Сможешь решить задачи из 2024 года? Математика на QWERTY
Всем привет, друзья! С вами Георгий Вольфсон, и это реальная математика на канале К Верти. Надеюсь, вы скучали.
Сегодня речь пойдёт о такой теме, как гонка вооружений в школьной математике. Да, да, речь идёт именно о том, что в последнее время, как мне кажется, и не только мне, сильно сдвинулась та черта, начиная с которой родители очень сильно обеспокоены математическим образованием своих детей. Конечно, речь идёт не обо всех прямо поголовно родителях, но, тем не менее, если раньше, лет, наверное, 50 назад, многие готовились там к поступлению в восьмой класс какого-то лицея, а кто-то начинал заниматься математикой только для поступления в ВУЗ, а потом эта граница сдвинулась, и уже в четвёртом классе дети начинали сильно готовиться к тому, чтобы пойти в пятый в какой-нибудь из матлицей.
Сейчас же я несколько раз получал запросы от дошкольников. Что, вот, не подготовите ли вы нашего ребёнка к поступлению в пятый класс известного физико-математического лицея? Это не разовый запрос, то есть действительно часто родители понимают, что конкурс в топовой школе составляет несколько десятков человек на место, и чтобы туда попасть, конечно, они стараются своих детей как можно раньше запихнуть в физмат кружки, к репетиторам и так далее.
Ну, разумеется, мне кажется, что это достаточно грустно. Потому что в первом классе, да, когда ребёнку там 6 или 7 лет, он вынужден заниматься вот этой жёсткой математикой, которая, может быть, ему и не особо-то и нужна. Хочется заметить, что не только родители реагируют на то, как меняется всё со временем, но и сами школы их на это провоцируют.
И вот сегодня я бы хотел как раз показать вам, как изменилась вступительная работа в пятый класс за 15 примерно лет. Вот у меня есть вариант 2009 года вступительной в пятый. На неё посмотрим, что-то, может быть, порешаем. И вариант 2023 года, прошлого года. Одна и та же школа, один и тот же класс, то есть четвероклассники пишут в пятый. Ну, давайте посмотрим, с чем из этого справитесь вы, а вы нам в комментариях обязательно напишите, поступили бы вы по таким задачам, как вам кажется, будь вы сейчас четвероклассниками, но с вашими нынешними знаниями, или нет.
Итак, поехали! Сначала возьмём вариант 2009 года. Как видите, начинается здесь всё не так и сложно. Первая задача звучит так: "Запишите цифрами число 1008". Ну, то есть, в чистом виде задача на внимательность. Если мы достаточно аккуратны, то понимаем, что это 100.50. Вот и всё. Дальше, сколько чётных чисел в этом ряду 16. Безусловно, чётное. Надо просто знать, что такое чётное число – да, число, делящееся на два без остатка, то есть оканчивающееся на 0, 2, 4, 6 или, соответственно, 27 нечётная, 258 чётная, 2667 нечётная и 8888 чётно.
Ну, дальше видим уравнение. Уравнения, в принципе, стандартные, а мы не будем сейчас подробно останавливаться на нём. Давайте посмотрим, что ещё есть интересного в этой работе. "Собака бежит за лисой. Собака пробегает 200 м в минуту, лиса – 160 м в минуту". Классическая задача! Я в первый раз видел её, по-моему, в задачнике Перельмана. Но точно она была в Советском Союзе. Ну, не сложно видеть, что тогда каждую минуту собака догоняет лису на 40 м, и если между ними было 200 м, то по 40 в минуту через 5 минут она догонит.
Какое самое маленькое чётное число можно составить из цифр 2, 4, 8 и 9, если каждую цифру можно использовать ровно один раз? Ну, понятно, чтобы число было самым маленьким, наверное, в начале надо поставить как можно меньшую цифру, то есть, видимо, два. Дальше берём тоже самую маленькую цифру – четыре. Дальше, чтобы она была самой маленькой, по идее, надо ставить восемь, но проблема в том, что тогда число получится нечётным, а нам нужно чётное. Так что всё же ставим 2 и 8 на конце.
В общем, тоже ничего сложного. Задача номер шесть – мы её пропустим, она техническая. Периметр известен, одна сторона известна. Вторую найдём, не вопрос, формула там все знают. Вот седьмая: "Кирпич весит 1 кг и ещё полкирпича. Сколько весит пять кирпичей?" Тоже классическая советская задача, которой много лет уже. А если кирпич весит 1 кг и ещё полкирпича, это можно визуализировать: вот у нас кирпич, и вот он равен половинке, вот такой вот половинки, специально выделена. Вот это такая же как эта плюс 1 кг. Ну, значит, оставшаяся половинка – это и есть тот самый килограмм. Тогда кирпич весит 2 кг. Но нас спрашивают, сколько весит 5 кирпичей? 10 кг.
Давайте ещё что-нибудь посмотрим, скажем, 13. Здесь, конечно, у меня сразу вопрос: "Считается ли хозяйка или только у курицы?" Кролик: "35 голов и 94 ноги". А кроме того, что считать ногами? Да, ну, видимо, подразумевается, что у кроликов ног четыре. Хотя отдельный вопрос: да, как там лапы считать ногами или нет? Ну, окей, по четыре. У курицы, соответственно, две ноги. Подобная задача тоже достаточно широко известна. Сейчас вряд ли предложат, потому что все дети умеют, ре настроены на поступление. Вот про это раз и поговорим.
Ну, я бы… Так, давайте предположим, что вот все кролики встали на задние лапки. На задние ноги, говоря тем же текстом, который у нас есть в условиях. Тогда понятно, что если у нас 35 животных, каждая стоит на двух ногах – и курица, и кролик – значит, всего ног будет 70. Это если встали на задние, да, а в воздух под 94. Ну, а если 24 ноги в воздухе, то, как мы помним, каждый кролик поднял по две лапки. Значит, кроликов всего 12, 12 кроликов. Ну, а курица, тогда будет 35 минус 12, это 23 курицы. Вот отдельно можете написать, понравилось ли вам такое решение, потому что, конечно, эту задачу взрослые решают системой. Пусть количество кроликов будет 35 минус х. И после этого мы пишем: х у 4, 35 минус х у 2 = 94. Можно и систему, если х одних и у других, то х плюс у – это 35. Ну и там для ног тоже уравнение пишется. В общем, всё получается, но мне нравится вот такое арифметическое решение. То есть здесь я вообще никакого икса не вводил.
Ну и давайте посмотрим на самую последнюю теперь задачу, типа самое сложное. На день рождения Винни-Пух получил от кролика килограмм 80 грамм. Мда, от Пятачка ври́ мёд в три раза меньше. Значит, надо просто 1080 поделить на 3. В общем, поделим. Весь мёд был в одинаковых банках, которых кролик дал на 8 больше, чем Пятачок. Но мы можем запросто посчитать разницу в количестве мёда, да. То есть из 80 вычесть вот то, что у нас получится, когда мы поделили на 3, и это будет те самые 8 банок, на которые кролик дал больше. Ну, значит, мы можем поделить, получить, сколько в каждой банке. И после этого всё рассчитать.
Но на самом деле можно посчитать задачу чуть быстрее. Вот кролик дал сколько-то мёда, а Пятачок в три раза меньше. Давайте предположим, что Пятачок дал вот столько, нарисуем с помощью квадратика. Это Пятачок, а кролик тогда дал три таких же квадратика. Правильно? 2 Ит в три раза больше, визуализируй с другой стороны. Известно, что весь мёд был в одинаковых банках, и кролик дал на 8 больше. Ну, кролик дал вот, вот это вот больше. Это, правильно, тогда получается, что 2 квадратов – это 8 банок. А всего Пух получил 4 квадратика, то есть 16 банок. Вся задачка и здесь: вообще говоря, вот про эти 1 кг 80 грамм – это лишние данные. То есть, да, с его помощью можно решить задачу, посчитав всё по-честному, по действиям, как я и рассказал, но можно этим не пользоваться.
Ну, что ж, вот таким вот был вариант 2009 года, а мы пока давайте перейдём к варианту 2023 года. Сразу видите, что немножечко изменилось поле для оформления, и смотрим. Ну, первая же задача вместо того, чтобы нам просто написать число цифрами, нам предлагают выполнить достаточно жёсткое деление. Будем считать, что мы умеем вычислять. Всё, дальше уравнение – мы тоже пропустим, посмотрим на третью задачу: в примере на сложения звёздочками заменены некоторые цифры, не обязательно одинаковые. Найти сумму этих семи цифр.
Ну как видите, задача уже достаточно жёсткая, потому что здесь не найти, по крайней мере, сходу сами цифры. Но действительно, вот, например, в последнем разряде вы видите, звёздочка плюс звёздочка даёт нам тройку. Звёздочка 5, 4, звёздочка, звёздочка плюс звёздочка 8, 2, звёздочка, звёздочка даёт нам 1, 0, звёздочка, 7, 9. И вот в этом разряде в последнем, да, там, где у нас стоят две звёздочки, мы же не можем понять, как именно устроены эти самые звёздочки. То есть их сумма равна ? , а может, кстати, и 1, но это могут быть 3 и 0, а могут быть 2 и 1 наоборот. Другой вопрос, нам это на самом деле не совсем важно, потому что нас прежде всего интересует, что, да, вместе либо 13 запомнили.
Теперь смотрим на предпоследний разряд, но здесь аналогично сумма либо 9, либо 19. Ну, либо 8 или 18, если был переход с предыдущего разряда. Сразу поймём, что 19 сумма не бывает, потому что собственно максимальная сумма возможна – это 9, да? 4 плюс 2 – это 6. Значит, наша сумма либо 19, ну, такого быть не может, мы уже поняли, либо 18. Вот, но 18 может быть на самом деле только в одном случае, если было 9 плюс 9. Таким образом, вот в этом разряде я могу сейчас для себя приписать, что вот здесь на самом деле было 9 плюс 9, и это нам даёт девятку. Более того, тогда был переход справа, значит, вот эта вот сумма вместе даёт 13, а не ? а вот эта сумма, мы уже поняли, 18.
Итак, через звёздочки, из всех цифр мы уже смогли сложить. Их сумма 31. Смотрим дальше: 5 плюс 8. Тут мы всё понимаем, это 13, перехода никакого не было. 4 плюс 2 даёт 6, там ещё один – здесь, но перехода нет. Значит, вот сюда пишется циферка. Тут просто стоит тройка, и один переходит сюда. Ну а дальше: 4 плюс ?? – и у нас. Значит, сумма вот этих чисел. Итого: 31 плюс 9 плюс 3 значит, общая сумма 31 плюс 9 плюс 3 будет 43. Это, друзья мои, третья только задача! Согласитесь, что по уровню вот эта задача соответствует, ну, наверное, последним задачам из 2009 года. Может, дань тоже не просто так это делает.
Если бы сейчас дали вот все задачи 2009 года, многие, во-первых, известные сами задачи, во-вторых, у них известны алгоритмы решения. Эти алгоритмы на многочисленных курсах для поступающих разбираются миллион раз, потому что, конечно, гораздо проще научить ребёнка каким-то конкретным алгоритмам, чем вообще думать. Поэтому вот эти простейшие алгоритмы решения задач на так называемые "головы и ноги", на чётность, на делимость и так далее, они чаще всего высчитываются в доли поперёк, и им приходится вот что-то такое изобретать, чтобы из общего потока ребят вышли не тех, кто натаскан, а тех, кто действительно соображает хорошо.
Проблема какая? Ну, хорошо, ребёнка натаскают, он поступит в пятый класс в искомую школу. Но там-то там проблема же будет в том, что надо продолжать учиться, и учиться по достаточно сложной программе. Именно так в пятом классе дети продолжают заниматься с репетиторами, потому что нужно тянуть уровень, на который они вышли. Вообще говоря, не совсем заслуженно. То есть им и не надо бы поступать в такую школу, им это слишком сложно, некоторым, я не говорю про всех, конечно. Вот, но из-за того, что вот они долго-долго занимались там, иногда с начальной школы, иногда даже с дошкольного возраста, они поступили, но там-то дальше уже не шаблонное обучение идёт. Там дальше вот такие задачи нужно как-то научиться решать.
Нет чисел больше 239, но меньших чем 239. Если я ещё не спалил номер той школы, в которую идёт вступительная работа, то я думаю, некоторые уже догадались, о какой школе идёт речь. Это тоже такая задача очень коварная: во-первых, нечётные числа мы знаем, они идут через один, тут всё понятно. Больше 239, то есть само 239 не участвует, 24 меньшего, чем 239, то есть до 237. Ну, некоторые считают, что нужно просто из вот этого числа вычесть это и поделить результат на два, а, к сожалению, это не работает. И в качестве контрпримера могу привести вам такой: представьте себе, что вам нужно посчитать нечётные числа от одного до Тх. Сколько их? Ну, два. Понятно, их можно просто перечислить, да: 1.
И с другой стороны, если посчитать, вот по той псевдо-формуле, которую я назвал, да, последняя минус первая пополам 3 минус 1, это 2, пополам, и это не то. На самом деле, я бы решал эту задачу следующим образом. Вот давайте рассмотрим первые 2338 чисел. Они бьются на пары: чётные, нечётные. Чт – нечётные. Значит, нечётных среди них ровно половина. Таким образом, из них будет 119 нечётных. Это от 1 до 238. Ну, то есть до 237, на самом деле. Но это неважно. Вот теперь, какие мы должны убрать? А, мы должны убрать те нечётные числа, которые идут до 239 включительно. То есть, опять же, давайте возьмём вот досюда. Да, первые 240 чисел 1 и так далее, 240. Из них ровно 120 нечётных. Значит, вычитаем мы 120, половину, и это 119. Вот такой вот правильный ответ!
Давайте теперь перемотать. Страшно. Посмотрите, само условие выглядит вот так. задача, кстати, красивая. Желающие могут поставить видео на паузу и попробовать её разобрать. Но мы разбирать её будем слишком долго, поэтому не буду на этом оставаться. И посмотрим на задачу номер 19: "Что в день, а часы Пети отстают на 10 минут в день?". 1 мая в полдень на Васиных часах 17:00, а на Петины 13:00. Какого числа и какого месяца впервые после 1 мая в полдень их часы покажут одинаковое время одновременно?
Задача, которая вроде бы для понимания не такая и сложная. То есть вот у нас есть часы, на них 17:00, дальше будет в следующий раз на 15 минут больше, потом ещё больше, ещё больше и так далее. А на других часах 13:00, и там будет на 10 меньше, меньше, меньше и так далее. И вот надо поймать тот момент, когда совпадут, а потом ещё и посчитать нужную дату. Но опять же, вот для интереса я пока не буду разбирать эту задачу. А я хочу попросить вас: напишите в комментариях, какой ответ получился у вас тем, кто захотел это посчитать. И вот тогда мы и посмотрим, много ли взрослых образованных людей может вот эту вот вроде бы несложную задачку довести действительно до правильного ответа, не запутавшись и в датах, и во времени.
Ну, что ж, сухой остаток. Я не знаю, как вам, но мне кажется, что всё-таки задачи стали гораздо сложнее. И хотя, безусловно, сейчас не нужно вот из этих ДТИ задач ребёнка, чтобы пройти дальше решить все 20. Но, тем не менее, даже первые задачи у хорошего ученика, у отличника, даже в начальной школе вызывают затруднения. И поэтому, опять же, новая волна родителей, глядя вот на такие задачи, понимает: "О, если мы хотим, чтобы наш ребёнок поступил в соответствующий физмат лицей, кажется, надо готовиться уже не с 6 лет, а с 3 лет, чтобы кого-то обогнать". Но я надеюсь, что всё-таки не все будут гнаться вот за подобными поступлениями и достижениями.
Потому что есть обратная сторона медали, как я уже сказал, ребёнок-то поступит, только у него будет такое отвращение к этому моменту, к математике, или такое непонимание того, что происходит вокруг, что дальше он, к сожалению, с большой вероятностью в такой школе просто не задержится. Так что я вам всем и родителям, и будущим родителям, и бабушкам, дедушкам желаю здравого смысла в вопросе подготовки ребят к физмат лицу. Но и не забывайте смотреть наши новые выпуски на канале К Верти. Для этого стоит подписаться, чтобы их не пропустить. Всем пока! С вами был Георгий. [музыка]