Шанс сдать ЕГЭ, если всё забыл

Всем привет, с вами Георгий Вольфсон. Это реальная математика на канале Qwerty. На дворе у нас июнь, жара, и это время как всегда ассоциируется с выпускными экзаменами, в частности с ЕГЭ. Мы про эту тему особо никогда не говорили, поэтому нам очень важно ваше мнение. Если вам этот ролик понравился, обязательно поставьте нам лайк и напишите об этом в комментариях, что вы хотите продолжение. Ну а если не понравилось, ставьте dislike или просто не ставьте лайк.

Говорить мы будем про математику, конечно, и мне хочется начать вот с самого начала, потому что есть очень много мифов про то, каким его был, каким он стал и так далее. Вот сегодня мы поговорим про то, с чего всё начиналось и каким был ЕГЭ 20 лет назад. ЕГЭ по математике с тех пор претерпел большие изменения. Самое главное такое, что исходно, когда ЕГЭ только появился, в нём было три части: часть А, где нужно было выбрать вариант ответа из четырёх; часть Б, где нужно было просто вписать правильный ответ уже без выбора вариантов; ну и часть С, где надо было записать ответ и решения.

Вот из интересного, что количество заданий было таково: 10 заданий в частях А, напомним, с вариантами ответов там по 4 варианта, 11 заданий в части Б и 5 заданий в части С. Забавно, конечно, начали считать по-разному: там по одному баллу было за задание А и Б, а за С там было чуть побольше. Но что интересно, что нужно было набрать всего 4 балла для того, чтобы перейти порог. Можно было набрать 10 плюс 11, ещё там не 5, а побольше баллов за часть С, но чтобы перейти порог, то есть получить зачет, достаточно было решить всего четыре задания.

В этот момент мне хочется остановиться на такой забавной задачке, которую несколько членов предметной комиссии сначала сочинили, а потом и решили в первый же год проведения экзамена. Представим себе, что экзамен сдает человек, который вообще ничего не понимает в математике. Такие дети тоже были, и он просто хочет угадывать варианты ответов в первой части, вторую и третью он вообще не трогает, задачи не решает. А вот из 10 заданий он хочет угадать как минимум 4 и пройти порог. Вот какова вероятность того, что у него это получится?

Мы будем считать, что вероятность угадать 1 ответ в конкретном задании равна одной четвёртой. Это логично: на один случайным образом выбираем из 4. То есть мы предполагаем, что он вообще ничего не знает и просто тыкает Random. В этот момент стоит оговориться, что на большинстве тестов, вот как показывает практика, ответы Б и С встречаются чаще, чем А и D. Эти можно повысить вероятность успеха, но вот опять же мы будем считать, что ситуация идеальная, вероятность угадать 0,25.

Как же тогда посчитать вероятность того, что человек наберет хотя бы 4 балла? На этом самом деле, вообще такая задача и обобщение называется испытаниям Бернулли. Представьте себе, что есть некоторый опыт, у которого есть вероятность успеха P, и соответственно Q — это вероятность неуспеха или неудачи. Как несложно понять, в данном случае P + Q у нас равно единице. Тогда вопрос: какова вероятность того, что успехов будет хотя бы 4? Хотя бы 4 — это 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 10. Очень много вариантов. Гораздо проще посчитать вероятность того, что он провалит экзамен, то есть что он наберет 0, 1, 2 или 3 правильных ответа. Дальше все это сложить и вычесть из единицы.

И вероятность того, что будет 0 успехов, что он верно лишь 0 заданий. Здесь работает обычное правило произведения: вероятность того, что мы неверно решили первое задание, умножаем на вероятность того, что мы неверно решили второе задание рядом с тем, что мы решили неверно 10 задание. Это я так у в десятой степени. В нашем случае это чему равна вероятность успеха? Мы уже сказали, да, это 0,25. Значит вероятность неудач и 0,75. Итого это будет 0,75 в десятой степени, примерно 0,056. Посчитайте на калькуляторе, ну или можете завести в компьютере испытания Бернулли.

Вычисления онлайн посложнее найти P от единицы. Значит какова вероятность того, что из десяти испытаний то, ещё иногда записывать вот так P(10 от 1), какой ровно с того, что из десяти испытаний одно останется успехом? Но во-первых, вероятность того, что это одно закончится успехом, а вероятность того, что остальные девять будут неудачными. Coup de witt. Но ведь мы можем сделать верно первое задание, и тогда вероятность будет вот такая, как я сказал.

А можем сделать верно второе задание, и тогда вероятность будет такая же. Дочку на B на 8, то же самое. Так удивят. А можем верно сделать третье задание и так далее. То есть у нас на самом деле есть 10 вариантов сделать верно одно задание, поэтому мы эту штуку умножаем на десять. Соответственно, если мы считаем вероятность того, что будет ровно 2 успеха, вероятность того, что будет ровно 2 успеха в конкретной ситуации, конкретные 2, 1, 2 этапа, квадратному 8, но умножаем это на количество способов выбрать 2 варианта двигаться дальше, который мы решим верно из 10.

Из 10 по 2 — число сочетаний из 10 по 2. Ну, по-другому можно сказать, что у нас есть 10 вариантов выбрать первое успешное задание, то есть которое мы сделали верно. Для каждого из них есть 9 вариантов выбрать второе, и всё это мы должны поделить на 2, потому что если мы, например, решили второе и третье, или мы решили 3, 2, 1, тот же. Время, правда, этому надо уделить.

Ну вот получается такая формула. Наконец P(10 от 3) то же самое — P^3 на Q^7, то есть три решенных верно, семь неверно, и на C здесь типа три. А вообще формулу для испытания Бернулли, если у нас есть n испытаний и из них k успешны, она выглядит так: P(k от n) на Q^(n-k) на C(n по k). Вот такая вот формула. Соответственно, мы сложили вот эти пушечки для k равно 0, 1 и 2 и 3.

И вот если всё это сложить, вот если это число, это число, это число, это число посчитать, всё сложить, то получается примерно, опять же, я округлил 0,77, то есть, ещё раз, вероятность того, что мы не сдадим экзамен, если мы играем в угадайку, примерно 0,77. Ну, а значит вероятность того, что мы зададим — примерно 0,23. То есть обратите внимание, почти четверть — это вероятность того, что мы зададим.

Ну, на самом деле не очень здорово, правда? То есть, если на экзамен приходит, допустим, 5 балбесов, один из них сдает. В среднем приходит 10 балбесов, два из них сдают, потому что они вообще ничего не знают. Более того, на самом деле процедура ЕГЭ предполагает, что если ты не сдал экзамен, у тебя есть право на одну пересдачу. В течение лет ты приходишь на пересдачу. Отдельная задачка, тоже не очень трудная, какова вероятность того, что ребенок не сдаст экзамен с двух попыток, обе попытки окажутся неудачными?

Ну понятно, что если одна попытка неудачная 0,77, то две попытки неудачных 0,77 на 0,77. Это будет примерно 0,06. Может посчитать примерно. Наши значит вероятность того, что он хотя бы один раз сдаст — это 0,04. То есть вероятностью примерно 40%. На самом деле любой ребенок, который даже вообще не знает ничего по математике, но понимает, что он поставит там крестики в нужных местах, он сдаст экзамен.

Но отдельный момент содержания этого экзамена. А потому что иногда бывает так, что всё-таки ребенок, ну хоть что-то где-то слышал, и это ему может помочь немножечко поднять свою вероятность. Вот сейчас мы посмотрим на некоторые задачки. Мне хочется, чтобы после каждой из них вы попробовали нажать на паузу и для себя устно выбрать правильный вариант ответа. Сразу обращаю ваше внимание, что в каждом из случаев я буду стараться не решать эту задачу по-чесноку, потому что я предполагаю, что наша аудитория — это в основном не школьники, которые вот сейчас проходили все это, а люди, которые когда-то где-то что-то такое слышали, то есть может быть ещё помнят, что такое логарифм.

Это не точно. И вот даже в этом случае часто можно ответ угадать из разных соображений. Как это сделать? Вот давайте разберёмся. Задание номер 1. Здесь требуется решить уравнение тангенс 4x равен минус единице. И как видите, у нас есть 4 варианта ответа, вот они. Но давайте, во-первых, заметим, здесь у нас написан тангенс 4x, а некоторые из вас помнят, что когда вы решаете уравнение, но самое обычное уравнение всё-таки там тангенс x, ну или синус и косинус x и так далее.

И вот когда вы находите тангенс x плюс πк, что получается что-то такое плюс что-то там, πк. Я не буду останавливаться о том, что тангенс — это всегда просто πк. Вы можете не знать, но вы должны помнить, там было либо плюс πк, либо плюс 2πк. Вот что-то такое было. Если у нас данный тангенс x равен чему-то, а значит 4x равно чему-то, там плюс πк, возможно плюс 2πк. Но тогда, когда мы их находим, мы делим это счастье на 4 и знаем, у нас получится ли b-² после 4, либо, возможно, π/4, если там была двойка.

А теперь смотрим внимательно варианты ответов. У нас есть единственный верный, 4-й, Сочи видите, используют другую букву. На нас не проведешь, поэтому правильный ответ номер три. Только он, я не помню, что там замена спина 16 откуда они берутся — это сейчас неважно. Слышал я и другое рассуждение: человек говорил, но вот смотрите, вот есть минус 5, минус 16, минус 15, минус 4, минус π/16. Повторяется 2 раза, это неспроста. Значит, наверное, эта часть правильного ответа, потому что остальные уж больно выбиваются. Так что на самом деле выбирать надо из 2 и 3. Ну а дальше говорит, я выбирал рандомом. Согласитесь, это уже хорошо — иметь вероятность 0,5, они соответственно 0,25.

Вот ещё одна задачка: найти множество значений функции y равно 7/3 косинус x. Допустим, мы ничего особо не знаем про тригонометрию, но мы видим числе 8. 3 на верном ответе, тоже 7/3 должно быть 1. Ушёл, последний ушёл. Теперь что выбрать 2 или 3? По сути этот вопрос можно переформулировать так: а бывает ли косинус отрицательным?

Ну вот здесь желательно, конечно, что-то такое знать. Если вы, как и мои ученики, знаете, что косинус может получиться отрицательным в двух случаях, либо если угол тупой, либо если ученик тупой. Но действительно косинус бывает отрицательным, и тогда вы сразу поймёте, что правильный ответ — это номер два. Но опять же, даже если вывод вы не знаете, вы два ответа уже отмели, вероятность стала 0,51, 0,10, 0,25, что повысило наши шансы. Смотрим дальше, логарифм.

Ну, я даже не буду спрашивать, какая часть нашей аудитории помнит вообще, что такое логарифм и как его вычислять, но вот эти ответы можно проверить просто методом подстановки. Если вы хотя бы помните определение, то вы можете подставить какую-нибудь точку, которая принадлежит одному промежутку, не принадлежит другому, и победа. Например, вот здесь явно есть -1, который нет в других промежутках. Но так тогда, вот вопрос: что за логарифм минус 8 по 5? Некоторые, возможно, помнят, что логарифм от отрицательного числа вообще не бывает, потому что у нас по 2Ga ритмическая функция равна степени вот этого числа. Степень не бывает отрицательной. Значит, этот вариант долой.

До кучи, на самом деле, этот вариант долой, потому что если единица подставить, там будет один минус 7, тоже отрицательное число под логарифмом, такое не встречается. То есть я знаю одну маленькую вещь. Логарифм от отрицательного числа — такая вещь не бывает, и это позволяет мне выбрать уже два варианта ответа из остальных двух. Да, тут, к сожалению, придется что-то знать, например, определение логарифма или ещё что-то. Но опять же тоже вовсе не обязательно уметь решать неравенства. Можно заметить, что если допустим взять логарифм 5 по основанию 5, то это единичка, что меньше трех.

Ну, потому что это степень в которую надо возвести 5, чтобы получить 5. Вот опять получится, если мы вместо икса подставим 12. Значит, 12 должно подходить. А вот здесь 12 нет, ну значит, правильный ответ номер три. Кстати, если кто-то вдруг хочет вспомнить, что такое логарифм и зачем он вообще нужен, напомню, что у нас есть замечательный ролик, который об этом как раз рассказывает. Так что смотрите и после этого возвращайтесь сюда.

Теперь перейдём к неравенству. Тоже я не буду сейчас произносить вслух страшные слова типа метод интервалов. Наверное, что-то подобное в прошлой жизни у вас было, но это было давно и неправда. Зато можно заметить, вот что. Вот есть у нас в условии число 4, которая получается откуда, если приравнять вот этот множитель к нулю. Есть число минус 11, она, собственно, есть во всех ответах. Исправляйте этот множитель. Ну и есть число 0. Если знаменатель приравнять к нулю, значит, в ответе, наверное, должны быть эти три числа: минус 11, 40. А в четвертом ответе такого нет — до свидания.

Теперь что сделать со стальными? Ну, например, опять же подставить число. Вот, скажем, в этом множестве есть число, допустим, -12, а вот в этих множествах его нет. Если мы подставим минус 12, что мы получим? Минус 12 минус 4 минус 16 умножить на минус 12 минус 11. Это -1, делить на 5. Минус 12 минус 60 — это меньше 0, подходит. Ну, значит, вот это правильный ответ. Как видите, то есть я не особо умею решать неравенства методом интервалов, но зато я могу, как видите, довольно легко этот ответ выбрать.

А вот ещё одна похожая история, где нужно найти область определения функции. Что такое область определения? Надо, наверное, знать, что область определения — это когда функция существует, то есть она определена, имеет смысл. Тогда сразу же можем сказать, что вот чтобы она была определена, наверное, на ноль делить нельзя, правда? Значит, x не должен быть равен единице. А вот здесь он у нас равен единице, так что этот вариант сразу домой. Ну, тоже давайте вспомним, что под корнем не бывает отрицательного числа. На корень из минус 1 это тема комплексных чисел.

Значит, если мы подставим, ну скажем, двойку, вот давайте проверим, двойка нам подойдет или нет. Там будет 4 разделить на 1 — всё хорошо, поэтому нам подойдет тот промежуток, который содержит двойку, а этот не содержит. И не содержит наш правильный ответ номер три. Можно было наоборот взять из тех промежутков, допустим, но Олег подставить — получить под корнем -2. Плохо. Мы получили ответ, для этого не надо уметь решать неравенства или как-то сильно мухлевать.

Едем дальше. А особенно мне нравится это задание. Я как-то раздавал своим пятиклассникам, которые вы понимаете, не знают ни слова производной, ни слова синуса. В то же время многие сделали эту задачу и сделали её так. Ну вот опять же давайте посмотрим на ответы. Там есть три варианта ответа, в которых есть 25. Ну значит, наверное, оставшийся неверный, потому что видимо нас всё-таки подлавливают на каких-то похожих ответах. Так что первый вариант ответа отметаем.

Теперь из оставшихся трех надо выбрать плюс 10 или минус. Посмотрите, -1 встречается два раза, плюс один встречается 1,1, 0 — встречается один раз. Значит, наверное, надо выбирать вот этот. Магия. Но это работает. Произведение корней уравнения, но здесь уже посложнее. Конечно, но если вы знаете всего лишь одну вещь, что синус 0 равен нулю, то на этом задача заканчивается, потому что для 0 слева 0, и справа ноль. Значит, ноль — это точно корень. Но произведение 0 ещё чего-то всегда будет ноль, не важно, какие ещё корни не стоит. Уравнение знаешь произведение точно будет равно нулю.

И наконец вот такая задачка. Тоже в ней, конечно, желательно уметь там нажать на сопряженное, приводить к каким-то подобным членам. Ещё что. Но давайте не будем мудрить, просто прикинем. Вот если мы подставили 18, что у нас получится? Здесь будет первая дробь — корень из 18 на корень 18 плюс 4, то есть грубо 4 с копейками. Мы делим на 4 с копейками плюс 4, значит примерно 1,2, а это четырежды четыре.

Опять же, там это грубо 16 делить на 18 минус 16 на 2, то есть это примерно 8. Значит, ответ должен быть примерно восемь с половиной. Ну тогда сразу смотрите, 9 на 4 плюс 3 корня из 2. До свидания, это много. Минус 1,9 — это тоже ерунда, девятка похоже на правду, девятка близко от 800. Сучонка, что мы считали довольно грубо. Да, мы округляли, там корень 18 лет, конечно, не 4, а побольше. Поэтому на самом деле там возможно такое.

Ну и 4 плюс 3 корня из 2 тоже. Давайте прикинем, сколько это. Корень из 2 — это примерно полтора. На самом деле там 1.41, кто знает. Но допустим так. И тогда у нас получится 4 плюс 3 на полтора плюс четыре с половиной — ровно восемь с половиной. Но на самом деле наше выражение, конечно, будет поменьше, потому что корень из двух, конечно, меньше чем 1.5. Поэтому здесь строками.

Ну а я в данном случае скорее больше получу, да, потому что корень из 18 — это больше четырёх. Значит, надо выбирать вот этот. Все получили 9. Даже если между последними выбор неочевиден, опять же, вероятность 1,2 — это лучше чем 0,25. Так или иначе, друзья, как вы видите, очень поверхностных математических знаний достаточно, чтобы не просто получить вот эту вероятность 0,23, да, сдать экзамен с первого раза, но и чтобы существенно увеличить эту вероятность.

Потому что если вы там пару заданий хотя бы вот из этих соображений сделаете, то уже ваши шансы повысились существенно. Отчасти исходя из этих соображений организаторы через какое-то время сделали, по-моему, гениальную вещь: отменили первую часть. То есть теперь вот последние уже несколько лет в ЕГЭ только задачи с открытым ответом, то есть там где нужно просто вписать правильный ответ, не выбрав его из вариантов, а придумав из головы. И задача с развернутым решением.

Интересно, что вот кроме ЕГЭ по математике таких нигде нету задания с выбором. Их не так много, и, к сожалению, ещё где-то остались. Возможно, посмотрев этот ролик, авторы захотят и в других предметах провести подобную революцию. Но и, наверное, многих волнует вопрос: хорошо, а вот сейчас, допустим, есть ребенок, который нифига не знает, может быть, это вы сами как раз, и вы идёте на экзамен по математике. Какие у вас шансы сдать и какие лайфхаки есть, чтобы это сделать?

Сразу могу вас обрадовать: никаких. Для этого всё-таки надо знать математику. Но есть и хорошие новости: примерно треть выпускников так или иначе допускали ошибку при записи ответа. И вот этой ошибки вы можете избежать, если услышите всего лишь один полезный совет. В первой части, который идет с краткой записью, а также во всем базовом экзамене по математике, ответы бывают только в виде десятичной дроби или целого числа. То есть если вы получили, например, ответ 1/4, то не забудьте перевести его в десятичную дробь.

А второй момент — не забудьте ещё и записать эту десятичную дробь по правильной форме. Потому что некоторые пишут, например, что-нибудь вот такое, и компьютер не всегда может читать. Если вы будете писать каждый символ в каждой клеточке, да, ещё и так, чтобы компьютер вас увидел, то тогда шансов у вас больше. Также обращаю внимание, что во всех экзаменах, которые пишутся, которые сканируются, распознаются компьютером, единичка набирается, пишется вот так. А когда многие пишут вот таким образом, да, ещё и коряво, это единичка зачастую воспринимается как семёрка.

Вот чтобы этого избежать, смотрите внимательно на шаблоны оформления цифр. Они написаны на каждом ювелирном бланке, и по крайней мере этой ошибки у вас не будет. Ну а чтобы сдать экзамен, всё-таки, боюсь, что придётся заниматься математикой и что-то узнать. Возможно, что-то вы узнаете как раз из нашего канала. Если вы хотите продолжение или хотите узнать, как дальше изменялся ЕГЭ, как он обстоит сейчас, как может выглядеть процедура сдачи экзамена, апелляции после сдачи и так далее, то обязательно пишите об этом.

Если будет достаточное количество лайков и комментариев, что продолжение хочется, то я как руководитель предметной комиссии этого самого экзамена вам обязательно расскажу, что было дальше. Ну и не забывайте подписываться на этот YouTube-канал. Также напоминаю, что есть телеграм-канал Qwerty, а также есть мой личный телеграм-канал Вольфсон Разум. Всем жду, и там тоже. На этом всё. С вами был Георгий Вольфсон, это была реальная математика на Qwerty. Пока-пока. [музыка]