Как считали число пи? [Veritasium]

Вот сайт с шаурмой. Likes!

Ведь сегодня я расскажу о том, каким нелепым образом, выше этого лепи на протяжении двух тысяч лет удачнее всего работали до боли медленные и утомительные способы. Но потом появился Исаак Ньютон, и наконец всех спас!

Можно сказать за spedra не lpi. Я покажу, как он это сделал. Но сначала напьемся. Срежьте с одной пицце краешки и разложите их в ряд поперек таких же pets. Ев корочек хватит чуть больше, чем на три штуки. Это и будет длина окружности, примерно в 3 раза больше диаметра и соотносится с площадью круга.

И вычисляют по формуле и r-квадрат. Но откуда берется такое соотношение? Разрежем пиццу на очень тонкие кусочки, а потом сложим из них прямоугольник. Его площадь это длина, помноженная на ширину. Длина прямоугольника — это половина бывшей длины окружности, ведь половина корочки получилась с одной стороны, а половина с другой.

Выходит, длина pin — радиус. Ширина прямоугольника это длина одного кусочка, то есть радиус круга. Получается, что площадь прямоугольника равна P — r, или π на r в квадрате. Площадь единичной окружности просто пить, пока запомните, это пригодится по почте.

Так что же за нелепый способ, о котором я говорил? В общем, он же самое очевидное! Неп сложно доказать, что значение π больше трех, но меньше четырех. Чертим круг. Внутри него шестиугольник с длиной стороны один. Правильный шестиугольник можно разделить на шесть равносторонних треугольников.

Диаметр круга составит 2, периметр шестиугольника шесть, а длина окружности очевидно больше, а значит, и больше чем 6 делить на 2, то есть больше трех. Опишем вокруг круга квадрат. Периметр квадрата 8, и это больше длины нашей окружности.

А значит, и должно быть меньше, чем 8 деленная на 2. В итоге и больше трех, но меньше четырех. Это выяснили тысячи лет назад, а в 250 году до нашей эры Архимед сумел продвинуться дальше.

Начал он с шестиугольника, как и ты, а потом заменил его на удлиненный двенадцатигранник. Затем вычислил его периметр, соотношение которого к диаметру окружности меньше π. Потом описал огонь около круга и нашел для π верхнюю границу.

Тут вычисления становятся хитрее. Архимеду приходится искать квадратные корни, и квадратные корни квадратных корней переводить все это в дроби. Но он чертит один за другим правильные многоугольники: двадцать четыре угла, 48, 96. Решает остановиться.

Теперь значение π находится в промежутке от 3.1408 до 3.1429. Учитывая, что дело было две тысячи лет назад, неплохо, верно? Да и нужны ли вообще более точное значение? Ну да, для практических целей даже это перебор.

Все, что дальше, это уже самоутверждение и желание похвастаться математическим талантом. Тем, что можешь высчитать с невероятной точностью константу. Вроде бы еще две тысячи лет все повторялись за Архимедом многоугольником, добавляли и добавляли углы.

Мыслятели из Китая, Индии, Персии и арабского мира. Все они дополняли древнегреческий метод. В конце 16 века Франсуа Виет сделал то, о чем Архимед не мог и мечтать. Для расчетов он взял многоугольник, у которого было 393216 сторон.

Но к концу века переиграл нидерландский математик Людольф ван Селин. Из двадцати лет он высчитывал число π, используя многоугольник с количеством сторон 2 в шестой степени, это 4 квинтиллиона 611 квадриллионов 686 триллионов 18 миллиардов 400 27 миллионов 387 тысяч девятьсот четыре стороны.

И что он получил за все эти старания? Час тридцать пять правильных цифр после запятой. И эти цифры увековечили на памятнике на его могиле. И через 20 лет рекорд снова побил Кристоф Гринберг. Он вычислил 38 знаков после запятой.

Последний, кто шел этим путем. В общем, да я, потому что совсем скоро за дело взялся сэр Исаак Ньютон. Стоило ему предложить свой подход к безумным многоугольникам, сразу забыли. На дворе 1666 год, их Ньютону было всего 23.

Ход бубонная чума заставила его сидеть дома. Над скуки он играл с выражениями вроде 1 плюс x в квадрате, что можно развернуть как 1 + 2x + x в квадрате. А если взять 1 плюс x в кубе, раскрываем скобки и получается один плюс 3x плюс 3x в квадрате плюс x в кубе.

То же самое можно проделать и с 1 плюс x в четвёртой и 1 плюс x в пятой и так далее. Ньютон заметил одну особенность, которая позволит пропустить скучные дотошные вычисления и сразу получить ответ. Если в этих уравнениях посмотреть на коэффициенты x, x квадрате и в кубе и так далее, оказывается, что они складываются в треугольник Паскаля.

Степень в которую возводится выражение в скобках соответствует определенному ряду в треугольнике. Да, треугольник Паскаля не такая уж сложная штука. Он известен еще со времен древних греков, древней Индии и Китая. Появлялся во многих культурах.

Суть в том, что каждый следующий ряд состоит из суммы соседних чисел предыдущего ряда. Это легко можно без труда высчитать коэффициенты для 1 плюс x в десятом за считанные секунды и не мучиться с алгеброй. Я пришел в восторг, когда начал просматривать старинные рукописи.

Даже без знания языка, без знания о том, как обозначали числа, мне было абсолютно ясно и просто очевидно, что везде написано одно и то же. То, что сейчас мы называем треугольником Паскаля. В этом прелесть математики! Она не привязана к культуре, времени и даже человечеству. Она останется, когда мы исчезнем.

Треугольник Паскаля был знаком древним цивилизациям, и его без труда поймут инопланетяне. Со временем вывели формулу для чисел в треугольнике Паскаля, мы умеем высчитывать их для любого ряда, не выстраивая весь треугольник.

Для выражения 1 плюс x в степени n ряд состоит из 1 плюс n умноженное на x плюс n n минус 1 x квадрат деленное на 2 факториал плюс n умноженное на n минус 1 на n минус 2 на x в кубе деленное на 3 факториала.

И как дали это биномиальная теорема? Биномиальная — это значит, что есть два основных компонента: это x в степени n и какой-то число y. То теорема, потому что вы можете доказать, что все, что у вас тут написано, это числа, которые встанут в ряды треугольника Паскаля.

И все это было известно уже во времена Ньютона. Именно все об этом знали, все видели эту формулу, и никому кроме него не пришло в голову сделать то, что сделал он — попытаться ее сломать. В обычном виде предполагается, что формулу применяют только тогда, когда n положительное целое число.

Звучит разумно. Так ведь? У нас есть 1 плюс x, умноженное на себя сколько-то раз. А Ньютон говорит: «Зачем мелочиться? Теорема есть, давайте использовать для математики нормально, находить закономерности, а потом искать условия, где они перестают работать».

Ньютон пробует вариант 1 плюс x минус 1, это 1 деленное на 1 плюс x. Что если на место n во всей правой части уравнения поставить минус 1? А вот что! Знаки будут меняться туда-сюда на противоположный: один минус 1, плюс 1, минус 1 и так далее до бесконечности.

Мы получим 1 минус x плюс x в квадрате минус x в кубе плюс x в четвертой, минус x в пятой. И мы получим последовательность с чередующимся знаком у коэффициентов. В итоге мы увидим бесконечный ряд! Да, именно так!

Если он что-то помимо натурального числа, биномиальной теоремы, Ньютон дает бесконечный ряд. А как это понять? Ведь при натуральном числе n у нас было конечное число слагаемых, а тут вдруг бесконечно. Я расскажу.

При натуральном n напомню, формуле коэффициент имеет форму n на (n минус 1) на (n минус 2) и так далее. Так вот, рано или поздно мы вычитаем из n его значение, получается 0. Этот коэффициент и все последующие будут равняться нулю, поэтому каждый ряд треугольника конечен.

Но если выйти за пределы натуральных чисел, у нас никогда в скобках не получится (n минус n), ведь n — не натуральное число. А значит последовательность выйдет бесконечно. Возникает вопрос: а это все работает? Действительно ли бесконечная последовательность Ньютона дает 1 деленное на (1 минус x)?

Может, и правда ерунда! Множество формул при подобных манипуляциях перестают работать не просто так. Выводится правило, но нужно учитывать, что в каких-то случаях правила работают, когда вроде бы и не должны. Если умножить обе части уравнения на 1 плюс x, видно, что сокращается всё, кроме первой единицы.

Всё это умноженное на 1 плюс x сводится к единице. Иными словами, всё это — единица, деленная на (1 плюс x). Именно этим Ньютон убеждал себя в том, что его формулу действительно можно применять там, где казалось бы не стоит.

Итак, Ньютон убедился, что формула работает даже если n — отрицательное число. Путь меня, значит, треугольник Паскаля хранит в себе какие-то тайны. Поверх нулевым рядом можно добавить ноль и единицу, из которых получится единица — бывшая вершина, а потом продолжить этот новый ряд: (-1) в (-1) / (-1) и так до бесконечности.

Если смотреть за границы обычного треугольника, предполагается, что каждый ряд продолжают нули и всё сходится, единицы и минус единицы вместе дают 0. И которые образуют ряд прямо под ними.

А еще, как мы можем продолжить ряды с отрицательными числами при том, как с помощью биномиальной теоремы, так и просто просчитывая, какие числа дадут нам сумму в нижнем ряду. И что удивительно, если не обращать внимания на минусы этого, в верхней части будто в отражении числа выстроятся так же, как в изначальном треугольнике.

Как будто мы его перевернули на бок! Но Ньютон не остановился даже на этом. Он решил поэкспериментировать с дробными степенями, например, 1 плюс x в степени 1 половина. И что ж, это такое? В степени 1 половина — это то же самое, что корень из (1 плюс x).

Он решает проверить, как изменится правая часть уравнения, подставив n равное 1 половина. Ньютон получает бесконечный ряд! Мне начинает казаться, что мы можем вроде как и раздуть треугольник Паскаля, добавив дроби в промежутке между знакомыми нам рядами целых чисел.

Так и есть! Это целый континуум треугольников Паскаля от нуля до единицы. Бесконечность чисел, которые можно поставить как степень. Представьте себе, что каждая дробная часть — половина, три четверти — существуют в своей плоскости, и в каждой из них соседние числа складываются в число, находящееся под ними.

Мы не привязаны положительным целым числам, ни положительным, ни отрицательным, ни целым. Можно взять одну вторую и вообще творить всё, что хочется. Например, можно легко и быстро вычислить квадратный корень из 3. 3 можем записать как 4 минус 1.

Если вынести за скобки 4, мы получим корень из 4 — это 2 помноженный на корень из единицы минус 1 4. Представим, что одна четвертая — это наш x, и получим ряд, который приведет нас к достаточно точному значению квадратного корня из 3.

Ньютон особенно занимал n равное 1 половина, и потому что для единичной окружности x в квадрате плюс y в квадрате равно 1. Если и в левой части оставить y, то формула для верхней полуокружности будет 1 минус x в квадрате в степени 1 половина.

Это почти то же самое выражение, что и раньше, только вместо x появляется минус x в квадрате. Каждый икс появляется минус, а степень на каждом шаге удваивается. Зато теперь у нас есть уравнение для полуокружности, в котором каждый множитель — это рациональное число, помноженное на x какой-то степени.

Мы можем представить одно и то же двумя способами. В таких случаях всегда происходит какое-то волшебство. Готовьтесь смотреть фейерверки! Как это помогло? Вы ищите π!

К счастью для нас, Ньютон тогда только изобрел интегральные уравнения, точнее, теорию функций. Он понимает, что можно вычислить площадь через определенный интеграл. При x от нуля до единицы, тогда мы высчитаем площадь четверти круга. Ньютон знает, что площадь единичной окружности равна π на r в квадрате.

r равно одному, значит, площадь равна π. Нас интересует четверть, и это π деленная на 4. С другой стороны, у него получается вот такой ряд. Он знает, как интегрировать x в какой-либо степени: просто увеличиваешь степень x на единицу и делишь на значение этой степени.

Тогда получается бесконечный ряд множителей и простые операции с дробями. Поставим x равной единице и высчитываем π любой нужной нам точности. Ньютон не остановился и на этом.

Он добавил еще одну деталь. Плохую математическую работу узнаешь по отсутствию идей. В них просто есть расчеты, которые всем понятны, но которые всем остальным лень проводить. А есть неплохие работы с какой-нибудь одной новой мыслью.

Но действительно впечатляющий у Ньютона. Мы обсудили уже четыре идеи, и вот на подходе 5. И заключается она в том, что вместо интегрирования от нуля до единицы, он берет промежуток от 0 до 1/2.

При наличии бесконечного ряда удобно, когда значение элементов быстро уменьшается. Тогда не приходится слишком уж долго считать, чтобы получить приемлемый результат. Ньютон понял, что если интегрировать не до единицы, а от 0 до 1/2, то при x 1/2, так как слагаемые уменьшаются пропорционально x квадрат, процесс пойдет быстрее.

В данном случае в четыре раза. Но если интегрировать только до 1/2, какова будет площадь под кривой, которую мы пытаемся вычислить? Вот эта часть круга. Ее можно представить как сектор в 30 градусов с площадью π на 12, и треугольник с основанием 1/2 и высотой, равной корню из 3, деленному на 2.

В итоге должно получиться вот это выражение. Если слева оставить только π, то получим вот это. Если рассмотреть только первые пять множителей и гены, получим π 3.1416. Мы ошиблись всего на 2 стотысячных, чтобы достичь точности в 5 знаков.

На его многоугольника с четырьмя квинтиллионами сторон нужно будет прочитать всего 50 множителей. По методу Ньютона на то, что раньше уходили годы, теперь можно сделать за считанные секунды. С тех пор, чтобы высчитать число π, никто не рисует многоугольники.

Да из чего бы иначе страдать? Работаешь, а кто-то уделывает тебя за секунду. Всё равно что, например, изобретают строительный кран, а ты упорно карабкаешься по стремянкам с кирпичами в руках.

Ну, просто больше так дома никто не строит! Новые технологии появились, на даже сумасшедшим быть, чтобы строить пятиэтажный дом, который рухнет, когда можно возвести сотню прочных этажей. Посмотрите на Нью-Йорк, там прекрасно видно, когда именно пришли технологии.

Ряды и ряды пятиэтажек, и вдруг вырастает 20-ти этажный дом, 30-ти этажный, 90-ти этажный — всё решают технологии. Мне кажется, мораль в том, что самый очевидный способ не всегда лучше. Иногда стоит повертеть идею, применить её в условия, для которых оно не предназначено.

Удачная догадка и математика могут сослужить хорошую службу.