Удивительная математика числа 38.
Всем привет! С вами Георгий Вольфсон, и это очередной выпуск реальной математики на канале КРТИ. Я сегодня выступаю практически в роли Ланселота. Кто понимает, почему? Напишите в комментарии.
Мы сегодня начнём с такой небольшой задачки. Представим себе озеро, вот типа того, которое находится за моей спиной, и предположим, что оно зарастает кувшинками. Про это озеро, к сожалению, правда известно, что каждый день кувшинок становится в два раза больше, чем было в предыдущий день. Кроме того, известно, что 25 июля озеро полностью закрылось кувшинками, а на чело оно закрываться, ну скажем, 1 июля.
Вопрос: Когда озеро будет закрыто кувшинками строго наполовину? Ну, я надеюсь, что желающие подумали и дали, конечно, верный ответ. Ни в коем случае не в середине вот этого кусочка от пер до п, то есть не 13 июля, а вовсе даже 2. Потому что если отмотать на шаг назад, двадцать пятого, то мы получим, что будет кувшинок ровно в два раза меньше, чем полное озеро, то есть половина озера.
Ну, между прочим, числа в этой задаче подобраны не случайно, потому что именно 24 июля так же случилось у вашего покорного слуги — день рождения. И, к слову, этому факту также будет посвящен наш выпуск. Мне исполнилось 38 лет. Да, спасибо, спасибо!
А мне стало интересно, ну как математику, собственно, а чем привлекательно число 38. Вот когда мне через 4 года, я надеюсь, исполнится 42, тогда всё будет понятно. Мы просим тебя дать нам свой ответ — 42. А вот про 38 я решил немножечко покопаться, и вот что я обнаружил.
Во-первых, из очевидного: число 38 не простое. Люди часто проверяют, простое у них будет год или непростое. Тут правда как считать, чтобы мне вроде исполнилось 38, у меня Ри Дей, так или иначе и 38, и 39 — числа составные. 38 дели на 2 и на 19. Ну а 39 — дели на 3. Так что, видимо, простым у меня этот год не будет.
Зато 38 оказалось достаточно интересным числом. Вот в каком смысле: это последнее, то есть самое большое натуральное число больше в моей жизни и ни в чей другой вообще не будет, которое нельзя представить в виде суммы, будьте внимательны, двух нечётных. Ну, например, вот 30 можно представить как 15 п 15, нечётных составных числа, или, например, 42 я могу представить как 9 п 33. Оба они нечётные и оба составные.
А вот 38, оказывается, нельзя, и больше него все можно. А 38 — последнее, которое нельзя. Чтобы это доказать, во-первых, докажем, что само 38 не... Это делается неж. Возьмём нечётные числа. Да какие из них составные? Три — простое, пять — простое, семь — простое, девять — составное. Напомню: составное, да — это которое имеет больше двух натуральных делителей, то есть делится на что-то кроме себя и единицы. Следующее составное — это у нас уже 15, да, 11 и 13 пропускаем, дальше 17, 19 — простые, 21, 25, потом 27, дальше 29 и 31 пропускаем, 33.
Но в принципе 33 уже можно не брать, потому что если 33 даже сложить с девяткой, с самым маленьким из приведённых мной составных чисел, 38 не получится. Ну и остальные числа здесь, если их сложить по парам, не дают 38. Это несложно проверить на пальцах.
Но дальше вопрос: а почему ничего больше-то не подойдёт? То есть если взять числа там 40, 42 и так далее, их я могу представить... Но может быть, какое-нибудь число типа там Милн представить нельзя? Кто ж его знает? Оказывается, это можно доказать вот таким вот. Давайте рассмотрим числа 9, 25 и 5 — наше исходное число, что если прибавить к первому числу 9, ко второму числу 25, а к третьему числу 35, сумма даёт n.
По понятным причинам, да, то есть это три разных представления числа в виде сумм. Число n чётное, потому что если N нечётное, то в виде суммы двух нечётных составных его никак не представить, ведь сумма двух нечётных всегда чётна. Вопрос: а не являются ли вот эти вот числа простыми?
Потому что числа 9, 25 и 35 простыми точно не являются. Но это легко проверить, что одновременно они простыми быть не могут, потому что кто-то из них обязательно делится на три. Действительно, посмотрите, если N делится на 3, то N – 9 тоже делится на 3. Если N при делении на 3 остаток один, то 25 тоже даёт остаток один. Значит, вычитают остаток вычету, и у меня результат будет делиться на 3.
Это можно проверить. Если вот N равно там какому-то 3k + 1, да, то есть даёт остаток одной при делении на 3, то N – 25 — это 3k - 24, то есть 3 на K - 8 делится на 3. Аналогично, если N даёт остаток 2, определение на три вариант — это возможно, да, делится, даёт остаток один или два, так тогда — 35 делится на 3.
Ну и получается, что в любом случае одно из этих вот «ТХ» чисел, как минимум одно, может — и всё, оно уже будет делиться на 3. Может ли оно при этом быть простым? А только если это тройка. Но если исходное было больше чем 38, то тогда 35 — самое маленькое число, которое здесь есть, оно уже больше — HERA чисел точно составное.
Ну а тогда наше число представлено в виде суммы двух составных нечётных чисел, что и требовалось доказать. Ещё один забавный факт, связанный с числом 38, получится, если 38 возвести в квадрат — 1.44. То есть, как видите, на конце у этого числа будут три одинаковые цифры.
Оказывается, что такое сочетание, нуно. Если только это цифры не нули, это большая редкость. Скажем, больше не нулевых цифр на конце одинаковых быть в квадрате не может. То есть квадрат не может оканчиваться на четыре одинаковые не нулевые цифры. Но нулевые, это понятно. Может, там 100 к 10.000, там уже четыре нуля. А может быть, и ещё нулей, воем сколько хотите.
Но вот четыре ненулевые на конце быть не могут, и мы сейчас это докажем. Действительно, давайте для начала заметим, на какие цифры вообще могут оканчиваться квадраты: 0 — это но, но про ноль мы договорились не говорить. 1. Меня интересует только последняя цифра, поэтому про первые я даже не думаю — 5, 36, 49, 4 и, наконец, 81.
Кстати, обратите внимание, что сначала мы идём от одного до п, да — 1, 4, 9, 6, 5, а потом как бы спускаемся обратно — 5, 6, 9, 41. То есть цифры повторяются. Это немножко другой разговор. Пока заметим, что цифры 2 и 8 на конце у наших квадратов вообще не встречаются. Проверяется, что на конце не могут быть четные двойки, четыре, тройки и так далее. Не нужно даже одной двойки, не может быть.
Далее, я утверждаю, что не могут быть последние четыре цифры нечётными. Более того, даже две последние цифры не могут быть нечётными у квадрата. Доказывается это так: рассмотрим остатки квадратов при делении на четыре. Если исходное число давало остаток ноль, то есть делилось бы име виду 4K, мы умножаем его на себя, получаем 16k, что делится на 4, то есть остаток и будет. Но если число давало остаток оди 1, то 1 будет тоже 1.
Можно это получить, если вы раскроете скобки по формуле квадрат суммы и получите 16k + 8k + 1. Это такая техника, на которую, в принципе, можно не обращать внимания. Так, остаток О, если число было чётным, но не делилось на 4. Ну, чётное умножить на чётное будет делиться на 4, остаток. Но опять же можно раскрыть скобки по формуле.
И наконец, если остаток был ри, то у нас будет примерно здесь остаток будет один, да девятка, Дат остаток о при делении на 4. Мораль: квадраты дают только остатки 0 и 1 при делении на 4 с последними цифрами. Если 11 на конце, напомню, что остаток от деления наче, что двенадцать его последние цифры — да, число, образованное двумя последними цифрами 11, даёт остаток три.
Ну, 33 мы договорились не рассматривать, потому что на тройку не оканчивается, 55, остаток три, 7 мы не рассматриваем — де тоже остаток три на 11, на 55 и на 99 окончаний быть не может. Значит, нам осталось рассмотреть только окончание 4, 4, 4, 4 и 6, 6, 6, 6. Ну, четыре шестёрки не так страшно, как три невозможны, потому что, опять же, вот это число, оно делится на 2, но не делится на 4, то есть даёт остаток 2 определение на 4.
А квадраты, как мы только что выяснили, дают остатки ноль или один. Но значит, это не подойдёт с этим числом чуть хитрее. Заметим, что оно делится на 4 уже точно. Да, то есть если это, допустим, какой-нибудь возьмёте, там будет X пополам, в квадрате на конце у меня будут две единицы. Что там перед этим мне, в принципе, не важно, там необязательно будут все четыре единицы, но две последние точно единицы.
Да, я утверждаю, что, опять же, вот это число квадратом быть не может, потому что последние две цифры дают опять же остаток 3 при делении на 4. А надо, но или один. Мораль: чех одинаковых цифр быть не может. Ну атри одинаковые фры встречаются именно в числе 1444, которая 38. ВК вот такое вот крутое оказалось число 38.
Думаю, что через год я вам расскажу ещё больше интересных фактов уже про число 39. Ну а вам напоследок дарю такую забавную и несложную задачку про дни рождения. Один мальчик впервые отпраздновал свой день рождения, когда ему исполнилось 8 лет. Об этом, по крайней мере, ходят слухи, написал в своём дневнике Сергей Королёв, наш известный авиаконструктор. Как вы думаете, какого числа и в какой год, что важно, родился этот мальчик? Свои версии можете писать в комментарии, ну а мы потом, если что, огласим правильный ответ.
На этом у меня всё. Всем спасибо и хорошего лета! Пока-пока! [музыка] [аплодисменты]