Вокруг Земли. Решаем задачи с математиком
Всем привет, с вами Георгий Вольфсон. Это реальная математика на канале QWERTY, на которые, конечно же, давно подписаны и лайк к этому видео, и тоже я надеюсь, вы поставите ближе к концу, но может сделать это и сейчас, если просто рады меня видеть. Всё так всегда здесь.
Сегодня мы с вами совершим небольшое путешествие вокруг света, но не за 80 дней, а побыстрее, и будем мы это делать с помощью математики, решая разные задачи, так или иначе связанные с нашим земным шаром. И начнем с такой классической задачи. Некоторые из вас, наверное, знают: каждую задачу можно попытаться поставить на паузу и решить самостоятельно или, по крайней мере, сформулировать для себя ответ. В этой задаче иногда он может показаться достаточно контр интуитивно.
Итак, первая задача такая: представьте себе, что есть у нас земной шарик, и по поверхности этого шарика мы натянули ленту. Сразу скажу, конечно, Земля не имеет форму шара, но мы пока будем считать, что прям красивый ровный шар. Натянули ленту, а затем увеличили эту ленту на один метр, удлинили, и после этого равномерно отодвинули от поверхности Земли. Образовался такой зазорчик. Вот вопрос: может ли в этот зазор пролезть, ну скажем, кошка? Пока можете подумать, ну а мы давайте немножко посчитаем.
История здесь довольно проста. У нас есть еще одна окружность, и нам известно, что радиус Земли, ну вот, был он какой-то R, а добавился вот такой вот кусочек x. Этот x я хочу прикинуть. При этом я знаю, что длина внешней окружности на 1 больше, чем длина внутренней на 1 метр. Формула длины окружности известна: 2πR. Значит, вот это у нас длина внутренней окружности, а вот это длина внешней: 2πR + x. И вот разность между этими двумя выражениями должна составлять единицу: 2πR в данном случае взаимно уничтожается, остается 2πx равно одному метру.
Стало быть, x — это 1 разделить на 2π. Ну что такое 2π? 2 на 3.14, чуть больше 6. Если 1 метр разделить примерно на 6, то есть получится около 15 сантиметров. Значит, зазор у нас будет около 15 сантиметров. Но и кошка в такой зазор, конечно, пролезает. Интересно, что, как видите, этот ответ не зависит от радиуса Земли. Я сюда не подставлял значение R для Марса, для Юпитера и даже для арбуза; эта задача будет решаться абсолютно одинаково. То есть везде этот зазор будет примерно в 15 сантиметров, если удлинить ленту ровно на метр.
Вот такая достаточно забавная задачка. Ещё более контр интуитивен такой пример. Представьте себе, что мы взяли ту же ленту, которая поет свою Земной шар плотно-плотно, опять увеличили на метр, но теперь мы неравномерно раздвинули, а вот так вот подняли за один какой-то кончик, и получилось что-то вот такое. То есть представьте, вот у нас земной шарик, и вот в этой точке мы обтянули ленту, соответственно, она вот здесь будет прилегать, как бы подвесили до земного шарика. Понятно, что вот это расстояние будет больше, чем 15 сантиметров, потому что вы сконцентрировали всё с одной стороны.
Вопрос: а насколько сильно вот это отойдет от поверхности, больше чем на человеческий рост или нет? Тоже попробуйте сделать свои предположения, но пока разберем другую чуть более простую вспомогательную задачу, в которой тоже ответ довольно контр интуитивен. Представьте себе, что вот между двумя гвоздиками натянута веревка длиной, ну скажем, 200 метров. Вот они, 200 метров, и дальше допустим, что мы удлинили веревку на метр, она стала 201. Подвесили вот сюда такой грузик, который оттянул веревку максимально вниз в некую точку.
Вот насколько тогда этот грузик оттянул нашу веревку? В исходном положении, напомню, что было 200 метров, а стало 201 метр. Можете тоже ваши предположения сейчас высказать, будет интересно, если на момент просмотра этого видео вы поставите его на паузу и предположите, насколько будет изменения. Ну а пока давайте считать. На самом деле это задача простая.
Как видите, здесь у нас имеет место прямоугольный треугольник, а hC. Причем h — это у нас 100 метров, половинка 200. O — C — это половинка от всей длины новой веревки — 100 с половиной метров. Тогда как посчитать hC? А просто по теореме Пифагора: hC в квадрате — это квадрат гипотенузы минус квадрат катета, или это будет 100 с половиной в квадрате минус 100 в квадрате. Кто вооружился калькулятором, может это посчитать вручную. Я же вспомню формулу разности квадратов и скажу, что эта разность этих чисел — это 0.5 умножить на сумму этих чисел — на 200 с половиной.
То есть это будет 100 целых и 25 сот. То есть оказывается, да, чтоб квадрат этого расстояния, это будет 25. Ну а значит сам hC примерно 10. Я не буду считать точно, но так или иначе, видите, вот я вроде на один метр всего лишь удлинил веревку, а она аж на целых 10 метров провисла вниз.
Теперь можно вернуться к нашей исходной задаче и понять, в чем там будет отличием. Здесь, как мы видим, тонкость — вот как, допустим, этот центр нашего земного шара, центр окружности. Тогда понятно, что вот эта у нас касательная к окружности, которая, как известно, перпендикулярна радиусу. Ну и здесь то же самое. И тогда, что мы знаем, что вот такая длина аB + dC, то есть длина новой ленты, она ровно на метр больше, чем длина вот такой вот дуги. Как бы это записать в виде какого-нибудь равенства? Давайте радиус возьмем ZR. Я помню, чему равен радиус, мы это еще подставим, но пока просто в общем виде посчитаем это. Продлим, и вот этот уголочек возьмем за α.
Эту точку я обозначу. Тогда она, во-первых, из соображений симметрии, я могу считать не разность между этим уголочком и большой дугой, а разность между aB и об дугой. Я говорю, что она равна половинке метра. Ну что такое aB? У нас, если эта R, это α, то B это R тангенс α, а дуга об — это просто R умножить на α. Альфа, мне конечно не в градусах, а вроде, α это равно 0.5.
Ну отсюда, зная радиус и зная приближенное значение тангенса, есть специальная формула на разложение тангенса в ряд, по которым мы можем приближённо вычислить тангенс через угол, при том, что угол все-таки здесь не такой уж большой, то тогда я смогу примерно посчитать угол aEV. Как мне это поможет? Ну а что меня спрашивается в задаче? Мне надо найти BP. В свою очередь, BP — это оB минус aB.
Что такое оB? Ну это мы можем найти из прямоугольного треугольника D. Потому что вот эта сторона O — U, это катет, с прилежащим углом α. Зная, что B — это радиус, деленный на косинус, а π — это просто радиус, всё. Тогда, зная α, мы сможем примерно посчитать косинус α, подставить вот в эту формулу и найти BP, используя соответствующие формулы для разложения косинуса и тангенса, а также значение радиуса, который взял приблизительно 6 миллионов 400 тысяч метров.
Почему метров? Под 0.5 у меня в метрах. Так что я живу в метрах. Я получаю следующие: здесь тангенс α минус α равно 0.5 разделить на R, или если подставляем тангенс α примерно α плюс α куб на 3, значит, α куб на 3 — это будет примерно. Здесь мы уже знак равно, конечно, не можем ставить 0.5 разделить на 6400000, или соответственно α это примерно кубический корень из следующего. Мы умножаем 3 на 0.5 — это будет полтора, делить на 6400000. Соответственно, если мы извлекаем кубический корень, получаем примерно шесть тысячных.
Мы теперь возвращаемся вот к этой формуле итог. Да, наш BP — это что такое? Это радиус на единица разделить на косинус α минус единицу. То есть 1 минус косинус α делить на косинус α. Так как косинус α близок к единице при малом α, там и вместо него на подставить просто единицу, а сюда подставим 1 минус α квадрат пополам. Это получится R на α квадрат пополам. Ну здесь, конечно же, примерно равно, примерно R — это у нас 6 400 умножить на 0 0006 в квадрате и разделить на 2. Если мы это вычислим, мы получаем примерно 115 метров.
То есть, представляете, какая магия, что мы вроде бы увеличили длину всего лишь на метр, да, но отодвинулись мысли вот за эту веревку, подтянуть lзи ленточку примерно на 115 метров. Поверить в это, по-моему, довольно трудно. Но если у вас получилось, в большие эмоции, разумеется, это очень приблизительные вычисления, они будут немножко отличаться на порядок в районе 100 метров. По-моему, вполне достаточно.
Напоследок давайте разберем такую задачку. Представим себе, что в какой-то точке земной поверхности стоит человек ростом, ну скажем 2 метра, и он смотрит на горизонт. Вот сколько он видит? Если провести касательную, то он видит только до суда; всё, что дальше, он уже не видит. Предположим, что ничего не мешает, он стоит ровно на поверхности Земли. То есть опять же такая идеальная абстракция. Давайте попробуем посчитать длину вот этого отрезка.
Здесь, конечно, посчитать всё будет намного проще. Давайте заметим, что если берем человечка, если у нас центр здесь, это некая O, а вот эта точка A, B — это радиус; OА — это R плюс 2 метра, если мы говорим, что высота 2 метра. Ну тогда бы можно посчитать просто по теореме Пифагора: AВ в квадрате — это у нас будет (R + 2) в квадрате минус R в квадрате. Применяя формулу квадрат суммы, там будет R квадрат плюс 4R плюс 4. R квадрат и уходят, остается 4R плюс 4.
Значит, длина это та самая AB, она будет у нас корень из 4R плюс 4. Если вспомнить, что R — это у нас так 4 метра, то соответственно и здесь надо будет в метрах, все те же, примерно 6 миллионов 400 тысяч. Подставляя это, мы получаем приблизительно 5000 метров, около пяти километров. На самом деле, кстати, интересно, но можно было посчитать это чуть-чуть быстрее, если заметить, что 4R существенно меньше, чем 4. Правда, поэтому можно было извлечь корень из 4 — это 2, и корень вот из этого числа тут 40.
И к дают нам сто корень извести, 1100 a640, но это грубо 25 в квадрате, 25 в квадрате от 625. Поэтому там 25 с копейками. Вот 25 умножить на 2 будет 50, и еще умножить на 100 — примерно 5000 метров. Так что наш двухметровый человек смотрит примерно на 5 километров от себя до линии горизонта. Вы можете для разнообразия подставить свой рост. Как видите, изменится здесь что будет не два, а допустим, там полтора или 16 или 18 в зависимости от вашего роста.
Как следствие, поменяется вот это слагаемое. Но оно нам не важно. А что важнее, это вот это слагаемое, и значит, мы корень из радиуса будем умножать на чуть-чуть другой коэффициент. И для вас это может быть 4 километра или три километра, или наоборот 6 километров, если вы ещё выше двух метров. Вот такие приключения нас ждали сегодня.
Надеюсь, что вам было интересно. Не забывайте ставить лайки, если видео вам понравилось. Ну и до новых встреч в эфире, пока-пока! [музыка] [музыка] от