Чего больше, натуральных или четных чисел? Математика на QWERTY
[музыка] Всем привет! С вами Георгий Вольфсон. Это реальная математика на канале QWERTY. Не забывайте подписываться на нас, а также обратите внимание, что если вдруг на Ютубе мы вещать прекратим, то у нас есть канал в Телеграме, на котором всё будет хорошо.
Как отвечать на вопрос "Чего больше?" То есть, допустим, у вас есть во множестве каких-то объектов, ну, скажем, дети в детском саду и мешок конфет, и вам надо понять, кого больше. Если больше детей, то как-то грустно, конфет не хватает. Если больше конфет, тут всё более-менее нормально, чью воспитатель находится. Ну и что это подобно? [музыка]
Вот сегодня попробуем ответить на подобные вопросы. Разумеется, 1. Естественный ответ — посчитать. На этом вроде бы всё и закончилось. Если мы можем пересчитать элементы в одном множестве, сколько детей, элементов, другого во множестве, сколько конфет, то каждому хватит, или, возможно, не хватит. Вскоре узнаем.
Ну что делать, если в каком-то множестве в обоих элементах слишком много и посчитать не удастся? Вот об этом сегодня и поговорим. Но перед этим хочется отметить, все наши постоянные зрители, конечно, знают, что мы стараемся крайне редко ставить рекламу в свои ролики. А сейчас Ютуб ещё и отключил монетизацию на территории России, поэтому поддержка спонсоров становится более значимой для нас.
Вот этот выпуск поддержала компания "Позитив Текнолоджис". 18-19 мая в центре международной торговли в Москве пройдет форум по практической кибербезопасности. Посетив Hack Days, мероприятие пройдет уже в 11 раз. Центральное место в конкурсной программе отводится прикладным испытаниям, в ходе которых участники смогут продемонстрировать навыки взлома и защиты. И нет, насколько мне известно, совсем уронить Рутуб такой задачи не будет.
А интернет-пользователям будут предложены хакерские задания в рамках онлайн конкурсов. Также будет представлена специализированная бизнес-программа и технические треки по разным направлениям. Главный вопрос форума: реально ли быть независимым в текущих условиях без полного контроля над виртуальной средой?
Для тех, кто не сможет посетить PHD из лично, будет организована онлайн-трансляция всех выступлений. Ну а в описании к ролику вы найдете ссылку на это мероприятие и промо-код для приобретения билетов.
А теперь к нашей теме! Первый момент. И, пожалуй, алгоритм, который, наверное, в детском саду живо мы предложим, это, собственно, попытаться раздать конфеты детям. И тогда всё просто: если конфеты кончились, а детей ещё нет, значит детей больше. Если конфеты не кончились, а детей уже кончились, значит конфет больше. А если последний ребёнок забрал последнюю конфету, значит их поровну.
Вроде всё очевидно. На самом деле то, что мы сейчас сделали, называется соответствием. То есть каждому ребёнку сопоставили эту конфету, которую он взял, и наоборот — каждой конфете сопоставили ребенка, который её уберет.
И такое соответствие называется взаимно однозначным, то есть для каждой конфеты есть ровно один ребенок, который ее взял, для каждого ребенка есть ровно одна конфета, которую он тронулся. И вот этот термин нам дальше понадобится в чуть более сложной ситуации.
Потому что давайте теперь представим себе, что объекты не перечислимы. В принципе, допустим замечательный парадокс, который известен очень давно: а часов сна больше натуральных чисел? Напомню, натуральные — это целые положительные: 1, 2, 3, 4 и так далее, или четных положительных чисел, то есть 2, 4, 6, 8 и так далее.
Вроде бы ответ очевиден — прессу натуральных, потому что среди натуральных, собственно, есть четные, а есть еще и нечетные. Это точно так же, как задать вопрос, чего больше: прямоугольников или квадратов? Да, любой квадрат является прямоугольником, поэтому все квадраты среди прямоугольников есть, поэтому вроде как прямоугольников больше.
Ну не торопитесь! Математики, ребята хитрые. Давайте попробуем сделать следующее. Есть для начала чуть более простая задачка: чего больше чисел от 1 до бесконечности — натуральных, до 12 и так далее, или чисел от 2 до бесконечности? Уберите единицу — число стало меньше или нет?
Опять же, вроде когда мы убрали 2 часов, но не спешите. Здесь есть очень классная аналогия, с помощью которой я поясню свою следующую мысль. Представьте себе гостиницу. Эта гостиница будет увеличиваться вверх до бесконечности, то есть бесконечное количество этажей. И на каждом этаже живет один человек: на первом этаже живет один человек, на втором один человек, на третьем один человек и так далее до бесконечности.
Тогда возникает вопрос: вот, допустим, приехал ещё один человек — сможем мы его поселить в эту гостиницу или нет? Оказывается — да! Давайте просто скажем по громкой связи, чтобы каждый постоялец переехал ровно на один этаж выше. То есть с первого этажа переехал на второй, со второго на третий, встречаем на четвёртый и так далее до бесконечности.
Что важно? Если бы этажей было бы в этом словно тысяча, это много, но, конечно, тогда у нас бы не получилось, потому что с 1000 это же переезд — уже некуда, разве что на крышу к Карлсону в гости. А вот если это же бесконечно много, то каждый постоялец, какого бы не взяли, хоть миллион, хоть миллиардный — хоть какой — он сможет переехать на 1 больше.
Это как в старые греться: назови самое большое число, всегда можно добавить единицу. Так я здесь и тогда получается, что первый переехал на второй этаж, второй на третий и так далее, а первый тоже свободен. И значит, туда можно поселить человека. Получается, что чисел поровну — магия, правда?
На самом деле всё дело в том, что мы придумали как раз то самое взаимно однозначное соответствие: числу x мы сопоставили число x + 1, то есть единица сопоставлена двойке, двойки тройке, тройка четвёрке и так далее. Я каждому числу сопоставляю какое-то. То есть если вы скажете, какой человек переехал на 1000 этаж, я скажу 999. Какой человек переехал на миллионный этаж за 99999? Всё работает.
Ну хорошо работает. Если один номер мы убрали, а если мы уберём тысячу, чего больше: натуральных чисел от одного или натуральных чисел от 1001? Очевидно, опять же поровну, потому что мы же можем попросить каждого переехать не на один номер вверх, а на 1000 номеров вверх, правда? И тогда опять же мы найдём то самое взаимно однозначное соответствие.
То есть первый номер и 1001, второй и 1002, x и x плюс 1000. Что? 5 вот: детей и стало столько же, сколько конфет с тех пор.
Ну а теперь вопрос: вернемся да. А если у нас есть все натуральные числа и все четные числа, вот тут разница не один и не 1000 — тоже бесконечная, потому что разница во всех нечётных числах, коек бесконечно много. Но здесь можно придумать соответствие. Давайте, вы можете поставить ролик на паузу, придумать сами, что получится. Ну а я через несколько секунд расскажу ответ.
Мы можем сделать следующие предположения: человек с первого этажа переезжает на 2, со 2 на 4, с 3 на 6. Ну дальше вы поняли, с ex.ua на этаж 2. Тогда что получается? Что каждый постоялец опять же переезжает в какую-то конкретную комнату, мы никого не выгоняем из гостиницы, но при этом в каждую четную комнату кто-то приехал. То есть в тысячную 500, в миллионную 500 1000 и так далее.
Ну что, опять же, получилось, что натуральных чисел столько же, сколько четных. Тут, конечно, надо уже говорить, что значит вообще "столько же". То есть когда мы можем количество элементов пересчитать, там понятно, сколько же: типа тут 10 и тут 10, да, 20 — 20. А тут мы их пересчитать не можем.
Здесь какой тут бесконечности, тут бесконечности. Но бесконечности бывают, оказывается, разные. То есть если, например, вы воодушевлены этим замечательным фактом, попробуйте сказать: "Ну так тогда любое бесконечное количество вот оно друг друга переходит?" Я вам скажу — нет, оказывается, что, например, действительных чисел — то есть и рациональных, и иррациональных, куда входят всякие корни, корень из 2, корень из 3 и так далее, с которыми не выражаются дробями до обыкновенными — их не столько же, сколько натуральных — их больше.
То есть вроде тех и тех бесконечно, но придумать соответствующее отображение вы не сможете. Это уже, конечно, чуть более сложный рассказ, поэтому сегодня мы это затрагивать не будем. Но в то же время на кривете с бесконечностью разговор довольно трудный. Между прочим, уходя немножко от задачи с гостиницами и оценки количества чисел, натурального ряда учета, можно вспомнить ещё такую историю с бесконечностью.
Представьте себе, что вот вы на калькуляторе 1 делится на 3, что вы увидите? Там 0, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3. Почему так происходит? Потому что, если в столбик поделить, то там будет до бесконечности. Это самое деление, да, так будет 3, 3, 3, 3, 3 — так бесконечное количество троек. Математики ещё говорят "3 в периоде", но на калькуляторе-то она вполне, конечно.
И тогда вопрос: а что будет, если мы возьмём 3 раза по одной трети? По идее: 1/3, 2/3. 1/3 вместе дают целую, но если вы сложите 0.333, 0.333 и 0.333, то получится, но 0.9999 и куча девяток — они равны единице. И был в свое время дам достаточно остроумный ответ, когда спросили: "Вот представьте, торт, мы режем его ножом на 3 равные части, вот каждая часть 0.333 в сумме вроде получается, может, 999? Куда делась вот эта 0.0000001?"
[музыка] Самый популярный коммент был: "Осталось на ноже". И тогда там все вопросы снимаются. Но по факту правильный ответ, конечно, таков: если говорить про конечное количество цифр, то в партии сильно не получится — единица, там будет 0-9. Но если взять до бесконечности, то бесконечное количество троек, умноженное на 3, равно до бесконечного числа 9, которое фактически равно единице.
То есть это число, которое сколь угодно близко к единице, поэтому оно и равно единице. И это такой достаточно забавный, тоже парадокс, про который можно потом поговорить отдельно. Ну а пока у меня для вас, для желающих, есть ещё одна достаточно классическая задачка.
А вот представьте себе, что у вас есть много-много бесконечных таких гостиниц. То есть ни одна, а, скажем, 1000. И вам надо из тысяч этих гостиниц переселить всех людей в одну. Мы переселили, по сути, из двух в одну. Мы взяли, грубо говоря, всех людей и сдвинули их на четные номера. А дальше из 2 гостиницы можем поселить на нечетные аналогичным образом.
А вот можно ли так сделать, например, с тысячу гостиницы с миллионом гостиниц? Ну и совсем уж комбо на тех, кто хорошо разбирается в этом деле, с бесконечным количеством гостиниц. То есть у вас есть бесконечное количество гостиниц. Можно ли всех из всех бесконечных гостиниц переселить в одну бесконечно? Вот можете в комментариях написать, что на эту тему у вас получится. Если вы это сможете доказать, что можно, вы по сути докажите, что дробей столько же, сколько натуральных чисел. Но это уже будет совсем другая история.
На этом у меня на сегодня все. Надеюсь, что в бесконечности вы не запутались. Не забывайте подписываться на наш канал, не забывайте про то, что мы есть в Телеграме, и туда тоже можно подписываться. И до новых встреч на реальной математике. Пока-пока! Тема исчерпала себя, я ухожу. [музыка]