратная функция должна отменить те преобразования, которые сделала исходная. У нас два числа на входе превращались в одно на выходе, теперь всё наоборот: одно число должно стать двумя.

Если w равно двум, то z может быть (1 + i) и может быть (-1 - i). Это неправильно. Строго говоря, в такой ситуации мы не имеем права называть обратную функцию собственно функцией, ведь определения функции гласит, что каждому элементу первого множества соответствует один и только один элемент второго множества.

Поэтому, видимо, не особо долго думая, ввели новый термин «многозначная функция». В остальном всё пока по-прежнему просто. Запомните, что когда мы получаем w и z — эта функция, а когда наоборот — многозначная функция, и это другое.

На практике всё работает как-то так: одна фигура на плоскости w превращается в две на плоскости z, при этом меньшего размера. Дублирование происходит из-за того, что из модуля каждой оригинальной точки извлекается корень, а угол делится на 2.

Давайте нарисуем еще что-нибудь. Пусть это будет произвольная замкнутая кривая линия на плоскости w. Сравнив повнимательнее графики на плоскостях w и z, мы получим некоторое представление о том, как себя ведет наша комплексная не совсем функция в четырехмерном пространстве.

Вот кривая возвращается в ту же точку, из которой выходило на обеих плоскостях, вполне предсказуемо. А теперь смотрите, что будет, если кривую немного изменить.

На w мы вернулись в ту же точку, из которой начали, а назад — нет. Мы вообще не в ту часть графика попали. Каким-то образом мы пришли в другую половину многозначной функции.

То есть преобразование одних замкнутых кривых линий возвращает нас в начало пути, а других — нет. Но как такое возможно? Почему такие похожие замкнутые кривые так принципиально отличаются друг от друга после преобразования?

К счастью, как это часто бывает в математике, когда сталкиваешься с казалось бы неразрешимой проблемой, кто-то гораздо более умный уже во всем разобрался и всё решил. В данном случае это был ученик Гаусса, Бернхард Риман. Его работу разберем в следующем видео.

[музыка] Если вы все еще с нами, то вот небольшой бонус. Смотрите, как еще можно визуализировать функцию комплексных переменных. Это называется раскраской и области определения.

Кстати, довольно новая идея. Проследив за перераспределением цветов, можно получить очень много полезной информации о поведении комплексной функции. Например, здесь видно, что из-за квадратного корня изображения на плоскости w после преобразования разделяется на две копии.

Как можно заметить, на плоскости z мы встречаем каждый цвет дважды. В интернете есть много информации об этом методе, да и просто классных картинок хватает. Начать поиски можно со статьи в википедии.

Ну вот, теперь точно конец. До скорых встреч! Переведено и озвучено студией Вверх Гайдар.