Совершенно иной подход к математике [Veritasium]

[музыка] Возьмите 5 и возведите в квадрат, получится 25. Теперь возведите в квадрат 25, будет 625. Возводим в квадрат 625, получаем 390 625. Введите закономерность: 5 в квадрате заканчивается на 5, 25 в квадрате на 25, 625 в квадрате на 625. Будет ли она соблюдаться и дальше? Возведем в квадрат 390 625. Как видите, совпадает только промежуток от единиц до десятков тысяч. Последние пять знаков умножим на себя, только их, то есть 90 625. Ответ содержит число целиком, возводим этот ответ в квадрат, и вновь последние цифры результата повторяются. А это уже 10 знаков. Можно продолжать в том же духе: возводить квадрат ту часть ответа, которая совпадает с предыдущим числом. Повторяющиеся части будут становиться как будто «дэм», сходимость к какому-то числу, но не в её обычном смысле. В этом числе будет бесконечно много цифр. А если возвести его в квадрат, то получится то же самое число, квадрат будет равен основанию.

Может показаться, что нет смысла погружаться в числа, у которых цифры уходят в бесконечность влево от запятой. Это же просто бесконечность, разве нет? В своём видео я попробую убедить вас, что смысл в этом есть. Просто система, к которой такие числа относятся, работает не так, как мы привыкли. Благодаря этому с их помощью можно решать задачи, в которых обычные числа бессильны. Поэтому их активно используют на математической передовой: в теории чисел, алгебраической геометрии и других направлениях.

Начнем со свойств той часовой системы, которая относится к нашим бесконечным числам. Назовем такие числа 10-адическими, потому что они записываются в десятичной системе. Можно ли сложить два десятиадических числа? Конечно! Просто идём справа налево и по очереди складываем, как всё давно привыкли. Сложение не проблема, а что с умножением?

Опять же, берём два десятиадических числа и перемножаем между собой. Здесь никаких подвохов: последний знак в ответе зависит только от последних цифр перемножаемых чисел. А следующая цифра, которая стоит правее, процесс получается бесконечно муторным, но в принципе перемножать такие числа можно, пока не надоест.

Возьмём десятиадическое число, которое заканчивается на 8-5-71 4285 71 43 и умножим его на 7. 7 на 3,21, два в уме. 7 на 4,28 + 2 = 30, 3. 7 + 3 = 10, пишем 0, 1. 49 + 1 = 55 в уме, семь на 5.35, прибавляем ещё пять, это 44. Так можно продолжать до бесконечности, мы увидим, что под чертой будет получаться 0. То есть, если умножить это число на 7, получится 1. А значит, само это 10 число должно равняться 1/7. Мы только что обнаружили, что в 10 числах есть рациональные числа, дроби, которым не нужна дробная черта.

Допустим, мы решили найти десятиадическое число, равное 1/3. Как это сделать? Мы знаем, что это должен быть бесконечный ряд цифр, которые при умножении на 3 дадут 1. То есть в ответе слева от единицы будут только нули. Что нужно умножить на 3, чтобы получить один в разряде единиц? 3 на 7 будет 21. Мы получили единицу на нужном месте и два в уме. На что нужно умножить 3, чтобы, прибавив два, получить 0? 6. 3 на 6 — 18 + 2 = 20. Если весь ряд влево будет состоять из шестерок, то в ответе будут получаться одни нули. Бесконечные шестерки, семерки на конце, равны 1/3.

Это уже похоже на бесконечные десятичные дроби, которые уходят вправо от запятой, например, ноль, запятая 9,9 периоде. Чему это равно? Я скажу так: это равно одному. Теперь попробуем доказать. Пусть оно равно K. Умножим обе стороны на 10, получится 9,9 периоде равно 10K. Теперь вычтем верхнее уравнение из внешнего, получим 9 равно 9K, и K равно 1. Это довольно стандартное доказательство того, что 0,9 периоде равно одному.

Но что если вместо того, чтобы стоять справа от запятой, девятки расположатся слева? Иначе говоря, какое число кроется за десятиадическим, в котором одни девятки? Можем проделать все те же операции. Пусть оно равно M. Умножаем обе части на 10, получаем 9,9,9,9,9,0 равно 10M. Вычитаем это уравнение из первого и получаем 9 равно -9M, то есть M равно -1. Получается, это 10 число равно -единице.

Я понимаю, что всё это выглядит странно. Так что давайте попробуем прибавить один. 9 плюс 1 равно 10, пишем 0, один в уме. Девять плюс один - десять, один в уме, и это повторяется раз за разом, и всегда пишем 0. 1. Есть ощущение, что в какой-то момент нам придется поставить слева края единицу, но она там никогда не появится, потому что за каждой девяткой есть ещё одна. Каждый раз, когда мы прибавляем 9.1, получаем 0. Выходит, число равно -единице. А если заменить последнюю цифру, например, поставить там тройку, то мы получим -7.

Мы только что обнаружили, что десятиадические числа также содержат отрицательные числа, но из-за своей особой структуры знака минус они не имеют. Поэтому при вычитании мы прибавляем число, противоположное вычитаемому, чтобы его найти. Десятиадическое число можно умножить на бесконечный ряд девяток или пойти другим путем. Запишите, насколько каждая цифра исходного числа меньше 9 и прибавьте 1. Например, если вот это одна седьмая, то -1/7 это 1.428571428571... Мы можем подтвердить, что это действительно -1/7, если прибавим то, что мы получили, к 1/7. Мы увидим, что в ответе одни нули.

Подытожим: десятиадические числа можно складывать, вычитать и перемножать, результат получается вполне ожидаемым. С их помощью можно записывать дроби, отрицательные числа без специальных обозначений. Есть только одна, но большая загвоздка. Понять, в чем дело, можно, если взглянуть на 10 число из начала видео. Напомню, если умножить его на само себя, мы получим то же самое число. Оно является квадратом себя же. Почему это плохо?

Станет понятно, если вынести общий множитель за скобки: мы получим N умножить на -1 = 0. Решения этого уравнения могут быть 0 или 1, но наше десятиадическое число - это не 0 и не 1. При этом, если подставить его вместо N и решить уравнение, в ответе получится 0. Это ломает один из полезных инструментов для решения уравнений. Зачем, решая сложные уравнения, мы переносим всё на одну сторону, приравниваем к нулю и общий множитель за скобки?

До недавнего времени я об этом не думал. Но на то есть серьезная причина, и заключается она в одном особом свойстве нуля. Если произведение нескольких множителей дает 0, то мы знаем, что нулю равен по меньшей мере один из них. Это позволяет разбивать сложные уравнения на более простые и потом уже решать их. Но с 10-адическими числами это не сработает. Корень проблемы кроется в том, что мы работаем с десятичной системой. 10 - это составное число, а не простое. Это 5 умножить на 2.

Допустим, нам надо найти два десяти числа, которые при перемножении дают 0. Мы знаем, что последняя цифра в произведении должна быть 0. Какие же два числа можно перемножить, чтобы получить 0 на месте единиц? Можно взять 0, умножить на любое число. Здесь никаких сложностей. Но также подойдут, скажем, 5 и 4, получится 20, пишем 0, 2 в уме. Четыре на два плюс два - вот и ноль на месте десятков. Таким образом, можно подобрать все цифры так, чтобы в ответе получались только нули.

Или можно сделать поэтическое число, перейти в систему счисления, у которой основание - это простое число. Подойдет любое: 2, 3, 5, 7 и так далее. Для примера это периодическое число, бесконечное знаков левого в троичной системе из цифр у нас есть только 0, 1 и 2. Десятичная тройка - это 10. Также перемножить два периодических числа, чтобы получился 0. Как и раньше, сначала посмотрим на последнюю цифру: 1 будет 1, 2 на 1 - 2, а 2 на 2 - 4. В троичной системе это 1,1. Мы получим 0, только если в одном из множителей будет стоять 0. Итак, для всех разрядов выходит, произведение двух периодических чисел будет равно нулю только если одно из них состоит из нулей. Это верно для всех простых оснований и позволяет нам вновь полагаться на правила, что произведение нескольких чисел равно нулю только если одно из них равно нулю.

Вот случайное периодическое число. Его можно разложить как 3 в нулевой степени плюс 2 на 3 в первой плюс 1 на 3 в квадрате плюс 1 на 3 в кубе и так далее. То есть число в периодической системе можно представлять как бесконечный ряд степеней тройки. Периодическое целое число, равное -1, это бесконечный ряд двоек. Если прибавить один, то получим 3, что в троичной системе выглядит как 1:0. Пишем 0, 1 в уме, потом опять 2 плюс 1, и это основа 1 0 1 в уме, и так продолжаем до бесконечности.

У поэтических чисел те же свойства, что у 10, но вдобавок там нет чисел, которые были бы равны себе же в квадрате, кроме нуля и одного. Также не бывает двух поэтических, от нуля произведения которых давала бы ноль. Поэтому математики работают с периодическими числами, смысла в удобный инструмент в своих работах. Их использовали больше десятка недавних лауреатов филдсовской премии. Эти числа помогли решить одну из легендарных математических проблем.

В 1637 году Пьер де Ферма читал книгу «Арифметика» известного древнегреческого математика Диофанта. Диофант бился над решением полиномиальных уравнений, сформулированных геометрических терминах, наподобие теоремы Пифагора. В прямоугольном треугольнике сумма квадратов X и Y равна квадрату Z. Набор решения этого уравнения в вещественных числах найти несложно, это просто бесконечный конус. Но Диофанта интересовали решения, которые были бы целыми числами или дробями, например, 3-4-5 или 5-12-13. И не его одного. Вот древняя вавилонская таблица, которая около 20 тысяч лет.

На ней длинный список пифагоровых троек. Кстати, эта табличка старше Пифагора на тысячу лет. Рядом с рассуждениями Диофанта о теореме Пифагора Ферма записал слова, которые оставили поистине небывалый след в истории математики. Выражение x в степени N + y в степени N = z в степени N не имеет решения в виде целых чисел при n больше двух. Тому есть поистине чудесное доказательство, но оно слишком длинное, чтобы поместиться на полях.

Великую теорему Ферма под таким названием она известна сейчас, не могли доказать 358 лет. Чтобы решить эту проблему, пришлось изобрести новые числа: поэтические. Благодаря им появился метод, позволяющий решать и другие задачи из арифметики Диофанта, например, найти три квадрата, сумма площадей которых даст квадрат большего размера. Причем площадь первого квадрата должна равняться длине стороны второго, а площадь второго - длине стороны третьего.

По сути, он начал применять алгебру за много-много веков до её формального появления. Если сторона первого квадрата X, то его площадь X в квадрате, и это длина стороны второго квадрата. А его площадь X в четвёртой, что в свою очередь длина стороны третьего квадрата, а значит, его площадь X в восьмой. Теперь нам нужно, чтобы сумма площадей X квадрат + X в четвёртой + X восьмой была равна площади последнего квадрата, назовём её Y в квадрате. Итак, X в квадрате + X в четвёртой + X в восьмой равно Y квадрат.

Решение этого уравнения в вещественных числах найти не сложно. Например, пусть X равен одному, тогда Y равен √3. На самом деле мы можем даже построить график с вещественными решениями этого уравнения, но такие ответы Диофанту не подходили, ему были нужны рациональные решения, решения, представленные целыми числами или дробями. Их найти гораздо сложнее. Откуда вообще начинать? И вот мы в тупике. Что делать? Мы на скале, в панике ищем за, чтобы зацепиться, а ничего нет.

В конце XIX века математик по имени Курт Гензель попытался решить подобное уравнение в виде разложения по возрастающим степеням простых чисел. При числе 3 решение выглядело бы как X равно X ноль + X один на 3 в первой степени + X два на 3 в квадрате плюс X три натрий в кубе и так далее. Y выглядел бы также с числом 3 в степенях по возрастанию. X и Y могут иметь значение 0, 1 или 2. Теперь поставим эти выражения в наше уравнение вместо X и Y. Как вы понимаете, очень скоро начнётся полное неразбериха, но можно пойти более простым путем.

Допустим, мы решили записать 17 в троичной системе. Чтобы это сделать, мы можем поделить 17 на 3 и найти остаток. Это будет 2. Теперь мы знаем, что на месте единиц у нас будет стоять 2. Затем делим 17 на 9, то есть на 3 в квадрате, получаем остаток 8. Вычитаем двойку, которую уже посчитали, будет 6. То есть 2 на 3 в первой значит во втором разряде появится 2. Дальше делим 17 на 27, остаток будет 17. Вычитаем 8, которые уже были, остается 9, 1 на 3 во второй.

Итак, 17 в троичной системе это 1, 2. Такие вычисления - это вариант модулярной арифметики. В ней числа сбрасываются обратно в ноль по достижении определенного значения, которое называется модулем. Как пример, часы имеют модуль 12. Мы считаем до 11, а 12 - это то же самое, что ноль. Если сейчас 10 утра, то сколько будет через 4 часа? Можно сказать, 14:00, а можно два часа дня, потому что два - это то, что остается при делении 14 на 12.

В модулярной арифметике целая часть нас не интересует, только остаток. 36 на 10 дает в остатке 6, 25 на 5 остаток 0. Сделаем часы с модулем 3: на них только 0, 1, 2. Если умножить 2 на 2, получим 4. А 4, то есть 4 часа - это то же самое, что час на таком вот циферблате. Такой подход позволяет нам вычислять коэффициенты в разложении по одному, сначала решая уравнение по модулю 3, затем по модулю 9, 27 и так далее.

Сначала давайте попробуем взять модуль 3. Все старшие слагаемые делятся на три без остатка, они обнуляются, остается X ноль в квадрате + X ноль в четвёртой + X ноль в восьмой = Y ноль в квадрате. Теперь мы можем найти значение X ноль и Y ноль, которые удовлетворяют уравнению по модулю 3. Нам известно, что X ноль может быть 0, 1 или 2. Y тоже может быть 0, 1 или 2.

Если X равен нулю, то нулю будут равны X в квадрате, X в четвёртой, X в восьмой. Если X это один, то X в квадрате, в четвёртой и восьмой тоже будут равны единице. Но мы работаем с остатками, чтобы в четвёртой просто возводим в квадрат, X в квадрате и снова получим 1. Затем снова возводим в квадрат, X восьмой тоже единица. Теперь мы можем сложить X квадрат, X в четвёртой и X восьмой и найти, чему равна левая часть уравнения при X равном нулю. Сумма будет равна нулю.

Если X равен одному или двум, то сумма будет 3, но мы делим всё на 3, и остаток будет 0. А сейчас посчитаем Y в квадрате. Если Y равен нулю, то и во второй степени будет 0; если 1, то Y в квадрате равен 1; если 2, то Y в квадрате равен 4, делим на 3 - остаток 1. Поскольку при любых значениях в левой части уравнения получается 0, в правой части у нас может получиться только 0. При этом сам X может быть равен нулю, одному или двум. Это значит, что возможны три решения уравнения, если брать остатки от деления на 3: 0, 0, 1 и 2.

Совсем не удивительно, что среди вариантов есть 00. Если X и Y равны нулю, то уравнение решается. Но вообще квадраты с нулевой площадью не считаются решениями геометрической задачи Диофанта. Так что давайте подробнее остановимся на каком-нибудь другом варианте. Возьмем 1/0. Итак, X ноль равен 1, а Y ноль = 0. Напомню, мы брали остаток от деления на 3.

Теперь попробуем найти X один. Для этого решим тоже уравнение при остатке деления на 9. Все слагаемые после X один делятся на 9 без остатка, а значит, в наших условиях они обратятся в ноль. Поэтому в итоге мы придем к такому выражению: раскладываем первое слагаемое 1 + 6X один + 9X один в квадрате. Последняя часть делится на 9 без остатка, поэтому равна нулю. Следующее слагаемое - это первое в квадрате, получается 1 + 12X один + 36X один в квадрате. Но 36 делится на 9 без остатка - это 0. А 12 дает остаток 3, получается 1 + 3X один.

Последнее слагаемое - это второе в квадрате: 1 + 6X один + 9X один в квадрате. После сокращения получаем 0 + 9Y один в квадрате, что равно опять-таки нулю. Мы получаем 3 + 15X один = 0. Находим остатки: 9 + 18X два в квадрате = 0. Получается, что X два = 1 + 18 будет 27, что при делении на 27 дает остаток 0. Что же мы узнали? Первые три коэффициента в ряду - это единицы.

Если мы пойдем дальше и будем брать остатки отделения на 81, 243 и так далее, мы увидим, что все коэффициенты равны единице. Итак, ключ к решению задачи Диофанта о квадратах - это периодическое число, которое полностью состоит из единиц. Но как понимать, чему равно это число? Разумеется, это бессмысленное число, если воспринимать его как вещественное. Напомню, что записать его можно и по-другому: 1 на 3 в нулевой + 1 на 3 в первый + 1 на 3 в квадрате + 1 на 3 в кубе и так далее. Каждое следующее слагаемое в три раза больше предыдущего.

Это геометрическая прогрессия. Найти сумму бесконечного геометрического ряда можно с помощью уравнения 1 разделить на 1 минус лямбда, где лямбда - это отношение одного слагаемого к предыдущему, то есть в нашем случае 3. Я знаю, что работать это всё будет только если лямбда меньше единицы. Иначе слагаемые продолжают расти, а сумма не сходится и расходится до бесконечности. Обещаю, я к этому вернусь.

А пока давайте просто запомним, что посмотрим, что произойдет. У нас получается 1 минус 3, и это минус 1/2. Если согласиться с этой формулой, то допустим, исходного уравнения должно быть x равный -1/2. Подставляем значение и получается, что x в квадрате - это 1/4; x в четвёртой - это 1/16; x в восьмой - это 1/256. Давайте всё это проведем к общему знаменателю. Четверть превратится в 64/256. 1/16 - в 16/256. И если мы всё это сложим, то получим 81/256. И это как раз площадь квадрата с длиной стороны 9/16. Мы нашли рациональное решение задачи Диофанта: сумма площадей. Длина стороны первого квадрата равна 1/2, длина стороны второго - 1/4, третий - 1/16, и сложив их площади, мы получим квадрат с длиной стороны 9/16.

Чтобы найти решение, нам пришлось использовать абсурдные на первый взгляд поэтические числа: бесконечные ряды, которые уходят влево от запятой, и разложения по степеням тройки. По формуле суммы геометрической прогрессии мы выяснили, что бесконечный ряд единиц в периодической нотации - это просто -1/2. Это работает, несмотря на то, что отношение каждого слагаемого к предыдущему равно трём и их сумма, по идее, должна была разойтись в бесконечность.

Так вот, вопрос: почему всё сошлось? Главная мысль: геометрия для поэтических чисел совсем не похожа на то, как ведут себя действительно поэтические числа. Нет на числовой прямой. Их можно представить себе, например, в виде растущего дерева. Если изобразить периодические числа, о которых мы говорили, то разряд единиц можно обозначить тремя цилиндрами. Это будет фундамент, иначе говоря, X ноль - это 0, 1 или 2. На каждом из них стоят по три цилиндра поменьше - это второй разряд. Один на них снова по три цилиндра. И таким образом, из самого нижнего уровня бесконечно растёт, ветвится.

Странноватое дерево. Если посмотреть сверху, очень похоже на треугольник Серпинского. Каждое периодическое число тут представлено бесконечным набором цилиндров, стоящих друг на друге. Каждый меньше предыдущего. Это фактически отражает относительные вклады каждого цилиндра в значение периодического числа, вопреки ожиданиям. Коэффициенты, в которых перемножаются все более высокие степени тройки, дают всё более мелкие поправки.

Поэтому, когда мы в процессе решения задачи Диофанта квадрата к один за другим вычисляем коэффициенты, мы просто постепенно всё больше уточняли ответ. Мы как будто подходим всё ближе и видим значение всё точнее. Обычно мы думаем, величина числа зависит от количества цифр слева от запятой. Но в нашем случае у всех чисел их бесконечно много. Поэтому, чтобы оценить, насколько они друг другу близки, ищут самый низкий разряд, которым они различаются.

И если у них не совпадает значение в единицах, мы говорим, что между ними расстояние 1. Если же различаются цифры на 27 порядке, эта разница не 27, а 1/27. В мире поэтических чисел то, что представляется нам большим, на самом деле маленькое, и наоборот. Допустим, есть какое-то число. Пусть S1, и это некая последовательность. Скажем, 2 на 1, плюс 1 на 3, плюс 0 на 3 в квадрате, плюс 1 на 3 в кубе, плюс 2 на 3 в четвёртой и так далее.

И вот будет ещё одно с похожей последовательностью, но только там, где у нас 3 в кубе, я поменяю коэффициент. Всё, что идет дальше, уже неважно. Цифры могут быть те же или другие, но из-за вот этой разницы мы скажем, что расстояние между ними, их периодическое расстояние определяется первым разрядом, где они разошлись. То есть 3 в степени минус 3. То есть в каком-то смысле, чем больше разряд, чем больше степень тройки, тем менее значимым становится её коэффициент.

Да, так и есть: с периодическими числами, чтобы назвать их близкими, нужно, чтобы расхождение в коэффициентах было на высоких разрядах. Например, если разница в десятом разряде, то расстояние всего лишь 3 в минус 10. Оказывается, если смириться с этой безумной идеей поменять местами большой и малое, все математические законы продолжат соблюдаться привычным образом. Именно поэтому сошлась сумма геометрического ряда, хотя мы ожидали, что она разойдется до бесконечности.

Надо открыть сознание новому представлению о размерах, и перед вами предстанет целый новый мир. Очень полезный мир. Когда-то также нашли применение отрицательным числам, а потом их квадратным корням. Чем отрицательные числа или корни из них? Просто они непривычные. Можно доказать, что такое понятие размер вполне отвечает критериям для абсолютных значений. Что нам нужно от абсолютного значения? Чтобы оно не было отрицательным. То есть абсолютное значение для любого x не должно быть отрицательным, и оно может быть равно нулю, если и только если само число равно нулю.

Говорят положительно определённо. И оно должно быть мультипликативным. Абсолютное значение произведения X и Y должно быть равно произведению их абсолютных значений. И нужно ещё одно свойство, а именно: если сложить X и Y, должна ли их сумма быть равна сумме их абсолютных значений? Нет, но меньше или равно это неравенство треугольника. Итак, мультипликативность, положительная определённость и неравенство треугольника. Если эти три абстрактные свойства соблюдаются, то можно доказать, что функция - это просто абсолютное значение, либо падическая абсолютное значение, либо она равна нулю при нуле и единице.

В других случаях это вкратце: абсолютное значение. Только в такие игры можно играть с рациональными числами, чтобы получить это абсолютные значения, которые будут вести себя так, как нам надо. В таком геометрическом выражении кажется, что поэтические числа находятся далеко друг от друга. В отличие от вещественной, что довольно полезно для поиска рациональных решений уравнений в окрестности рационального решения. Куда меньше поэтических.

Если искать решение задачи Диофанта знак за знаком в вещественных числах, успеха нам не видать. Слишком много вещественных решений: они начинают мешать. В паре революционных статей 1995 года одно писал Эндрю Уайлс, другой он же вместе с Ричардом Тейлором. Наконец появилось доказательство последней теоремы Ферма. Но их решение наверняка отличается от того, о котором писал Ферма на полях. Ведь они во многом опирались на поэтические числа, то есть по основанию 3.

А если не получалось тройка, то срабатывала пятерка. Каждое простое число даёт свою изолированную систему чисел. Примерно настолько же изолированную, как и периодически. Мне очень понравилось, как высказался японский математик: «Днём за солнечным светом звёзд не видно, ночью же люди спят и не видят их, хотя они не менее важны».

Надеюсь, благодаря этому ролику вы увидели хотя бы отблеск этих звёзд.